著名机构高二数学文科秋季班讲义第10讲.直线与双曲线、抛物线的位置关系.初稿

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1、 直线与双曲线、抛物线的位置关系第10讲 解析几何13级直线与圆满分晋级 解析几何12级直线与双曲线、抛物线的位置关系解析几何11级双曲线、抛物线基本量问题的典型考法新课标剖析 当前形势双曲线与抛物线在近五年北京卷(文)考查514分高考要求内容要求层次具体要求ABC直线与圆锥曲线的位置关系判别式和韦达定理的应用；直线与椭圆相交截得的弦长北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2013年（新课标）第19题14分第13题5分第10题5分第7题5分第9题5分 在直线与椭圆的位置关系一讲，我们处理了交点个数问题、弦长问题、面积问题、共线问题与垂直条件转化等基本问题直线与圆锥曲线的

2、位置关系对于椭圆、双曲线与抛物线来讲是基本一致的，处理的手段也基本一致，因为我们较少研究圆锥曲线的性质，所以基本都是通过代数手段：即联立后分析方程及利用韦达定理处理的但细节上，对于不同的圆锥曲线还是有些小的区别，双曲线有两支，不像椭圆一样是封闭图形，而且有渐近线，所以研究直线与双曲线的位置关系与直线与圆锥的位置关系有一些小的区别而抛物线的方程相对简单，抛物线里面有更多的几何性质比较容易研究，所以在直线与抛物线的位置关系中，我们会研究更多的抛物线的焦点弦的性质与其它几何性质，也会补充一种常见的问题，如中垂线问题的转化、向量共线问题的转化等对于过轴上的直线的设法与两条相关直线的设法等基本方法也会在

3、例题中体现10.1直线与双曲线的位置关系考点1：直线与双曲线的交点个数与位置暑假知识回顾直线：与双曲线的位置关系（斜率不存在时，单独讨论）：方法一：代数计算联立消元 （*）当，即时，直线与渐近线平行或重合，此时它与双曲线有一个公共点或零个公共点；当时，判别式，根据判别式可得到公共点个数方法二：几何图形画出双曲线与直线的草图，根据直线与双曲线的渐近线的位置关系与双曲线的性质直接得到公共点个数，只能进行定性判断 我们在暑假预习时研究过直线与双曲线的交点个数问题，这里先进行一些回顾与总结预习时，我们只对这类问题进行过定性判断，即结合图形判断交点个数，没有进行定量计算，例1对这些问题进行了定量的研究（

4、预习时，在目标班学案中进行了部分研究）当然除了边界需要通过代数计算确定，大致范围仍然可以借助几何图形得到练习1：已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（ ）A3条 B4条 C1条 D2条【解析】 D因为双曲线的渐近线为，点在渐近线上，所以满足要求的直线只有两条经典精讲【铺垫】已知双曲线，直线，试讨论实数的取值范围直线与双曲线有两个公共点；直线与双曲线有且只有一个公共点；直线与双曲线没有公共点【解析】 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需要联立直线与双曲线组成方程组，对方程解的个数进行讨论由消去得（*）当，即时，直线与双曲线渐近线平行，方程（*）化为，故此方程（

5、*）只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点当，即时，即，且时，方程（*）有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点，即时，方程（*）有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个公共点，即或时，方程（*）无实数解，即直线与双曲线无公共点综上所述，当或或时，直线与双曲线有两个公共点；当或时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当或时，直线与双曲线无公共点【例1】 已知双曲线，直线：，试讨论实数的取值范围：直线与双曲线有两个公共点；直线与双曲线的两支各有一个公共点；直线与双曲线的右支有两个公共点；直线与双曲线的两支有两个公共点【解析】 将直线与双曲线，化简整理得 （*） 当，且，直线与双曲

6、线有两个公共点，解得；在方程（*）有两根的情况下，记两根为，则， 对应方程有一正根一负根，只需，解得的取值范围为 对应方程有两个不同的正根，有，且，解得： 对应方程有两个不同的正根或两个不同的负根，有，且，解得的取值范围为尖子班学案1【拓2】已知直线与双曲线，记双曲线的右顶点为，是否存在实数，使得直线与双曲线的右支交于，两点，且，若存在，求出值：若不存在，请说明理由【解析】 将直线代入双曲线方程，整理得：，设，于是有，又直线与双曲线交于右支上两点，故有，且，解得：，于是有，即，解得或，故不满足情况，故实数不存在目标班学案1【拓3】若直线与双曲线的右支有两个相异公共点，是弦长关于的函数，求并指出

