2020年高考数学（理）大题专题解析与训练《三角函数与解三角形》

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1、三角函数与解三角形一、三角函数的图象及其性质已知向量，（1）求的解析式，并求函数的单调增区间；（2）求在上的值域在已知条件下求出，函数的解析式.完成问题：函数的单调增区间.在已知条件下，求在上的值域.【解析】（1）（3分）令，得，故函数的单调增区间为，（6分）（2）因为，所以，从而，（8分）所以，所以在上的值域为（12分）应对策略此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为的形式，再结合正弦函数的性质研究其相关性质（1）已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如或（其中>0）的单调区间时，要视“x”为一个

2、整体，通过解不等式求解但如果<0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错（2）函数图象的平移变换解题策略：对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的x变为x|，而不是x变为.注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.拓展延伸【拓展1】已知向量，已知函数.求的最值与最小正周期；【解析】由向量，所以，所以，又，即的最大值是，最小值是，的最小正周期是.【拓展2】已知函数，当时，求函数的值域.【解析】由题得，函数的值域为.变式训练一（2019年河北省存瑞中学高三上一质检）已知向量,设函数. （1）

3、求的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；（3）求在上的最大值和最小值【解析】由已知可得：,（3分）（1）的最小正周期；（5分）（2）由,可得,的单调递减区间为（7分）（3）,（10分）的最大值为1,最小值为（12分）二、解三角形在锐角中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式.根据正、余弦定理求解即可.试题解析【解析】（1）因为在锐角中，所以，所以，（3分）因为，所以，因为，所以.（6分）（2）由余弦定理，得，所以，（8分）因为的面积为，所以，即，所以，（10分）所以，所以，所以，即的周长为（12分）应对策略（1）利用正

4、、余弦定理求边和角的方法：根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用（2）求三角形面积的方法：若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式

5、是解题的关键拓展延伸【拓展1】已知在中,角,所对的边分别为,且,（1）求角的大小;     （2）若,求的取值范围.【答案】（1）由,则.,所以  而  故,（2）由  且,  所以  ,又, 所以的取值范围是.【拓展2】在中，设边所对的角分别为，.（1）求角的大小；（2）若的周长为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为由正弦定理得,（2）由余弦定理得因为周长，又，所以，所以【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查了逻辑推理能力，考查了方程思想，属于中档题变式训练二（百校联盟2019-2020学年高三上学期10

6、月尖子生联考数学理科试题）已知的内角、所对的边分别为、.且.（1）求角；（2）若的面积为，求周长的最小值.【解析】（1），且，（2分），且，.（6分）（2）由，得.（8分）又，（当且仅当时取等号），（10分），周长的最小值为.（12分）三、三角函数与解三角形的综合问题已知函数.（1）求函数的最小正周期及在区间上的值域；（2）在中，.若，求的面积.在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式.根据正、余弦定理及三角形的面积公式求解即可.试题解析【解析】（1）.（3分）的最小正周期为； ，（4分），,在区间上的值域是.（6分）（2）由得，即，（7分）由余弦定理得，或，（10分）的面积为或.（12分）应

7、对策略此类问题是将三角函数的图象与性质、解三角形综合命题进行考查，解题时，只需从条件出发，其间只需熟练掌握三角函数的图象与性质的求解方法以及解三角形的相关知识即可顺利解决.拓展延伸【拓展1】已知函数.（1）求的最小正周期；（2）设的内角的对边分别为，且，若，求的值.【解析】（1），所以.（4分）（2）因为，因为，所以.（5分）因为，因为，所以，联立方程得：.（12分）变式训练三广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末数学（理)已知、是的内角，、分别是其对边长，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理得，整理得，；（2）在中

8、，由余弦定理知，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，因此，面积的最大值为.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.模拟训练1（2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模试题）在中，角、所对的边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值【解析】（1），可得：， ，（2），2（2019沙雅县第二中学押题卷）已知点，为坐标原点，函数.（1）求函数的解析式及最小正周期;（2）若为的内角，的面积为，求的周长.【解析】（1）.，.，的最小正周期为.（2）.因为，所以，因为，所以，因为

9、，所以，根据余弦定理，所以，即三角形的周长为.3（四川省遂宁市射洪县射洪中学2020届高三上学期10月月考数学试题）锐角的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围【解析】（1）由题意，因为，由正弦定理可得：，又由，代入整理得，又由，则，所以，即，又因为，所以.（2）因为,且由正弦定理，可得，即，所以周长，即 又因为锐角三角形，且，所以，解得，所以，则有  即 ，即的周长取值范围为.4（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学试题）的内角的对边分别为，已知的面积.（1）证明：；（2）若，求.【解析】（1）由得 因为，所以，又因为，所以 ，因此（2）由（

10、1）得，所以由余弦定理得，所以，解得 因此，即由（1）得，所以 ，故5（黑龙江省大庆市2019-2020学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题）在中，角、所对的边分别为，已知. （1）求角的大小；（2）若，求的面积的值.【解析】（1）由正弦定理，有，则可化为，即，即，又余弦定理，由，得；（2）由（1）知，则，由正弦定理得，.6（河南省郑州市第一中学2019届高三高考适应性考试数学试题）在中，三边，的对角分别为，已知，.（1）若，求；（2）若边上的中线长为，求的面积.【解析】（1）因为，由正弦定理，得，所以.所以.又因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以.（2）设边上的中线为，则，所以，即

11、，.解得或（舍去）.所以.7（河南、河北两省重点高中2019届高三考前预测试卷数学试题）在中，角，的对边分别是，且.（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长.【解析】（1）因为，由正弦定理可得：，整理得，解得.又，所以，即， .（2）由（1）知，解得.由余弦定理，得，即.的周长为.8（重庆市2019届高三高考全真模拟考试数学试题）已知锐角中，角，所对的边分别为，（1）求角；（2）若，求边上的高长【解析】（1），（2）由余弦定理可得：，可得：，可得：，由等面积可得：，可得：9惠州市2020届高三第三次调研考试数学（理）【答案】（1）在中，因为，所以，解得在中，由余弦定理得，因为，所以（2）设，则 在中，因为，所以在中，由正弦定理得，即，所以，所以，即， 所以，即