2020届闽粤赣三省十二校高三下学期联考数学理科试题（解析版）

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1、闽粤赣2020届高三下学期三省十二校联考数学理科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合AxR|x2x20，B1，0，1，则AB（）A1，0，1B1，0C0，1D02已知（3i）z4i（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知mlog40.4，n40.4，p0.40.5，则（）AmnpBmpnCpnmDnpm4如图，AOB为等腰直角三角形，OA1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则APOP=（）A1B-18C-14D-125某调查机构对全国互联网行业进行调

2、查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989年之间出生，80前指1979年及以前出生A互联网行业从业人员中90后占一半以上B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多6已知A，B，C是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且2|AF|CF|，则该双曲线的离心率是（）A53B173C172D947函数f（x）x

3、2+log2|x|，则不等式f（x+1）f（3）0的解集为（）A（，1）（4，+）B（，4）（1，+）C（4，1）（1，2）D（1，1）（1，4）8已知函数f(x)=2sin(x+)(0，|2)的两条相邻对称轴间的距离为2，把f（x）的图象向右平移6个单位得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数，则f（x）的单调递增区间为（）A2k+3，2k+43，kzBk+3，k+43，kzC2k-6，2k+3，kzDk-6，k+3，kz9已知直三棱柱ABCA1B1C1，的各顶点都在球O的球面上，且ABAC2，BC=23，若球O的体积为16053，则这个直三棱柱的体积等于（）A42B83C8D4510在A

4、BC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S为ABC的面积，sin(A+C)=2Sb2-c2，且A，、B、C成等差数列，则C的大小为（）A3B23C6D5611已知函数f（x）=x，x0e2x，x0，g（x）ex（e是自然对数的底数），若关于x的方程g（f（x）m0恰有两个不等实根x1、x2，且x1x2，则x2x1的最小值为（）A12（1ln2）B12+ln2C1ln2D12（1+ln2）12设M，N是抛物线y2x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为-12，则（）A|OM|+|ON|42BMN为直径的圆的面积大于4C直线MN过抛物线y2x的焦点DO到直线MN的距离

5、不大于2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上13已知2，1，-12，12，1，2，3，若幂函数f（x）x为奇函数，且在（0，+）上递减，则 14函数f（x）excosx的图象在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为 15有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省4个地方旅游，假设每名同学均从这4个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为 16如图，三棱锥ABCD中，ACADBCBD10，AB8，CD12，点P在侧面ACD上，且到直线AB的距离为21，则PB的最大值是 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程

6、或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内17（12分）已知公差不为0的等差数列an满足a39，a2是a1，a7的等比中项（1）求an的通项公式；（2）设数列bn满足bn=1n(an+7)，求bn的前n项和Sn18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PAAB1，PB=PD=2（1）证明：BD平面PAC；（2）若E是PC的中点，F是棱PD上一点，且BE平面ACF，求二面角FACD的余弦值19（12分）已知椭圆C：x25b2+y2b2=1(b0)的一个焦点坐标为（2，0）（）求椭圆C的方程；（）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点

7、，直线ME与直线x5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行20（12分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端某种植户对一块地的n（nN*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种（1）当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当n4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望21（12分）已知函数f(x)=x-12sinx-m2lnx+1，f（x）是f（x）的导函数（1）证明：当m2时，f（x）在（0，+）上有唯一零点

8、；（2）若存在x1，x2（0，+），且x1x2时，f（x1）f（x2），证明：x1x2m2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为6cos以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=2+tcosy=-1+tsin（t为参数）（1）若=2，求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；（2）设点P（2，1），曲线C与直线l交于A、B两点，求|PA|2+|PB|2的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=13|xa|，（aR）（1）当a2时，

9、解不等式|x-13|+f（x）1；（2）设不等式|x-13|+f（x）x的解集为M，若13，12M，求实数a的取值范围一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【详解详析】：AxR|x2x20x|1x2，B1，0，1，则AB0，1，故选：C2【详解详析】：由题意可得，Z=4i3-i=4i(3+i)10-45+65i，对应的点（-45，65）在第二象限故选：B3【详解详析】：因为m=log40.40，n=40.41，0p=0.40.51，所以mpn故选：B4【详解详析】：由题意可得AB=2，OC=22，OP=24，AOP45，则APO

10、P=（OP-OA）OP=OP2-OAOP=（24）212422=-18故选：B5【详解详析】：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A 正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%，互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：137%56%9.52%互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互

11、联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误故选：D6【详解详析】：设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|2|OA|2|OF|2c，令|BF|AE|m，|AF|n，|CF|2n，由双曲线的定义有，|CE|CF|AE|AF|2a，CE2n+2a在直角三角形EAC中，m2+（3n）2（2n+2a）2，代入2amn，化简可得m4n，又mn2a得n=23a，m=83a，在直角三角形EAF中，m2+n2（2c）2，即为49a2+649a24c2，可得e=ca=173故选：B7【详解详析】：不等式f（x+

