初三数学暑假班讲义第01讲-三角形的证明-教案
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1、高效提分 源于优学 第01讲 三角形的证明 温故知新三角形全等的条件(1)三角形全等条件1:三条边分别相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”。注意:在运用“SSS”判定三角形全等,必须同时满足三边对应相等,只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。“SSS”判定全等只适用于三角形,不能适用其他图形。符号语言:已知ABC与DEF的三条边对应相等。在ABC与DEF中,ABCDEF(SSS)(2)三角形全等条件2:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”。注意:用“ASA”判定两个三角形全等时,一定要说明两个角及夹边对应相等 在书写两个三角形全等的条件“ASA”时
2、,一般把夹边相等写在中间的位置。符号语言:已知D=E,ADAE,BADCAE求证:ABDACE证明:在ABD和ACE中,D=EAD=AEBADCAEABDACE(ASA)(3)三角形全等条件3: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“边边角”或“AAS”。 符号语言:如图:D在AB上,E在AC上,DC=EB,C=B求证:ACDABE证明:在ACD和ABE中C=BA=ADC=EBACDABE(AAS)注意:“AAS”中的“S”是有限制条件的,必须是两组对应等角中一组等角的对边。(4)三角形全等条件4:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”。符号
3、语言:在ABC与DEF中,ABCDEF(SAS)注意:应用“SAS”时,必须满足相等的角是对应相等两边的夹角,即“两边夹一角”。(5)直角三角形全等条件:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”。 符号语言:在RtABC与RtDEF中, ABC=DEF=90,RtABCRtDEF(HL)注意:应用“HL”判定两个直角三角形全等,书写时,两个三角形符号前要加上“Rt”“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法,但不是唯一的方法,前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。 课堂导入知识要点一 等腰三角形1、等腰三角形的性质定理(1)两角分别相等且其中一组等角的
4、对边相等的两个三角形全等。(AAS)(2)等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。(3)推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。(4)等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。(3)三个角都相等的三角形是等边三角形。(4)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 典例分析例1、等腰三角形有一个角是90,则另两个角分别是()A30,60 B45,45 C45,90 D20,70【解答】选B例2、如图在等腰ABC中,其中AB=AC,A=4
5、0,P是ABC内一点,且1=2,则BPC等于()A110 B120 C130 D140【解答】A=40,ACB+ABC=18040=140,又ABC=ACB,1=2,PBA=PCB,1+ABP=PCB+2=140=70,BPC=18070=110故选A例3、如图,在PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若MKN=44,则P的度数为()A44 B66 C88 D92【解答】PA=PB,A=B,在AMK和BKN中,AMKBKN,AMK=BKN,MKB=MKN+NKB=A+AMK,A=MKN=44,P=180AB=92,故选:D例4、如图,在ABC中
6、,AB=AC=6,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,连接AD,若AD=4,则DC=5【解答】过A作AFBC于F,AB=AC,BF=CF=BC,AB的垂直平分线交AB于点E,BD=AD=4,设DF=x,BF=4+x,AF2=AB2BF2=AD2DF2,即16x2=36(4+x)2,x=0.5,DF=0.5,CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.52=5,故答案为:5举一反三1、如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为55【解答】AB=AC,D为BC中点,AD是BAC的平分线,B=C,BAD=35,BAC=2BAD=70,C=(18070)=5
7、5故答案为:552、在等腰ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为16或8【解答】BD是等腰ABC的中线,可设AD=CD=x,则AB=AC=2x,又知BD将三角形周长分为15和21两部分,可知分为两种情况AB+AD=15,即3x=15,解得x=5,此时BC=21x=215=16;AB+AD=21,即3x=21,解得x=7;此时等腰ABC的三边分别为14,14,8经验证,这两种情况都是成立的这个三角形的底边长为8或16故答案为:16或83、如图,锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC求证:ABC是等腰三角形【解答】证明:锐角三
