著名机构高二数学文科春季班讲义第7讲 函数的极值和最值 删解析版
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1、函数的极值和最值第7讲 知识点睛1判断函数的单调性设函数在区间内可导,若在内,有,则函数在此区间单调递增;若在内,有,则函数在此区间单调递减 上面的条件只是函数单调性的充分条件,不是必要条件即若知道可导函数单调递增(减),不一定能得到,在该区间上可能存在导数为零的点2研究函数的极值和最值极值的概念已知函数及其定义域内一点,若存在一个包含的开区间,对于该开区间内除外的所有点,如果都有,则称函数在点处取极大值,记作,并把称为函数的一个极大值点;如果都有,则称函数在点处取极小值,记作,并把称为函数的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点 最值的概念 函数的最大(小)值是函
2、数在指定区间的最大(小)值 极值针对的是一个开区间内的函数值的情况,最值只是在指定的区间上,对区间的端点不限制可导函数极值的分析方法在处,若在左侧,在右侧则是的极大值点;若在左侧,在右侧,则是的极小值点 只是为极值点的必要条件,不是充分条件如果在的两侧导数符号不变,则不是极值,当然也就不是极值点如,在处 求可导函数的极值的步骤:找函数的定义域;求导数;求方程的所有实数根;对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右两侧,导函数的符号如何变化 求指定区间上函数的最值的步骤:求函数在该区间上的极值;把极值与端点的函数值作比较,最大的为最大值,最小的为最小值经典精讲考点:函数的单调性【例1】 函数的单调
3、增区间为_; 函数的单调递减区间为_; 函数的单调递减区间为_【解析】 尖子班学案1【拓1】 函数单调递增区间是_ 函数,其中为实数,当时,( )A是增函数 B是减函数 C是常数函数 D即不是单调函数,也不是常函数【解析】 A目标班学案1【拓2】 对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A BC D 已知是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象只可能是( ) A B C D【解析】 D D考点:函数的极值与最值【例2】 设函数,讨论的单调性和极值【解析】 的定义域为,当时,;当时,;当时,+极小值极大值由单调性和极值可以画出函数的大致图象,如下:尖子班学案2【拓1】设函数,已知是奇函数 求
4、、的值; 求函数的单调区间与极值【解析】 ,是奇函数,则,即,即,所以对任意成立,即, 由知,令,解得,当取值变化时,变化情况列表如下:极大值极小值所以函数的单调递增区间为,;单调递减区间为;在时取到极大值;在时取到极小值目标班学案2【拓2】设函数讨论的单调性与极值【解析】 的定义域为当时,;当时,;当时, +极大值极小值在区间,上单调递增;在上单调递减极大值为,极小值为根据的极值点和单调区间,以及在定义域边缘的趋势:时,;时,可得的大致图象如下:【例3】 设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为 求,的值; 求函数的单调区间,并求函数在上的最大值和最小值【解析】 为奇函
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