12、1）f（3）0等价为f（x+1）f（3），f（x）x2+log2|x|，f（x）（x）2+log2|x|x2+log2|x|f（x），则函数f（x）是偶函数，且当x0时，f（x）x2+log2x为增函数，则不等式f（x+1）f（3）等价为f（|x+1|）f（3），|x+1|3且x+10，即3x+13且x1，则4x2且x1，不等式的解集为（4，1）（1，2），故选：C8【详解详析】：函数f（x）的两条相邻对称轴间的距离为2，T2=2，即周期T=2，则2，此时f（x）2sin（2x+），把f（x）的图象向右平移6个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）2sin2（x-6）+2sin（2x+-3），

13、g（x）为偶函数，-3=2+k，则=56+k，kZ，|2，当k1时，=56-=-6，则f（x）2sin（2x-6），由2k-22x-62k+2，kZ，得2k-32x2k+23，即k-6xk+3，kZ，即函数的单调递增区间为k-6，k+3，kZ，故选：D9【详解详析】：设球O的半径为R，球O的体积为16053，4R33=16053，解得R25ABAC2，BC=23，BAC260120SABC=1222sin120=3ABC外接圆的半径2r=23sin120=4，可得r2设球心到底面的距离为h，则h=R2-r2=4这个直三棱柱的体积2h3=83故选：B10【详解详析】：根据题意，在ABC中，A+C

14、B，则sin（A+C）sinB，又由sin(A+C)=2Sb2-c2，则有sinB=212acsinBb2-c2，变形可得：acb2c2，若A、B、C成等差数列，则B=3，则cosB=a2+c2-b22ac=12，变形可得a2+c2b2ac，联立可得：a22ac，即a2c，又由acb2c2，则b2ac+c23c2，即b=3c，则cosC=a2+b2-c22ab=4c2+3c2-c222c3c=32，故C=6；故选：C11【详解详析】：f（x）=x，x0e2x，x0，f（x）0恒成立；gf（x）ef（x）m，f（x）lnm；作函数f（x），ylnm的图象如下，结合图象可知，存在实数m（0m1），

15、使x2=e2x1=m故x1x2m-12lnm，令g（m）m-12lnm，则g（m）1-12m，故g（m）在（0，12递减，在（12，1）递增，g（m）g（12）=12+12ln2，故选：D12【详解详析】：当直线MN的斜率不存在时，设M（y02，y0），N（y02，y0），由斜率之积为-12，可得-1y02=-12，即y02=2，MN的直线方程为x2；当直线的斜率存在时，设直线方程为ykx+m，联立y=kx+my2=x，可得ky2y+m0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1y2=mk，x1x2=m2k2，kOMkON=y1y2x1x2=km=-12，即m2k直线方程为ykx2kk（x2

16、）则直线MN过定点（2，0）则O到直线MN的距离不大于2故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上13【详解详析】：2，1，-12，12，1，2，3，幂函数f（x）x为奇函数，且在（0，+）上递减，a是奇数，且a0，a1故答案为：114【详解详析】：f（x）excosxexsinx，f（0）e0（cos0sin0）1函数图象在点（0，f（0）处的切线的斜率为tan1函数图象在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为4故答案为：415【详解详析】：有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省4个地方旅游，假设每名同学均从这4个地方中任意选取一个去旅游

17、，基本事件总数n44256，恰有一个地方未被选中包含的基本事件个数m=C43C42A33=144，则恰有一个地方未被选中的概率为p=144256=916故答案为：91616【详解详析】：取CD中点K，连接AK，BK，ACADBCBD，K是CD的中点，AKCD，BKCD，又AKBKK，AK平面ABK，BK平面ABK，AKBKK，CD平面ABK，又CD平面ACD，平面ABK平面ACDB在平面ACD内的投影在直线AK上，由对称性可知当P在AC（或AD）上时，PB取得最大值过P作PMAB于M，过C作CNAB于N，ACBC10，AB8，CN221，PM=21，P是AC的中点，M是AN的中点，BM6，BP

18、=BM2+PM2=57故答案为：57三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内17【详解详析】：（1）设等差数列an的公差为d（d0），则a1+2d=9(a1+d)2=a1(a1+6d)解得 d4或d0（舍去），a11，an1+4（n1）4n3（2）bn=1n(an+7)=14(1n-1n+1)，Sn=b1+b2+b3+bn=14(11-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4n+418【解答】（本小题满分12分）（1）证明：PA=AB=AD=1，PB=PD=2，PAAB，PAAD，ABADA，PA平

19、面ABCD，PABD又ABCD为正方形，ACBD，PAACA，BD平面PAC（2）解：如图，连接ED，取ED的中点M，设ACBDO，连接OM，则BEOM，从而BE平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，OC=(0，22，0)，OE=(0，0，12)，OD=(-22，0，0)，OM=OE+OD2=(-24，0，14)，平面ACF即平面ACM，设其法向量为n=(x，y，z)，则nOC=0，nOM=0，即y=0，-2x+z=0，令x1，得n=(1，0，2)，易知平面ACD的一个法向量为m=(0，0，1)，cosm，n=23=63，因为二面角FACD为锐二面角，故

