著名机构高一数学暑假目标班讲义第第9讲 函数与方程.目标班

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1、110第 9 讲目标班教师版 满分晋级 新课标剖析 当前当前 形势形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理理)中考查中考查 515 分分 要求层次 内容 ABC 具体要求 高考 要求 函数的零点 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在 性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联 系 2008 年2009 年 2010 年（新课标）2011 年（新课标）2012 年（新课标） 北京 高考 解读 第 2 题 5 分 第 13 题 5 分 第 3 题 5 分 第 13 题 5 分 第 6 题 5 分 第 14 题 5 分

2、第 6 题 5 分 第 8 题 5 分 第 13 题 5 分 第 14 题 5 分 第 9 讲 函数 8 级 幂函数与 复合函数初步 函数函数 9 9 级级 函数与方程函数与方程 函数 10 级 集合中的常用 数学思想 函数与方程 111第 9 讲目标班教师版 9.1 零点的个数 在初中的时候我们学过二次函数如，我们也学过一元二次方程如，这个一 2 6yxx 2 60xx 元二次方程和二次函数有什么关系呢？通过画二次函数的图象和解一元二次方程我们发现，一元二次 方程的两个根就是二次函数图象与轴交点的横坐标.那我们把这两个根就叫做二次函数的零点，那到x 底零点的概念是什么呢？怎么样去求函数的零点

3、呢？函数的零点与方程的根之间到底存在什么关系呢？ 下面我们就来具体看一下： 知识点睛 1.函数的零点：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数 ( )yf x a ( )0f a a 的零点 ( )f x 2.函数零点与方程根的关系 根据函数零点的定义可知：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数 ( )yf x( )0f x 的图象与轴的交点的横坐标因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方 ( )yf x x 程是否有实数根，有几个实数根. 0f x 【教师备案】函数的零点是点吗？ 分析函数零点的定义，并借助于具体的函数来认识.我们把使成立的实数叫做 ( )0f x x

4、 函数的零点，因此函数的零点不是点，是函数与轴的交点的横坐标， yf x yf x x 即零点是实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数的零点实际上就 f x 是方程的实根，方程有几个实根，函数就有几个零点.例如，函 0f x 0f x f x 数，仅有一个实根，所以函数 有一个零 1f xx 10f xx 1x 1f xx 点，由此可见函数的零点是一个实数，而不是一个点. 1 1f xx 1 练习 1：判断下列函数是否存在零点，若有，则求出零点 ； 1f xaxaR 2 6f xxx 3 f xxx 2 412 2 xx f x x 【解析】当时，函数无零点；当时，函数的零点为

5、0a 0a 1 a 函数的零点为 23 ， 函数的零点为0 11， 函数的零点为 6 112第 9 讲目标班教师版 在上面的例中我们可以直接求出函数具体的零点，而且方程有几个根就有几个零点.但是有一函数 我们是求不出具体的零点的！比如，求函数的零点. 1 2 log2xf xx 我们会发现如果令，即，这个方程我们是不会解的.但是 0f x 1 2 log20 x x 我们根据，可以得到，在这个方程中，单纯的左边和单 1 2 log20 x x 1 2 log2xx 纯的右边我们是知道的，所以这种方程的根也可以理解为两个函数的交点，如图.虽 然这种方程不能解出具体的根，但是通过图象我们可以看出根

6、的个数，也就是零 点的个数，我们管这种求函数零点个数的思想叫做数形结合. 3.零点的个数 对于函数，求零点个数一般有以下几种方法： yf x 令，有几个实数根就有几个零点； 0f x 将函数转化为，先画出的图象，然后找与图象的交点个数； g xa g xya g x 将函数转化为，分别画出与的图象，看两图象交点的个数. g xh x g x h x 【教师备案】一般求零点的个数都是由画图解决的. 【教师备案】老师在讲完零点的概念和求零点的个数问题之后就可以让学生做例 1.例 1 主要考察直接 求零点个数，例 1可以解方程也可以用数形结合的思想解决，例 1都是用数形 结合的思想.做完例 1 之后

7、，就可以让学生做例 2 前边的铺垫，老师可以给学生讲这个铺 垫，然后再让学生自己做例 2，例 2 是间接考察函数零点个数的问题，但其主要用的思 想就是数形结合. 经典精讲 【例 1】 （2010 东城二模文 5） 函数的零点个数为（ ） 3 ( )231f xxx A 1234 (2010 福建理 4 文 7)函数的零点个数为（ ） 2 230 ( ) 2ln0 xxx f x xx ， ， ABCD 0 123 方程的实数解的个数为 2 23 x x 方程的实数解的个数为 2 2xx 【解析】 C C 2 ；3 【铺垫】如图，已知定义在上的函数的图象，若方程有三个不相等的实数根，求R f x

