著名机构高二数学文科秋季班讲义第13讲 导数在研究函数中的综合应用 教师版

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1、第13讲 导数在研究函数中的综合应用导数5级与导数相关的综合问题探究满分晋级 导数4级导数在研究函数中的综合应用导数3级导数的运算与几何意义新课标剖析当前形势导数及其应用在近五年北京卷(文)考查1314分高考要求内容要求层次具体要求ABC导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三次)函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次)利用导数解决某些实际问题北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第18题14分第18题13分第18题13分第18题13分第18题13分13.1利用导数分析函数的单调性、极值与最值知识

2、点睛利用导数判断函数的单调性的方法如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是增函数；如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是减函数利用导数研究函数的极值：已知函数，设是定义域内任一点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取极大值，记作并把称为函数的一个极大值点如果在附近都有，则称函数在点处取极小值，记作并把称为函数的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： 求函数在内的极值； 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值经典精讲提高班学案1【铺1】已知函数，且是奇函数 求，的值

3、； 求函数的单调区间【解析】 因为函数为奇函数，所以对任意的，即又所以所以解得， 由得所以当时，由得变化时，的变化情况如下表：00所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，所以函数在上单调递增【例1】 已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；求函数的单调区间.【解析】 函数的定义域为，又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即 由于当时，对于，有在定义域上恒成立，即在上是增函数当时，由，得当时，单调递增；当时，单调递减尖子班学案1【拓2】（2012朝阳一模文18改编）已知函数，当时，求函数的单调区间.【解析】 ，设， 当时，在上为单调减函数； 当时，方程的判别式为，令，解

4、得（舍去）或，当时，即，且在两侧同号，仅在时等于，则在上为单调减函数；当时，则恒成立，即恒成立，则在上为单调减函数；当时，令，方程有两个不等实根，作差可知，则当时，在上为减函数；则当时，在上为单调增函数；则当时，在上为减函数；综上所述，当时，函数的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为，函数的单调增区间为.【例2】 已知函数 若，求函数的解析式； 若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围【解析】 ，由，得函数 函数的定义域为要使函数在其定义域内为单调增函数，只需函数在区间恒成立，即在区间恒成立即在区间恒成立 令，当且仅当时取等号，目标班学案1【拓3】（2011海淀二模文18）已知函数 若，

5、求函数的解析式； 若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围 【解析】 因为 ， 由，即，解得， 所以的解析式为 若，则，当，即时，恒成立，那么在上单调递增，所以当时，在区间上单调递增； 当，即或时，令解得，列表分析函数的单调性如下：要使函数在区间上单调递增，只需或，解得或 综上所述，的取值范围为.提高班学案2【铺1】已知函数,则的极大值为 ，极小值为 【解析】 ，当或时，；当或时，；当时，+极大值极小值尖子班学案2【铺2】已知函数在点处取得极大值，则与的值分别为（ ）ABCD【解析】 A+极大值极小值所以有，解得目标班学案2【铺3】设，若函数，有大于零的极值点，则( )ABCD【解析】，若函数

6、在上有大于零的极值点，即有正根当成立时，显然有，此时，由我们就能得到参数的范围为【例3】 已知函数与函数 若，的图象在点处有公共的切线，求实数的值； 设，求函数的极值【解析】 因为，所以点同时在函数，的图象上，由已知得，所以，即 因为所以当时，因为，且，所以对恒成立，所以在上单调递增，无极值当时，令，解得，（舍）所以当时，的变化情况如下表：0+极小值所以当时，取得极小值，且综上，当时，函数在上无极值；当时，函数在处取得极小值【例4】 已知是实数，函数 若，求的值及曲线在点处的切线方程； 求在区间上的最大值【解析】 ，因为，所以又当时，所以曲线在处的切线方程为 令，解得，当，即时，在上单调递增，

7、从而；当，即时，在上单调递减，从而；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以综上所述，尖子班学案3【拓2】（2012北京文18）已知函数， 若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值； 当，时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围【解析】 ，又，在点处的切线方程为，即；，又，在点处的切线方程为，即；依题意知，且，即 记，当时，令，得，与在上的变化情况如下：由此可知，当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值小于，因此，的取值范围是目标班学案3【拓3】（2011朝阳一模文18）已知函数，. 若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； 求函数在区间上的最小值.【解析】

