著名机构高二数学文科暑假班讲义第7讲 空间中的垂直关系 删解析

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1、空间中的垂直关系第7讲立体几何4级空间向量满分晋级 立体几何3级空间中的垂直关系立体几何2级平面性质与空间中的平行关系新课标剖析 当前形势空间中的位置关系在近五年北京卷（文）考查14分高考要求内容要求层次具体要求ABC线、面垂直的判定与性质以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第16题 14分第16题 14分第16题 14分第16题 14分第16题 14分7.1线面垂直知识点睛1线线垂直：如果两条

2、直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直2直线与平面垂直：定义：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图直线与平面互相垂直，记作定义中的“任何直线”这一词与“所有直线”是同义词，定义的实质是这条直线和平面内的所有直线垂直这样就用线线垂直关系规定了线面垂直注意这里的“任何直线

3、”不能改成“无数条直线” 由定义可以知道，如果我们需要说明两条异面直线垂直，则只需要说明一条直线垂直于过另一条直线的一个平面即可过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直例：若直线与平面不垂直，则在平面内与直线垂直的直线（ B ）A只有一条 B有无数条 C是平面内的所有直线 D不存在判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断要

4、证明判定定理，只能用定义，若，要证，在平面内任选一条直线，去证，结合下图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行线面垂直的性质定理，可以用同一法证明，如图：直线，若直线不平行，则过直线与平面的交点作直线，从而有又相交直线可以确定一个平面，记，则因为都垂直于平面，故都垂直于交线这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾故重合，性质定理得证由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条经典精讲考点1：线面垂直的概念辨析【例1】 下列命题正确的有_如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这

5、条直线和这个平面垂直；垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；过一点有且只有一条直线垂直于已知直线若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直平行于同一个平面的两条直线可能垂直【解析】 考点2：线面垂直的判定【铺垫】在底面为矩形的四棱锥中，底面，求证：平面；【解析】 底面，平面，底面为矩形，又，平面 同可证明平面，又平面，【例2】 如图，已知为外一点，平面，垂足为，若，求证：平面

6、；【解析】 平面，平面，；又，平面，平面，平面；平面，由知，；同理有平面，为的垂心，从而与同理有，平面，平面，平面，平面，【例3】 如图所示，为所在平面外一点，且，为的中点，连结， 求证：平面； 若直角边，求证：平面【解析】 在等腰中，为中点，法一：又为直角三角形，又平面，平面，平面法二：取中点，连、，；，；又平面，平面，平面，平面，又平面，平面，平面 ，又平面，平面7.2面面垂直知识点睛1定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直如右图：，则称关于面面垂直的定义，人教A、B版的的定义是不一样的，我们这里采用的是B版

7、的定义，A版的定义方式是引入二面角，进而用直二面角来定义两个平面垂直2判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直判定定理即：已知，则证明如下：（我们的依据只有面面垂直的定义，所以应作出与交线垂直的平面，进而说明形成的交线垂直）设，则，在平面内过点做，则平面，则，例：如图，平面，则图中互相垂直的平面有_对经典精讲考点3：面面垂直的判定【铺垫】在正方体中，证明：平面平面【解析】 在正方体中，有，平面，则平面，又平面，则平面平面【例4】 如图，为的直径，所在平面为，于，为上异于，的一点，求证：平面平面【解析】 于，则，为的直径，为上异于，的一点，即，平面，又平面，平面平面提高班

8、学案1【拓1】 在三棱锥中，平面，为的垂心，求证：平面平面【解析】 平面，为的垂心，则，则平面，而平面，平面平面尖子班学案1【拓2】 已知在正方体中，分别是棱，的中点，求证：平面平面【解析】 连接，分别是正方体棱，的中点，则为平行四边形，又平面，平面，即，而，平面，平面，平面平面目标班学案1【拓3】 在正方体中，是棱的中点，求证：平面平面【解析】 连接交于，连接，且，即，平面，而平面平面，平面平面，平面平面知识点睛3性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面性质定理即：已知，于，则在平面内过点做，由于，则平面，即，又，经典精讲考点4：面面垂直的性质【例

9、5】 在直角梯形中，将沿对角线折起，折起后点的位置记为，且使平面平面证明： ； 平面平面【解析】 依题意可知，即，平面平面，且交线为，平面，平面， ，平面，平面，平面平面实战演练 【演练1】已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：；其中正确命题的序号是()【解析】 ；【演练2】到四面体四个顶点距离相等的平面共有_个【解析】【演练3】点是菱形所在平面外一点，且，求证：平面【解析】 为菱形，设，连接，且，平面【演练4】如图，已知，求证：【解析】 ，平面，平面，【演练5】如图，是正方形，垂直于平面，过且垂直于的平面交、 分别于点、，求证：平面；【解析】 平面，平面，又为正方形，平面平面，由的结论，又平面，平面，又平面，平面，平面又平面，大千世界 （第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试）侧棱长都是的三棱锥中，、分别是、的中点，则_，三棱锥的体积是_【解析】 ；89第7讲尖子-目标教师版