8、 f xa O y x 2 1 2 O y x 113第 9 讲目标班教师版 的取值范围a 【解析】 1 2 2 a ， 【例 2】 （2011 北京理 13）已知函数若关于的方程有两个不 3 2 2 12 x x f x xx ， ， x f xk 同的实根，则实数的取值范围是 .k 若函数(且)有两个零点，则实数的取值范围是 ( ) x f xaxa 0a 1aa 【解析】 (01)， 1a 在上边我们已经讲了函数零点的个数，我们有时可以求出函数的零点，有时也可以采用数形结合的思 想把零点的个数求出来.在我们不能求出函数具体零点的情况下，我们除了知道零点的个数以外，能否 把零点所在的大概区

9、间猜一下呢？若能，怎样猜呢？下面我们就来看一下零点所在的区间： 9.2 零点所在的区间 知识点睛 零点分析法：若函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值 ( )yf xab， 符号相反，即则在区间内，函数至少有一个零点 ( )( )0f af b()ab，( )yf x 零点分析法的几何意义：在闭区间上有连续曲线，且连续曲线的始点与终点 ab，( )yf x( )af a， 分别在轴的两侧，则此连续曲线至少与轴有一个交点 ( )bf b， xx 零点的性质：相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 练习 2：方程的解所在的区间为（ ） 3 log3xx A B C D (01)

10、，(12)，(23)，(34)， 【解析】；令，因为， C 3 log3f xxx 33 2 2log 21log0 3 f 3 3log 310f 【教师备案】老师讲完零点所在的区间和上边的例之后，就可以让学生做例 3，例 3 主要考察零点所 在的区间 经典精讲 【例 3】 （2010 天津文 4）函数的零点所在的一个区间是( )( )e2 x f xx AB CD ( 21)，( 10) ，(01)，(12)， （2010 宣武一模理 4）设函数，则其零点所在的区间为（ ） 2 3 1 ( ) 2 x f xx A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 114第 9

11、讲目标班教师版 （2010 上海理 17）若是方程的解，则属于区间（ ） 0 x 1 3 1 2 x x 0 x A B C D 2 1 3 ， 12 23 ， 11 32 ， 1 0 3 ， 【解析】 C B C 做完例 3 以后，这时学生就会判定零点所在的区间了，但是他们只是机械地利用，对零 0f a f b 点所在的区间并没有深刻的理解，所以，这时老师要给学生具体再解释一下零点所在的区间： 若函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线： ( )yf xab， 若则在区间内，函数 ( )( )0f af b()ab， 至 ( )yf x 少有一个零点要注意这里可能不止有一个零点， 如图： 若，函

12、数在上就一定没有零点吗？如 ( )( )0f af bab， 图: 若在上至少有一个零点，则不能说明，如中的图 ab， 0f a f b 若在内有奇数个零点，则不一定有，如 ab， 0f a f b 图： 若在内有一个零点且函数单调，则 ab， 0f a f b 【教师备案】学生对零点有更深刻的理解之后就可以让学生做例 4 和例 5.例 4 主要是已知零点所在的 区间求参数的取值范围.例 5 主要是根据函数的性质和零点能够更好的理解函数. 【例 4】 已知函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）( )312f xaxa ( 1 1) ， a ABC或 D 1 1 5 a 1 5 a 1

13、5 a 1a 1a （2010 宣武一模文 6） 设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（ ） 3 2 ( )log x f xa x (12)， a A B C D 3 ( 1log 2)， 3 (0log 2)， 3 (log 21)， 3 (1log 4)， 【解析】 C b a b a ab 115第 9 讲目标班教师版 【例 5】 (2010 浙江文 9) 是函数的一个零点，若，则( ) 0 x 1 ( )2 1 x f x x 1020 1xxxx， A B 12 00f xf x， 12 ( )0()0f xf x， C D 12 ( )0()0f xf x， 12 00f x