8、直线的斜率为1.函数的导数为，则，所以. ，.当时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减；在区间上，此时在区间上单调递增；则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上为单调递减，则在区间上的最小值为.综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为. 13.2函数图象的交点问题知识点睛函数图象交点情况实质是转化为方程根的情况 函数的图象与轴的交点（方程的根的情况）； 函数的图象与直线的交点（方程或的根的情况） 函数的图象与直线的交点（方程或的根的情况）

9、 函数的图象与函数的图象的交点（方程的根的情况）经典精讲【例5】 已知函数和函数的图象有三个交点求实数的取值范围【解析】 两个函数图象有三个交点等价于有三个不相等的实根，即方程有三个不相等的实根方法一：令，则直线与的图象有三个交点+极大值极小值大致绘出其导函数与函数图象，如下：依题意有，即方法二： 令，则+极大值极小值所以当且仅当，即，时，有三个零点所以实数的取值范围为【例6】 已知函数 判断函数的单调性； 若+的图象总在直线的上方，求实数的取值范围.【解析】 可得当时，为增函数；当时，为减函数 依题意，转化为不等式对于恒成立令，则 当时，因为，是上为增函数，当时，是上为减函数，所以的最小值是

10、，从而的取值范围是 提高班学案3【拓1】（2011丰台一模文19）已知函数在上是增函数，在上是减函数 求的值； 当时，曲线总在直线上方，求的取值范围【解析】 ，在上；在上故，在上；在上，故，解得在直线的上方，即对恒成立令，则在上恒成立，故当时，；当时，故在时取到极小值，也是最小值故，解得综上知目标班学案4【拓3】（2011石景山一模理18）已知函数， 当时，求在区间上的最大值和最小值； 若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围【解析】 当时， 对于，有，在区间上为增函数， 令，则的定义域为， 在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立， 若，令，解得：，当，即时，在上有，此时

11、在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，在有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；若时，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是 综合可知，当时，函数的图象恒在直线下方 已知函数 求曲线在点处的切线方程； 设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：【解析】 曲线在点处的切线方程为：，即 如果有一条切线过点，则存在，使若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根，记，则当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性， 如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则，即【点评】 此题是将切线问题转化为了

12、三次函数的零点问题，即三次方程的实根情况实战演练 【演练1】函数的单调递增区间是( ) ABCD【解析】 D，令，解得，故选D【演练2】若函数在处取极值，则 【解析】【演练3】（2010丰台二模理7）设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有（ ）A BC D【解析】 A即，说明是单调递减函数，于是由有【演练4】（2010宣武一模文14）有下列命题：是函数的极值点；三次函数有极值点的充要条件是；奇函数在区间上是单调减函数其中假命题的序号是 【解析】 在上单调增，没有极值点，错；，有极值点的充要条件是有两个不相等的实根，也即，正确；是奇函数，则，由，可得，因此，所以当时，故在上是单调

13、减函数【演练5】设是一个三次函数，为其导函数，如图所示的是的图象的一部分，则的极大值与极小值分别是 ( ).A与B与C与D与【解析】 C00极大值极小值【演练6】已知函数 求的单调区间； 若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围【解析】 ，当时，对，有，当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为和；的单调减区间为 在处取得极值， ，由解得由中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值直线与函数的图象有三个不同的交点，结合的单调性可知，所以的取值范围是大千世界 （2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请试题高二 第2试）已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为，的图象与轴的交点位于坐标原点的下方，在与处取得极值，且，求： 函数的解析式； 函数的单调区间【解析】 ，所以， 由函数的图象经过，知，即， 又在点的切线是，它的斜率是，所以，即， 由得， 因为在与处取得极值，即的两根为，所以，又，所以，即，解得或，分别代入，得，或，（与矛盾，舍去）综上知 由，得 令，得或， 当变化时，变化情况如下表：极大值极小值 所以函数在区间和上单调递增，在区间单调递减13第13讲尖子-目标教师版