著名机构高二数学文科暑假班讲义第6讲 平面性质与空间中的平行关系 删解析

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1、第6讲平面性质与空间中的平行关系立体几何3级空间中的垂直关系满分晋级 立体几何1级空间几何体的概念与结构立体几何2级平面性质与空间中的平行关系新课标剖析 当前形势空间中的位置关系在近五年北京卷(文)考查14分高考要求内容要求层次具体要求ABC空间线、面的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义平面的三个公理灵活运用三个公理和推论证明点线面的位置关系线、面平行的判定与性质以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行的有关性质与判定；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年

2、（新课标）第16题14分第16题14分第16题14分第16题14分第16题14分6.1平面的基本性质与推论知识点睛1集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点在直线上，记作：；点不在直线上，记作；点在平面内，记作：；点不在平面内，记作；直线在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作；直线不在平面内（即直线上存在不在平面内的点），记作；直线和相交于点，记作，简记为；平面与平面相交于直线，记作数学有三种语言：文字语言、图形语言以及符号语言，符号语言方便记忆，可以结合图形语言来加深理解我们在集

3、合那里学习的子集之间的关系有和，分别区分子集与真子集而在立体几何这里，线面之间的关系永远只能是真子集，所以直接用表示即可例：将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示 ，2平面的三个公理： 公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内图形语言表述：如右图：符号语言表述：公理一反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内 公理一也说明了平面是平的，用直线检验平面是否“平”例： 若一条直线过平面内一点和平面外一点，则它和这个平面有几个公共点

4、？（个） 若，且，则（ A ） A B C D 若直线上有两个点在平面外，则（ A ） A直线上至多有一个点在平面内 B直线上有无穷多个点在平面内 C直线上所有点都在平面外 D以上结论都不对 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面图形语言表述：如右图，符号语言表述：三点不共线有且只有一个平面，使公理二可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，确定一个平面的意思是有且仅有一个平面 公理二说明平面比直线多了一个维度，所以需要多一个不共线的点来确定 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条

5、过这个点的公共直线图形语言表述：如右图：符号语言表述：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共 直线叫做这两个平面的交线公理三反映了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到3平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面三个推论都可以由平面基本性质的三个公理得到推论与直接在直线上取点，利用公理与便可得到结论，推论是由平行的定义得到存在性的，再由公理保证唯一

6、性例：下列说法正确的是_一条直线和一个点确定一个平面；三角形和梯形一定是平面图形；两两相交的三条直线确定一个平面；4共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面经典精讲考点1：平面的三公理及推论【例1】 下列选项错误的是（）ABC，且不共线重合D已知点，直线，平面， 以上说法表达正确的有_判断下面说法是否正确：如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面经过一点的两条直线确定一个平面经过空间任意三点有且只有一个平面若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形两个平面的公共点的集合，可能是一条线段【解析】 D； ； 错误；正确；错误；正确；错误；【例2

7、】 如图，已知在空间四边形中（即这四点不共面），分别是、上的点，且交于求证：在直线上如图，在正方体中，与截面交于点，交于，求证：三点共线【解析】 直线，平面，直线，平面，又是平面与平面的交线， 三点共线问题的证法是：证明此三点同在两个相交平面内，从而在它们的交线上平面又平面，根据公理2知：在平面与平面的交线上，即三点共线目标班学案1【拓3】正方体中,分别是、 的中点，求证：这六点共面【解析】 连结和，是的中点 又矩形中，可确定平面，从而在同一个平面内，同理，故共面又平面与平面都经过不共线的三点，故平面与平面重合，所以共面于平面同理可证，六点共面【点评】 证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先

8、确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合【备选】在正方体中，,分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，都相交的直线（ ）A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条【解析】 D；6.2线线关系与线面平行知识点睛1平行线：在同一个平面内不相交的两条直线平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行公理（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等等角定理证明：已知：如图所示，和的边，且射线与同向，射线与同向求证：证明：对于和在同

9、一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形分别在的两边和的两边上截取线段和，使，因为，所以是平行四边形所以同理可得，因此所以是平行四边形因此于是所以例：如果，则与的关系为_（相等或互补）2空间中两直线的位置关系： 共面直线：平行直线与相交直线； 异面直线：不同在任一平面内的两条直线根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线所成的角 异面直线所成角的范围是3直线与平面的位置关系：直线在平面内：直线上所有的点都在平面内，记作，如图；直线与平面相交：直线与平面有一个公共点；记作

10、，如图；直线与平面平行：直线与平面没有公共点，记作，如图画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行；4直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行符号语言表述：图象语言表述：如右图要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（），所以它们可以确定一个平面，与已知平面的交线恰为，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线上，从而得到与相交，与已知矛盾例：，分别是四面体的棱，的中点，则此四面体的棱中，与，三点确定的平面平行的棱为_（，）经典精讲考点2：线面平行的判定【铺垫】已知分别是四面体的棱的中点，求证： 平面； 平面【