14、f x， （2010 山东理数） 函数的图象大致是（ ） 2 2xyx 【解析】 B A 【备选】（2009 福建卷文 11）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过 ( )f x( )422 x g xx ，则可以是( ) 0.25 ( )f x A B C D ( )41f xx 2 ( )(1)f xx( )e1 x f x 1 ( )ln 2 f xx 【解析】A (北京 35 中 2009-2010 学年度高一第一学期期中) 已知函数在区间单调，且函数的图象是连续不断的一条曲线，又 f xab， ，则函数在区间上（ ） 0f af b f xab， A可能只有一个零点,也可能有多个零点

15、 B可能只有一个零点,也可能没有零点 C一定没有零点 D必有唯一零点 已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，且，则( )yf xR(1)(2)0ff( )yf x （ ） A在区间上有个零点 B在区间上零点个数是偶数个 12， 2 12， C在区间上零点个数可能为 D在区间上没有零点 12，kkN，12， 【解析】 D C 116第 9 讲目标班教师版 9.3 二次函数零点综合应用 * 初高衔接初高衔接韦达定理韦达定理 在讲根的分布之前老师可以先给学生复习一下根与系数的关系（韦达定理） ，韦达定理在初中阶 段有所学习，但是不是中考的重点，所以初中老师对此也没有加强重视，但是韦达定理在高中的应

16、用 很强大，几乎在所有解析几何解答题中都有应用如： 求中点问题，联立方程组，应用中点公式， 12 2 xx x 12 2 yy y 求弦长，弦长公式 22 1212 1()4dkxxx x 求所围成面积：弦长公式和点到直线的距离综合应用 两条线段相垂直 总之理解好题目，将不常见的问题化为学过的知识，如这个定理，以不变应万变 韦达定理说明了一元次方程中根与系数的关系，这里主要讲一下一元二次方程中根与系数的关n 系 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果的两实根分别是， 2 00axbxca 1 x ，那么，这一关系也被称为韦达定理 2 x 12 b xx a 12 c xx a 若和分别是

17、一元二次方程的两个实根，则（其中 1 x 2 x 2 0axbxc 0a 12 xx a ） 注意：今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的 2 4bac 结论 【例题例题】 如果方程的两根之差是 ，那么的值为（ ） 2 100xpxp 1p A B C D2435 二次项系数为 的一元二次方程的两根分别为和，那么，这个方程是（ 11212 ） AB 2 210xx 2 210xx CD 2 210xx 2 210xx 已知实数，且满足，则的值为（ ab 2 (1)33(1)aa 2 3(1)3(1)bb ab ba ） A B C D2323213 设是关于的方程的两个

18、实数根，且， 12 xx，x 2 0(0)xpxqq 22 1122 31xx xx ，求和 12 12 11 0xx xx pq 【解析】 D 117第 9 讲目标班教师版 D A ， 2p 1q * 知识点睛 二次函数零点的分布与区间端点的关系（为的零点） 2 ( )f xaxbxc 12 0axx， f x 零 点 的 分 布 12 xxk 12 kxx 12 xkx 1122 kxxk 11223 kxkxk 图 象 O y xk x2x1O y x k x2 x1 O y x k x2 x1 k1 k2O y x x2 x1 k3 k1 k2 O y x x2 x1 需 要 满 足

19、的 条 件 ( )0 2 0 f k b k a ( )0 2 0 f k b k a ( )0f k 1 2 12 ( )0 ()0 2 0 f k f k b kk a 1 2 3 ( )0 ()0 ()0 f k f k f k 【教师备案】如果班里学生对上边零点分布掌握的比较好，那可以再继续问一下学生“若在 内有且仅有一根”这时需要满足什么条件？下面我们就对“在内有且仅有 12 ()kk， 12 ()kk， 一根”的所有情况进行详细说明： 零 点 的 分 布 在内 12 ()kk， 有且仅有 一根 在内 12 ()kk， 有且仅有 一根 在内 12 ()kk， 有且仅有 一根 在内 1

20、2 ()kk， 有且仅有 一根 在内有且 12 ()kk， 仅有 一根 图 象 需 12 ()()0f kf k k2 k1 O y x k2 k1 O y x k2 k1 O y xO y xk1 k2 k2k1 O y x 118第 9 讲目标班教师版 要 满 足 的 条 件 12 ()()0f kf k0 且 12 () 2 b kk a ， 1 12 1 ()0 22 f k kkb k a 2 12 2 ()0 22 f k kkb k a 经典精讲 【例 6】（北京师大附中 2009-2010 学年度第一学期期中考试） 已知关于的方程：， x 2 21260xaxa 若方程有两个不