7、函数的定义域；若已知，求的值域【解析】 将直线与双曲线联立，化简整理得（）设，则，=，要使直线与双曲线右支有两个相异公共点，应满足（）式中，且，解得：，即函数的定义域为； 令，则，时，于是，于是的值域为考点2：双曲线的弦长问题知识点睛弦长公式：对于直线：，点，；两根差公式：如果满足一元二次方程：，则() 暑假预习时是以抛物线中的弦长问题为重点讲解的，没有涉及到双曲线中的弦长问题，但因为处理思路都是完全一致的预习时，还提到了双曲线的通径，双曲线的通径长为，它是同支的焦点弦中的最短弦简单证明如下：双曲线，考虑过它的右焦点的直线交双曲线于、两点，若是通径，易求得；若不是通径，设：，联立，当时，与双曲

8、线有同支的两个交点，此时于是，令，则，而，故，故故双曲线同支的焦点弦中，通径最短对于双曲线非同支上的弦，最短为两个顶点为端点构成的弦，长度为，当时，故通径此时就是最短的焦点弦但当时，最短的焦点弦为顶点连线得到的弦这个结论都不需要记忆例2都涉及到双曲线的通径问题与焦点弦问题，例2是一般的弦长问题经典精讲【例2】 直线过双曲线：的左焦点，若只与的左支相交，则弦长的最小值为_；若与的左右两支都相交，则弦长的最小值为_；设直线截双曲线所得的弦长为：若，则满足条件的直线有_条；若，则满足条件的直线有_条；若，则满足条件的直线有_条过双曲线的左焦点作倾斜角为的弦，求的周长为双曲线的右焦点）渐近线方程为和且

9、被直线所截得的弦长为的双曲线方程为_【解析】 ； 双曲线焦点，直线方程为代入双曲线方程得，设，直线与双曲线相交的两点在双曲线的左右两支上，设为左支上的点，为右支上的点，且，的周长为又，的周长为【点悟】本题求弦长利用两种方法：利用弦长公式求弦长，是通常使用的方法本题中恰好是焦点弦长，求焦点弦长，对双曲线应区分两种情况处理如果两个交点分别在左、右两支上，如下图左所示，则如果两个交点在同一支上，如下图右所示， 设渐近线方程为和的双曲线系的方程为，弦长，解之得所求双曲线的方程为，即考点3：双曲线中的夹角问题 本考点主要解决角度问题，垂直与角度首先需要通过向量转化成代数表示式（垂直也可以通过勾股定理等其

10、它条件，但不如向量简单），再通过韦达定理对代数表达式进行转化虽然双曲线近年考查较少，不作为重点，但双曲线的角度问题的处理也与椭圆没有什么区别，所以这些问题的处理也可以用于对直线与椭圆位置关系的处理经典精讲提高班学案1【铺1】已知直线与双曲线交于不同的两点，且，求的值【解析】 设、两点的坐标分别为，由得判别式，（*），将（*）代入上式解得【例3】 已知双曲线：，设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值【解析】 点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得由及得，切线与双曲线交于不同的两点、，且，且，设、两点的坐标分别为，则，且的大小为10.2直线与抛物线的位置关系暑假知识回顾

11、直线：与抛物线（）的位置关系（斜率不存在时，单独讨论）：联立，消去得：，当时，解得，此时直线与抛物线的轴平行，一定有一个交点；当时，有，根据的符号可得到公共点的个数说明：对于抛物线来说，联立消元时消去比消去计算量大为了减少计算量，我们会设立倒斜横截式来设定直线，即设直线方程为，此时是直线的斜率的倒数，不能表示斜率为的直线但考虑到学生习惯设立直线的斜截式，而且大部分学校老师都引导学生设立斜截式，所以程度不太好的学生比较难习惯这种设法，反而容易出错我们也可以在消元时直接将表示成，如：在上面的推导中，我们讨论与的情况，当时，直线方程为，联立解得；当时，有，即，得练习2：已知直线与曲线恰有一个公共点，