20、所求余弦值为：6319【详解详析】：（）根据题意，椭圆C：x25b2+y2b2=1(b0)的一个焦点坐标为（2，0），则有c=2a2=5b2.所以a25，b21所以椭圆C的方程为x25+y2=1；（）根据题意，分2种情况讨论：当直线l的斜率不存在时，此时MNx轴设D（1，0），直线x5与x轴相交于点G，易得点E（3，0）是点D（1，0）和点G（5，0）的中点，又因为|MD|DN|，所以|FG|DN|所以直线FNx轴当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x1）（k0），M（x1，y1），N（x2，y2）因为点E（3，0），所以直线ME的方程为y=y1x1-3(x-3)令x5，所以yF=y1

21、x1-3(5-3)=2y1x1-3由y=k(x-1)x2+5y2=5消去y得（1+5k2）x210k2x+5（k21）0显然0恒成立所以x1+x2=10k25k2+1，x1x2=5(k2-1)5k2+1，因为y2-yF=y2-2y1x1-3=y2(x1-3)-2y1x1-3=k(x2-1)(x1-3)-2k(x1-1)x1-3=kx1x2-3(x1+x2)+5x1-3=k5(k2-1)5k2+1-310k25k2+1+5x1-3=5k5k2+1k2-1-6k2+5k2+1x1-3=0，所以y2yF所以直线FNx轴综上所述，所以直线FNx轴20【详解详析】：（1）对于一个坑而言，要补种的概率为(

22、12)3+C31(12)3=12有3个坑需要补种的概率为：Cn3(12)n，要使Cn3(12)n最大，只须Cn3(12)nCn2(12)nCn3(12)nCn4(12)n，解得5n7，nN*，故n5，6，7C53(12)5=C63(12)5=516C73(12)5=35128，所以当n为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大最大概率为516（2）n4时，要补播种的坑的个数X的所有的取值分别为0，1，2，3，4，XB（4，12），P（X0）=C40(12)4=116，P（X1）=C41(12)4=14，P（X2）=C42(12)4=38，P（X3）=C43(12)4=14，P（X4）=C44(12

23、)4=116所以随机变量X的分布列为：X01234P 116 14 3814 116所以X的数学期望E（X）412=221【解答】证明：（1）当m2时，f(x)=x-12sinx-lnx+1，f(x)=1-12cosx-1x，当x（0，）时，f（x）为增函数，且f(3)=1-14-3=34-30，f()=32-10，f（x）在（0，）上有唯一零点，当x，+）时，f(x)=1-12cosx-1x1-12-1x12-10，f（x）在，+）上没有零点，综上知，f（x）在（0，+）上有唯一零点；（2）不妨设0x1x2，由f（x1）f（x2）得x1-12sinx1-m2lnx1+1=x2-12sinx2

24、-m2lnx2+1，m2(lnx2-lnx1)=x2-x1-12(sinx2-sinx1)，设g（x）xsinx，则g（x）1cosx0，故g（x）在（0，+）为增函数，x2sinx2x1sinx1，从而x2x1sinx2sinx1，m2(lnx2-lnx1)=x2-x1-12(sinx2-sinx1)12(x2-x1)，mx2-x1lnx2-lnx1，下面证明：x2-x1lnx2-lnx1x1x2，令t=x2x1，则t1，即证明t-1lntt，只要证明lnt-t-1t0，（*）设h(t)=lnt-t-1t，则h(t)=-(t-1)22tt0，h（t）在（1，+）单调递减，当t1时，h（t）h

25、（1）0，从而（*）得证，即x2-x1lnx2-lnx1x1x2，mx1x2，即x1x2m2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修4-4：坐标系与参数方程22【详解详析】：（1）曲线C：26cos，将xcos，ysin代入得x2+y26x0即曲线C的直角坐标方程为（x3）2+y29直线l：x=2y=-1+t，（t为参数），所以直线的直角坐标方程为x2，故直线l的极坐标方程为cos2（2）联立直线l与曲线C的方程得（tcos+sin）2+（tsin1）29即t22t（cos+sin）70，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t22（cos

26、+sin），t1t27，因为|PA|2+|PB|2=t12+t22=(t1+t2)2-2t1t2=4(cos+sin)2+14=4sin2+1814，当sin21时取等号，所以|PA|2+|PB|2的最小值为14选修4-5：不等式选讲23【详解详析】：（1）a2时，f（x）=13|x2|，问题转化为解不等式|x-13|+13|x2|1，x2时，x-13+13（x2）1，x-13+13x-231，解得：x32；13x2时，x-13+13（2x）1，解得：x1，故1x2；x13时，13-x+13（2x）1，解得：x0，综上，不等式的解集是：x|x0或x1；（2）|x-13|+13|xa|x的解集包含13，12，x-13+13|xa|x，故1|xa|1，解得：1+ax1+a，故-1+a131+a12，解得：-12a4315