21、等实根，求实数的范围； a 若方程有两个不等实根，且两根都在区间内，求实数的范围； 1 ， a 设函数，记此函数的最大值为，最小值 2 2126f xxaxa1 1x ， M a 为 ，求、的解析式 N a M a N a 【解析】 或； 5a 1a 实数的取值范围为 a 5 1 4 ， ， 451 91 aa M a a 2 92 4502 450 a N aaaa aa 【备选】已知函数的零点至少有一个在原点右侧，求实数的范围 2 ( )(3)1f xmxmxm 【解析】的范围是 m (1， 【例 7】（北京五中 2010-2011 学年度高一第一学期期中考试） 已知函数 2 ( )25(

22、1)f xxaxa 若函数的定义域和值域为，求实数的值；( )f x1a，a 若在区间上是减函数，且对任意的， ( )f x2， 1 x 2 11xa， 总有，求实数的取值范围； 12 ()()4f xf xa 若在上有零点，求实数的取值范围( )f x13x，a 【解析】 ； 2a 23a， 53a ， 119第 9 讲目标班教师版 【备选】（人大附中 2009-2010 学年必修 1 模块考核试题） 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为 f x f xx x f x ff xx x 的“周期点”，函数的“不动点”和“周期点”的集合分别记为和，即 f x f x AB ， |Ax f

23、 xx |Bx ff xx 求证：； AB 若，且，求实数的取值范围 2 1f xaxaxRR， AB a 【解析】 任取，即有 xA f xx 则有， ff xf xx xBAB 的取值范围为 a 13 | 44 aa 实战演练 【演练 1】已知，则函数的零点个数是（ ）( )2xf x 2 ( )3g xx( )( )yf xg x A B C D 0123 （北京三十五中 2010-2011 学年高一年级数学月考） 设函数，若，则关于的方程 2 0 ( ) 20 xbxcx f x x ， ，( 4)(0)ff( 2)2f x 的解的个数为（ ） ( )f xx A1B2C3D4 【解析

24、】 C 【演练 2】（2010 天津理 2） 函数的零点所在的一个区间是( ) ( )23 x f xx A B C D ( 21)，( 10) ，(01)，(12)， 设函数的零点为，则所在的区间为（ ）( )ln3f xxxmm A (12)，(23)，(34)，(45)， 【解析】B B 由于在其定义域上单调递增 ( )f x 120第 9 讲目标班教师版 且， (1)10320f (2)2ln23ln210f (3)3ln33ln30f 函数仅在区间有一个零点 ( )f x(23)， 【演练 3】 （2010-2011 年度北方交大附中高一数学月考） 已知函数，若函数有 3 个零点，则

25、实数的取值范 2 2 log1 ( ) 2 xx f x xxx ， ，1 ( )( )g xf xm m 围是_ 【解析】 (01)， 【演练 4】 （2010 北京东城 1 月检测） 若的两个零点分别在区间和区间内，则的取 2 ( )(2)(21)f xmxmxm( 10) ，(12)，m 值范围是（ ） A B C D 11 24 ， 11 42 ， 11 42 ， 11 42 ， 【解析】 C 【演练 5】 （北京师大二附中 2010-2011 学年度高一年级第一学段） 已知函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围 2 ( )221f xaxxa 1 1 ，a 【解析】的取值范围

26、为 a ( 13) ， ， 概念要点回顾 121第 9 讲目标班教师版 1.函数的零点：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个 ( )yf x a ( )0f a 函数的零点 ( )f x 2.零点分析法：若函数在闭区间上的图象是的曲线，并且在区间端点的函数 ( )yf xab， 值符号相反，即则在区间内，函数零点 ()ab，( )yf x 3.零点的分布： 零 点 的 分 布 12 xxk 12 kxx 12 xkx 1122 kxxk 11223 kxkxk 图 象 O y xk x2x1O y x k x2 x1 O y x k x2 x1 k1 k2O y x x2 x1

27、k3 k1 k2 O y x x2 x1 需 要 满 足 的 条 件 答案：答案： 1.a 2.连续不断；至少有一个( )( )0f af b 3. 零 点 的 分 布 12 xxk 12 kxx 12 xkx 1122 kxxk 11223 kxkxk 图 象 O y xk x2x1O y x k x2 x1 O y x k x2 x1 k1 k2O y x x2 x1 k3 k1 k2 O y x x2 x1 需 要 满 足 的 条 件 ( )0 2 0 f k b k a ( )0 2 0 f k b k a ( )0f k 1 2 12 ( )0 ()0 2 0 f k f k b kk a 1 2 3 ( )0 ()0 ()0 f k f k f k