12、求实数的值【解析】 联立方程，当时，次方程恰有一组解为；当时，得，若，即，则方程为，得；若，即，由得，可得这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上，当时，直线与曲线只有一个公共点练习3：过点的抛物线的切线方程为 【解析】 设过点的抛物线的切线方程为，将其与抛物线联立，消去参数可得，该直线与抛物线相切，故，切线方程为练习4：顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，截直线所得的弦长为，求抛物线方程【解析】设抛物线的方程为（）由得，设方程的两根为，则把，代入中可得，解得或所以所求的抛物线方程为或考点4：抛物线的焦点弦问题 抛物线的焦点弦有很多性质，这些性质的推导都用到了直线与抛物线的位置关系中常用的处理方法

13、，可以选择一些性质让学生进行推导，从而熟悉直线与抛物线位置关系问题的基本处理方法，这些性质不需要记忆，介绍完这些性质的推导过程再做后面的例5知识点睛抛物线过焦点的弦有一些特殊的性质：（这些性质不需要记忆）已知是抛物线的焦点弦，为抛物线的焦点，垂直于抛物线的准线于两点，如图，记直线的倾斜角为，、，则有以下结论： ； ； ； ； 以（）为直径的圆与轴相切； 以为直径的圆与抛物线准线相切； （、）三点共线推导过程如下： 的焦点，设直线方程为，由消去得 ，当不存在时，直线方程为，这时，则，因此，总有，成立 由抛物线定义：等于点到准线的距离，同理： 又，由方程知： 将代入得当不存在时， 如图， ，又，代

14、入上式得 设的中点为，则，故点到轴的距离，故以为直径的圆与轴相切 设的中点为，分别过、作准线的垂线，垂足为、，则以为直径的圆与准线相切 由题意，结合，有，又与都经过同一点，三点共线经典精讲提高班学案2【铺1】 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则的值等于 抛物线与直线交于两点，其中点的坐标是，设抛物线的焦点，则 【解析】 ；= ；将代入抛物线，得，又把代入得，直线方程由得，【例4】 以抛物线（）的焦点弦为直径的圆与准线切于点，求这个圆的方程；求的面积【解析】 由抛物线的方程知其准线为，设焦点弦的中点为，由以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切于点，可知，所以焦点为 设所在的直线的斜率为，

15、则：，与抛物线方程联立：，由韦达定理，将代入，得圆的圆心为，圆的半径为，故所求圆的方程为考点5：两条相关直线与抛物线相交的问题 直线与抛物线相交的问题相对比较容易处理，直线与抛物线联立的消元一般都是消去一次项，这样计算量会大大减少，例5也是抛物线的一个性质，通过这道题考查两条相关直线（倾斜角互补、垂直等）的直线如何设立方程减少计算，强化如何转化垂直的条件，这在椭圆中已经介绍过老师可以用第题来讲方法，让学生类推去做第题经典精讲【例5】 从抛物线上的一个定点引两条倾斜角互补的弦，则直线的斜率为定值抛物线的弦的端点与顶点的连线成直角时，直线过定点；反之，抛物线的弦过定点时，有【解析】 若定点为顶点，

16、则直线垂直于轴；若定点在抛物线上且不是顶点，设直线的方程是，由得：，由于，故，从而同样，直线的斜率是，因此直线的斜率为定值直线的方程是，由得：，直线的方程为，同理有直线的斜率是，故直线的方程是，化简得：，（化简思路：化简时将含的项移到等式的一边）故直线过定点反之，可设,直线为，连立，消去得：,于是，故，命题得证利用例5的结论可以快速处理一些问题，如下，供选讲，也可以不过结论，直接进行推导【备选】抛物线的弦过定点，则是（ ）A锐角 B直角 C钝角 D以上都可能直线与抛物线交于、两点，设以为直径的圆为圆，则坐标原点与圆的关系为_【解析】 若过点，则为直角，点在点左侧，故为钝角，故原点在圆上尖子班学

