著名机构高二数学文科暑假班讲义第9讲 导数在研究函数中的简单应用 教师版
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1、第9讲 导数在研究函数中的简单应用 满分晋级 导数3级导数的运算与几何意义导数1级导数的概念与运算导数2级导数在研究函数中的简单应用新课标剖析当前形势导数及其应用在近五年北京卷(文)中考查1318分高考要求内容要求层次具体要求ABC导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三次)函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次)利用导数解决某些实际问题北京高考解读2008年2009年2010年(新课标)2011年(新课标)2012年(新课标)第13题 5分第17题13分第18题14分第18题13分第18题13分第18题13分9.1利用导数分析函数的单调性知识点睛利用导数判断
2、函数的单调性的方法如果函数在的某个开区间内,总有,则在这个区间上是增函数;如果函数在的某个开区间内,总有,则在这个区间上是减函数【教师备案】对于函数,若,则为增函数(减函数);反之,若为增函数(减函数),则恒成立,且不恒等于零经典精讲考点1:函数单调性与其导函数正负的关系【教师备案】选修2-2A版教材引入方式1如下图,函数图象的切线的斜率(即导数)的正负可以反映函数的单调性 导数表示函数在点处的切线的斜率在处,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;在处,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减2已知导函数的下列信息:当时,;当或时,;当或时,试画出函数的大致形状【教师备案】
3、选修2-2B版教材引入方式函数在区间上的平均变化率为依据函数单调性的定义:若,则函数在给定区间上为增函数;若,则函数在给定区间上为减函数从导数的角度看: 若,则函数在给定区间上为增函数;若,则函数在给定区间上为减函数因此我们可以用导数作工具来研究函数的性质【铺垫】老师可以以此铺垫给学生讲解导函数的正负与原函数单调性的关系求下列函数的导函数,并画出导函数的图象,观察导函数的正负与原函数单调性的关系【解析】 导函数的图象为: 从导函数的图象我们可以看出,当导函数大于零时,原函数是单调递增的;当导函数小于零时,原函数是单调递减的【例1】 根据导函数图象判断原函数图象(2010石景山一模文理7)已知函
4、数的导函数的图象如右图所示,那么函数的图象最有可能的是( )【解析】 A考点2:从导数角度解释函数增减的快慢【教师备案】函数图象如图1、2所示,由图3、4可知,当自变量逐次增加一个单位增量时,函数的相应增量,越来越大;函数的相应增量,越来越小图1 图2 图3 图4从导数的角度来看:,为增函数;,为减函数图象特点:如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)如果一个函数在某一区间内导数的绝对值越来越大,那么对应的函数图象就越来越陡峭反之,就越来越平缓【铺垫】如图,水以恒速(即单位时间内注水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中
5、,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象【解析】 以容器为例,由于容器上细下粗,所以水以恒速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快反映在图象上,()符合上述变化情况,同理可知其他三种容器的情况B; A; D; C【例2】 函数的增长速度 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图象可能是( ) 如左图所示,液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中,开始时漏斗中盛满液体,经过3 分钟漏完,已知烧杯中液面上升的速度是一个常量,是漏斗中液面下落的距离,则与下落时间(分)的函数关系用图象表示可能是右图中的() 【解析】 考点
6、3:求函数的单调区间【教师备案】求可导函数单调区间的一般步骤和方法第一步:确定函数的定义域;第二步:求,令,解此方程,求出它在定义域内的一切实根;第三步:把函数在间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间;第四步:确定在各个小区间的符号,根据的符号判断函数在每个相应小区间的增减性【注意】函数的单调区间不能用不等式表示,必须写成区间形式; 当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时,这些单调区间不能用“”连接,可用“,”或“和”连接提高班学案1【铺1】 确定函数在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?【解析】 已知函数在
7、区间和内是增函数;在区间内是减函数尖子班学案1【铺2】已知函数求函数的单调区间【解析】 的单调递增区间为,单调递减区间为【例3】 求单调区间求下列函数的单调区间;【解析】 函数的单调递增区间为和;单调递减区间为的单调递增区间为,的单调递减区间为, 目标班学案1【拓3】 已知函数,求函数的定义域及单调区间【解析】 函数的定义域为的单调递增区间为,单调递减区间为和求函数的单调区间【解析】 当时, 的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是提高班学案2【铺1】 若与在上都是减函数,对函数的单调性描述正确的是( )A在上是增函数 B在上是增函数C在上是减函数 D在上是增函数,在上是减
8、函数【解析】 C【例4】 已知函数单调性,求参数范围已知函数不存在单调递减区间,求a的取值范围【追问】若改为存在单调递减区间,则a的取值范围是多少【解析】 的取值范围为【追问】的取值范围为尖子班学案2【拓2】 已知函数,若在上是增函数,则的取值范围为 【解析】 目标班学案2【拓3】 设函数在其定义域内为增函数,求的取值范围【解析】 的取值范围是9.2利用导数分析函数的极值与最值知识点睛1利用导数研究函数的极值:已知函数,设是定义域内任一点,如果对附近的所有点,都有,则称函数在点处取极大值,记作并把称为函数的一个极大值点如果在附近都有,则称函数在点处取极小值,记作并把称为函数的一个极小值点极大值
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