11、解析】 ，分别为，的中点，则， 平面，不在平面内 则平面 连结交于，连结，因为是的中位线，所以点为的中点，又是的中点，是的中位线，故，又平面，平面，面【例3】 如图，正方体中，、分别为、的中点，求证：平面【解析】 法一：连结，由为的中点知，为的交点，且有，又，在中，为中位线，故又平面，平面，平面法二：取的中点，的中点，连结，为的中点，为的中点，故，且；同理，且；，且，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面尖子班学案1【拓2】如图，正方体中，、分别为线段、上的点，且，求证：平面【解析】 过点作，过点作，分别交和于，连结，又，又已知，从而有，又，是平行四边形，又平面，平面，平面目标班学案2【拓

12、3】已知空间四边形，、分别是和的重心，求证：平面【解析】 分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明与平面中的某条直线平行证明：（法一）取的中点，是的重心，为的重心，连结，有，且有在中，有，从而又平面，平面，平面（法二）连结分别交于，连结，又平面，平面，平面知识点睛5直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行符号语言表述：图象语言表述：如右图线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，由平行的定义立即可得（共面且无交点）即线面平行的性质定理可以作为线线平行的一个判定若，我们要在内找一条直线与平行，我们只需要过直线做一个与

13、相交的平面，它们的交线即为与平行的直线经典精讲考点3：线面平行的性质【铺垫】如图所示，已知，若，证明：【解析】 ，又，则，同理可以证明，从而【例4】 平行于平面的，是两异面直线，且分别在平面的两侧，若与平面交于点，与平面交于点求证：【解析】 连结，设，连结，平面，平面，即，有同理，有，命题得证6.3面面平行的判定与性质知识点睛1两个平面的位置关系 两个平面平行：没有公共点，记为；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行 两个平面相交，有一条交线，例：已知，则直线与的位置关系为_（平行、相交或异面）经典精讲考点4：面面平行的概念辨析【例5】 下列命题中，真命题有_若，则；若，则

14、；若，则；若，则；若平面平面，直线，点，则在内过点的所有直线中（ ）不一定存在与平行的直线只有两条与平行的直线存在无数条与平行的直线有且只有一条与平行的直线【解析】 ； ；知识点睛2两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行如右图所示符号语言表述：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到：如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾故这两个平面不相交，是平行平面例：经过平面外一点

15、可以作_个平面平行于这个平面，可以作_条直线平行于这个平面（一；无数）若，则平面与平面的位置关系为_（平行或相交）经典精讲提高班学案1【铺1】在正方体中，求证：平面平面【解析】 由正方体的性质知，且，四边形为平行四边形，；又，且，为平行四边形，；又平面，平面，且；平面，平面，平面平面考点5：面面平行的判定【例6】 如图，在正方体中，、分别是、的中点， 求证：平面平面 求【解析】 连结，、分别为所在棱的中点，又平面、平面，平面，平面又，、均在平面内，平面平面 连结、相交于，则是、的中点；从而可知，连结、，则，四边形为平行四边形，【备选】如图，为所在平面外一点，分别为，的重心， 求证：平面平面；

16、求【解析】 连结、并延长分别交、于、，分别为，的重心，连结、有又平面，平面，平面同理，平面，平面平面 知识点睛3两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言表述：图象语言表述：如右图所示1面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到2在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论例：下列命题正确的是（ A ） A夹在两平行平面间的平行线段相等B夹在两平行平面间的相等线段平行C两平面分别与第三个平面相交，若这两条交线平行，则这两个平面平行D平行于同一直线的两平面平行经典精讲

17、考点6：面面平行的性质【例7】 已知平面，且直线与，分别交于点，与异面的直线与，分别交于点，求的长【解析】 【备选】已知平面，为夹在，间的异面线段，、分别为、的中点求证：，【解析】 连接并延长交于，确定平面，且，所以，又，故同理下列选项中能够推出直线平面的条件是（）A存在一条直线， B存在一个平面， C存在一个平面，D存在一条直线，【解析】 B【点评】 本题较易误选A，C，D；但实际上A，C，D都有的反例；学习立体几何时，对于这些特殊情形要引起特别注意实战演练 【演练1】两个平面平行的充分条件是（ ）A一个平面内一条直线平行于另一个平面 B一个平面内两条直线平行于另一个平面C一个平面内的无数条

18、直线平行于另一个平面D一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 【解析】 D【演练2】已知空间四边形，、分别是、的中点，求证：平面，平面【解析】 在中，、分别是、的中点又平面，平面，平面同理，平面【演练3】过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ）A4条B6条C8条D12条【解析】 D；【演练4】在三棱锥中，作截面，若的延长线交于，的延长线交于点，的延长线交于点求证：三点共线【解析】 直线和为相交直线，故它们确定一个平面，记为，则直线，故，又, 故平面，故（平面平面），故在它们的交线上，从而知三点共线【演练5】已知长方体中，分别是的中点求证：平面平面【解析】 ，四边形为平行四边形，故有取的中点，连结，四边形为平行四边形，故有又，四边形为平行四边形，故有，又，平面平面大千世界 证明：若一直线和两个相交平面都平行，则这条直线和这两平面的交线平行【解析】 题目即：已知，证明，过做平面，则有，同理过做平面，则，又，又，即。79第6讲尖子-目标教师版