17、案2【拓2】已知抛物线上一点，抛物线的弦满足，证明：直线过定点【解析】 设直线的方程是，由得，从而，得同理得直线的斜率是，故直线的方程是，整理得：，于是，解得，故直线过定点考点6：抛物线中的中垂线问题经典精讲【例6】 （2012年丰台二模理19）在平面直角坐标系中，抛物线：，斜率为的直线与抛物线交于、两点若的垂直平分线分别交轴和抛物线于、两点（、位于直线两侧），当四边形为菱形时，求直线的方程【解析】 设直线的方程为，联立消得，即的中点为故的垂直平分线方程为令得因为四边形为菱形，所以关于对称，所以点坐标为，且在抛物线上，有，解得，所以直线的方程为目标班学案2【拓3】（2011西城一模文19）已知

18、抛物线的焦点为，设，为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线过点，求证：线段中点的横坐标为定值【解析】 设线段中点的坐标为，因为不垂直于轴，不可能平行于轴，故直线的斜率为，直线的斜率为，法一：直线的方程为，联立方程消去得，所以，因为为中点，所以，即，所以即线段中点的横坐标为定值法二：点在抛物线上，故，两式相减得故有，即，解得，即线段中点的横坐标为定值考点7：直线与抛物线综合 例7是一道直线与抛物线的综合题，抛物线的切线问题也是一个常考查的问题，有一些很好的性质，但在介绍完导数后再处理会更容易一些这里选择了一道与切线相关的问题先了解一下经典精讲【例7】 已知抛物线：，直线交于两点，是线段

19、的中点，过作轴的垂线交于点 证明：抛物线在点处的切线与平行； 是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由【解析】 法一： 如图，设，把代入，得，由韦达定理得，点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式，得，直线与抛物线相切，即 法一：假设存在实数，使，则，又是的中点，由知轴，又，解得即存在，使得法二：假设存在实数，使由知，则，解得即存在，使得目标班学案3【拓3】若曲线：上存在关于直线：对称的两点，求的取值范围【解析】 已知，设直线的垂线为：代入，可得 （*）若存在两点关于直线对称，则，又在直线上，所以，得由方程（*）有两个不等实根，所以，即所以，解得或 已知两点和，若直线上存在

20、点，使，则称该直线为“型直线”给出下列直线：；，其中为“型直线”的是（ ）ABCD 如图抛物线：和圆：，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为（ ）A B C D【解析】 B由，可得点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右半支，其方程为，其两条渐近线方程为由题意知“型直线”即为与双曲线右半支有公共点的直线，作图可得仅直线与直线与其有交点，故应选B A；记抛物线的焦点为，则，同理，结合图象知，当直线的斜率存在时，可设其方程为，代入消去得，于是知，即为所求；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，于是分别联立直线与圆及抛物线的方程可解得也有故当然，作为选择题，可以直接取特殊直线得到答案实战演练【演练

21、1】斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是_【解析】由例题知，直线与双曲线的两支分别相交，满足（其中为双曲线的两条渐近线的斜率），即，解得即双曲线的离心率的取值范围是【演练2】过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于两点，若，则这样的直线有_条【解析】 双曲线的通径长为，两顶点间的距离为，且，故有四条【演练3】过点的直线与抛物线交于、两点，若线段中点的横坐标为2，则等于（ ）A B C D【解析】 C设直线方程为，、由得，直线与抛物线交于、两点，即又，或（舍），【演练4】设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于，两点，则（ ）A B C3 D【解析】

22、 B抛物线的焦点为，设直线的方程为设，则【演练5】过上一点作倾斜角互补的两条直线、交抛物线于、两点，如图，求证：直线的斜率是定值【解析】 法一：设的斜率为，则的斜率为，与联立得，即是此方程的一解，以代替代入点坐标得，为定值法二：设，则，由题意得，则，则为定值大千世界如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点又已知该双曲线的离心率 求证：依次成等差数列； 若，求直线在双曲线上所截得的弦的长度【解析】 如图，由已知，即，故 ，从而 ，由得：设，则故，即令，则，满足，所以、依次成等差数列 由已知，代入，得，于是双曲线的方程为.设直线的斜率为，则于是直线的方程为联立，消得故弦的长度21第10讲尖子-目标教师版