著名机构高二数学文科寒假班讲义第2讲 推理与证明 教师版

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1、推理与证明第2讲2.1合情推理与演绎推理知识点睛本板块共两道例题，例1是合情推理，包括归纳推理与类比推理两种；例2是演绎推理，涉及到其中的三段论推理与完全归纳推理推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断这种思维方式就是推理从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论推理一般分为合情推理与演绎推理1合情推理：前提为真，结论可能为真的推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）归纳是从特殊到一般的过程由归纳推理得

2、到的结论是通过猜测得到的，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具归纳推理的一般步骤：第1步 通过观察个别情况发现某些相同的性质；第2步 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）类比推理的一般步骤：第1步 找出两类事物之间的相似性或一致性；第2步 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越有关，类比得出的命题就越可靠2演绎

3、推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真因而演绎推理是数学中严格的证明工具几种数学中常用的演绎推理规则：假言推理：通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真符号语言：若，真，则真；三段论推理：如果，则“三段论”是演绎推理的一般模式；包括：大前提已知的一般原理；（通常是已知的定义、定理、公式等）小前提所研究的特殊情况；（通常是已知条件或前面推理的结论）结论据一般原理，对特殊情况做出的判断传递性关系推理：如果，则，其中表示具有传递性的关系完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情

4、推理不能用作证明，一道证明题，往往要综合应用这些演绎推理规则，如果违背了这些规则，那么证明就是错误的归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确不等式证明中的放缩法就属于传递性关系推理；数学归纳法属于完全归纳推理，文科现在不再学习数学归纳法，复式三段论一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论可以看出我们现在遇到的

5、证明或推理的过程，基本上都是复式三段论经典精讲考点：合情推理【例1】 已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出_ 观察以下不等式可归纳出对大于1的正整数成立的一个不等式，则不等式右端的表达式应为_ 设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列 将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”，直角三角形具有性质“两直角边长的平方和等于斜边边长的平方”仿照此性质写出直角三棱锥所具有的性质：_【解析】 ，推测 注意时不成立 三个直角面的面积的平方和等于斜面的面积的平方；证明过程如下：如图，为三直

6、角顶点，过作的垂线，交于，连结，则，尖子班学案1【拓1】 从，这四个式子中，得到的一般性结论是_ 下列是关于复数的类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由实数绝对值的性质类比得到复数z的性质；已知，若，则类比得已知，若，则;由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确的是 【解析】 目标班学案1【拓2】 已知数列，则是该数列的第 项 已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等”，则（ ）A1B2C3D4【解析】 ；观察分子，一

7、般的，我们可以看出在那一排的第项，它之前总共有：，因此位于数列的第项 C如图设正四面体的棱长为1，则易知其高，此时易知点即为正四面体内切球的球心，设其半径为，利用等积法有故，故考点：演绎推理【例2】 一切奇数都不能被整除，是奇数，所以不能被整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 “三角函数是周期函数；是三角函数；所以是周期函数”在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ）A推理完全正确 B大前提不正确C小前提不正确 D推理形式不正确 证明：函数的值恒为正数【解析】 一切奇数都不能被整除， 大前提是奇数， 小前提所以不能被整除 结论 C小前提：，是三角函数的一部分，而不是完整的正切函数，所以结论是周期

8、函数错误 当时，的各项都为正数，故此时；当时， ；当时，；综上知，函数的值恒为正尖子班学案2【拓1】 由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ ）A正方形的对角线相等 B平行四边形的对角线相等C正方形是平行四边形 D其它【解析】 A其中是大前提；是小前提目标班学案2【拓2】 有一段“三段论“推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点以上推理中（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确【解析】 A是是函数的极值点的必要条件，不是充分条件2.2直接证明与

9、间接证明知识点睛证明：分成直接证明与间接证明1直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性常用的直接证明方法有综合法与分析法综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论是从原因推导到结果的思维方法；分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法2间接证明：常用的有反证法反证法：先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性 常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；与原命题

10、中的已知结论矛盾等经典精讲考点：直接证明【例3】 已知，求证： 证明：若，则.【解析】 要证，而则，由题目条件已知 原不等式等价于，【备选】已知函数(且)，证明函数的图象关于点对称【解析】 要证明函数的图象关于点对称，由于函数的定义域为，则只需证明，函数图象上任一点关于点对称的点也在函数的图象上，即证明，由已知得，则，即函数的图象关于点对称【例4】 已知，且，求证：； 求证：；【解析】 法一：分析法因为，且，所以，要证明原不等式成立，只需证明，即证，从而只需证明，即，因为，所以成立，故原不等式成立法二：综合法因为，且，所以，而，故，故，从而 法一：综合法，将此三式相加得2法二：分析法要证，即证

11、，左边可以写成：，此不等式显然成立，且在时取到等号，故原不等式得证考点：间接证明【例5】 已知非零实数成等差数列，且公差，求证：不可能是等差数列 已知实数满足，求证中至少有一个是负数【解析】 反证法：若是等差数列，则，又，两式联立消去得，化简得：，故，这与矛盾，故假设不成立，即不可能是等差数列 反证法：假设都是非负实数，这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数目标班学案3【拓2】 求证：（是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与轴有两个交点【解析】 如果三条抛物线都与轴至多有一个交点，则有，三式相加得：，于是有，于是，与已知矛盾，故三条抛物线至少有一条与轴有两个交点【例6】

12、 已知函数，证明函数的零点非负【解析】 方法一：假设存在满足，则，即，与假设相矛盾，故函数的零点非负方法二：假设存在满足，若，则，与矛盾若，则，与矛盾，故函数的零点非负尖子班学案3【拓1】 已知函数在上单调递增，若对任意，且求证：【解析】 若，不妨设，依题意有，由在上单调递增，可得，即，与我们的假设条件矛盾同理若也推出矛盾，所以只能如下推理过程错误在哪？考虑方程，移项有，等式两边同时除以，有，把上式代入原方程，有，即，即，也就是，把带回原方程，得到，即！ 【解析】 其实， 并不是方程 的解在实数范围内，方程是没有解的，但在复数范围内有两个解另一方面，只是的其中一个解其实一共有三个解，只不过另外

13、两个解是复数范围内的考虑方程，容易看出的两个复数解正好就是的两个解因此，与同时成立并无矛盾注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释或许这也说明了引入复数概念的必要性吧实战演练 【演练1】 由数列，猜测该数列的第项可能是（ ）ABCD【解析】 B【演练2】 下列表述正确的是（ ）归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理A B C D【解析】 D【演练3】 用分析法证明【解析】 要证明原不等式成立，只需证明即证明，即即证明，即证明，而显然成立，所以原不等式成立【演练4】 已知

14、的三个内角成等差数列，求证：【解析】 要证原式，只要证，即证，即证，即证，即证，即证，即证，即证，由题目已知【演练5】 证明：，不能为同一等差数列的三项【解析】 假设、为同一等差数列的三项，设等差数列公差为，则存在正整数，满足：；由m得：，两边平方得：，化简得，上式左边为有理数，右边为无理数，且有理数无理数所以，假设不正确即 、不能为同一等差数列的三项大千世界 （2009年北京大学自主招生保送生测试）是否存在实数，使与为有理数？【解析】 若为有理数，则存在整数，其中，使得若为有理数，则存在整数，其中，使得，则，上两式相乘得整理得：，由于等式右边为整数，故（否则等式左边为无理数，得出矛盾）故从而，由得从而为偶数，设，进而得为偶数，这与矛盾故不存在符合条件的使与为有理数11第2讲尖子-目标教师版