8、角形的两条高BD、CE相交于点O,OEB=ODC=90,EOB=DOC,EBO=DCO,又OB=OC,OBC=OCB,ABC=ACB,AB=AC,ABC是等腰三角形知识要点二直角三角形1、在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形的性质和判定方法定理:直角三角形的两个锐角互余。定理:有两个角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理:勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。4、勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。5、逆命题、逆定理互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个
9、命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆命题。6、斜边、直角边定理定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。典例分析例1、如图,在ABC中,ACB=90,CD是AB边上的高,如果A=50,则DCB=()A50 B45 C40 D25【解答】在ABC中,ACB=90,A=50, B=40,CD是AB边上的高,CDB=90,DCB=50,故选A例2、具备下列条件的ABC中,不是直角三角形的是()AA+B=C
10、BAB=CCA:B:C=1:2:3 DA=B=3C【解答】选:D例3、如图,已知在ABC中,ACB=90,CD为高,且CD,CE三等分ACB(1)求B的度数;(2)求证:CE是AB边上的中线,且CE=AB【解答】(1)在 ABC中, ACB=90,CD,CE三等分 ACB,ACD=DCE=BCE=30,则BCD=60,又CD为高,B=9060=30(2)证明:由(1)知,B=BCE=30,则CE=BE,AC=ABACB=90,B=30,A=60,又由(1)知,ACD=DCE=30,ACE=A=60,ACE是等边三角形,AC=AE=EC=AB,AE=BE,即点E是AB的中点CE是AB边上的中线,
11、且CE=AB例4、如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,M、N分别是AC、BD的中点,试说明:(1)MD=MB;(2)MNBD【解答】(1)ABC=ADC=90,M是AC的中点,BM=AC,DM=AC,DM=BM;(2)由(1)可知DM=BM,N是BD的中点,MNBD举一反三1如图,在ABC中,C=90,点E是AC上的点,且1=2,DE垂直平分AB,垂足是D,如果EC=3cm,则AE等于()A3cm B4cm C6cm D9cm【解答】解:DE垂直平分AB,AE=BE,2=A,1=2,A=1=2,C=90,A=1=2=30,1=2,EDAB,C=90,CE=DE=3cm,在RtADE
12、中,ADE=90,A=30,AE=2DE=6cm,故选C2如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A2.5 B C D2【解答】解:如图,连接AC、CF,正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,AC=,CF=3,ACD=GCF=45,ACF=90,由勾股定理得,AF=2,H是AF的中点,CH=AF=2=故选:B3如图,AOP=BOP=15,PCOA,PDOA,若PC=4,则PD的长为2【解答】解:过P作PEOB,交OB与点E,AOP=BOP,PDOA,PEOB,PD=PE,PCOA,CPO=POD,又AOP=BO
13、P=15,CPO=BOP=15,又ECP为OCP的外角,ECP=COP+CPO=30,在直角三角形CEP中,ECP=30,PC=4,PE=PC=2,则PD=PE=2故答案为:24在ABC中,AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8,则ABC的面积为7【解答】解:如图,在ABC中,CD是AB边上的中线,CD=3,AB=6,AD=DB=3,CD=AD=DB,1=2,3=4,1+2+3+4=180,1+3=90,ABC是直角三角形,AC2+BC2=AB2=36,又AC+BC=8,AC2+2ACBC+BC2=64,2ACBC=64(AC2+BC2)=6436=28,又SABC=ACBC,SAB
14、C=75如图,等腰ABC中,AB=AC=10,B=15,则SABC=25【解答】解:如图,过点C作CDBA的延长线于点D,AB=AC,B=15,C=15,CAD=B+C=15+15=30,CD=AC=10=5,SABC=ABCD=105=25故答案为:256如图,在ACB中,ACB=90,CDAB于D(1)求证:ACD=B;(2)若AF平分CAB分别交CD、BC于E、F,求证:CEF=CFE【解答】证明:(1)ACB=90,CDAB于D,ACD+BCD=90,B+BCD=90,ACD=B;(2)在RtAFC中,CFA=90CAF,同理在RtAED中,AED=90DAE又AF平分CAB,CAF=
15、DAE,AED=CFE,又CEF=AED,CEF=CFE知识要点三垂直平分线与角平分线1、线段垂直平分线的性质定理:定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定定理)定理:到一条线段的两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个定点的距离相等。4、角平分线的性质定理:定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。5、角平分线性质定理的逆定理(判定定理):定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。6、三角形三内角的角平分线性质:
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