著名机构高二数学文科春季班讲义第5讲 复合函数与函数的零点 删解析版
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1、34 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 5.1 复合函数 知识点睛 1复合函数的概念 一般地,若是 的一个函数,而 又是的一个函数,记函数的定义域yt( )yf ttx( )tg x( )yf t 为,函数的值域为,若,则也是的一个函数,即,称为A( )tg xBAB yx( ) ( )yf tf g x 复合函数,记作当时,函数的值记作 ( )yf g xxay ( )f g a 对于复合函数来讲,我们叫为内层函数,把叫外层函数 ( )yf g x( )g x( )f x 2复合函数的定义域 的定义域为,指的是的取值范围为,而不是的范围为; ( )f g xab,xab,( )g xab,
2、 已知函数的定义域为,求函数的定义域,只需由解不等式,求出;( )f xD ( )f g x( )g xDx 3复合函数的单调性 内层函数和外层函数的单调性联合决定复合函数的单调性 同增异减:当内外层函数的单调性一致(相同)时,复合函数单调递增; 当内外层函数的单调性不一致(不相同)时,复合函数单调递减 在求复合函数的单调区间问题时,要时刻关注定义域 经典精讲 考点:复合函数的概念 【例 1】 已知函数定义域为,求下列函数的定义域: f x(02), ; 2 ()2f x 2 ()( )3f xf x 2 1 2 ()1 log (2) f x y x 已知函数定义域为(0,2),求下列函数的
3、定义域: 2 f x ;( )2f x (32)( )1fxf x 1 2 ( )1 log (2) f x y x 【解析】 定义域为; 2002, 第 5 讲 复合函数与 函数的零点 35 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 定义域为; 02, 定义域为 12, (04), 定义域为; 2 2 3 , 定义域为12, 尖子班学案 1 【拓 1】 若函数的定义域为,则的定义域为_( )yf x 1 2 2 , 2 (log)fx 【解析】24 , 目标班学案 1 【拓 2】 已知函数的定义域为,求下列函数的定义域:( )f x 12 , ;,( )()f xfx()()f xaf xa(0)
4、a 【解析】函数定义域为; 1 1 , ; 1212 1212 xaaxa xaaxa 当,即时,定义域为;12aa 3 0 2 a 12aa , 当,即时,定义域为;12aa 3 2 a 1 | 2 x x 当,即时,定义域为12aa 3 2 a 【备选】已知,(,) 1 ( )log () x a f xkaa 1a kR 当时,求的定义域;1k ( )f x 若在区间0,10上总有意义,求的取值范围( )f xk 【解析】 定义域为;(0) , 的取值范围为 k1 , 【例 2】 已知,求,的解析式 2 ( )3f xxx 2 f x fx 已知,则_:_ 2 ( )21f xx( )1
5、g xx ( )f g x ( )1g f x 已知函数,,则 2 0 ( ) 0 xx f x xx 2 ( )3g xx _;_ ( )g f x ( )f g x 【解析】 ; 242 ()3f xxx()3fxxx ; 22 ( )2(1)1243f g xxxx 22 ( )1(21 1)121g f xxx ; 2 4 30 ( ) 30 xx g f x xx , , 36 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 ,则,( )03g xx 2 22 33 ( ) (3)3 xx f g x xx , , 即 2 42 333 ( ) 6933 xxx f g x xxx 或或 或 考
6、点:求函数的解析式 求函数解析式常用代入法,拼凑法,换元法,待定系数法 【例 3】 已知,则_; 2 122f xxx( )f x 已知,则_; 2 2 11 fxx xx f x 已知,则_ 2 2 11 11 xx f xx ( )f x 【解析】 2 1x 2 2x 2 2 1 x x 尖子班学案 2 【拓 1】 函数满足,则常数_ 3 ( ) 232 cx f xx x , ( )f f xxc 若一次函数满足,则_( )f x ( )12f f xx ( )f x 已知,则_ 3 3 11 fxx xx f x 【解析】 3 或221x 221x , 23 33f xx xxx ,2
7、2,x 目标班学案 2 【拓 2】 已知,则_; fxx f x 已知,且,则 。( )31f xx( )23g xx ( )( )f h xg x( )h x 【解析】, 2 f xx0x 24 33 x 考点:复合函数的单调性 【例 4】 求下列函数的单调区间: ; 2 4yxx 2 22 1 2 xx y 1 3xy 2 1 2 log43yxx 【解析】函数需满足,即定义域为, 2 40xx04, 内层函数在上单调递增,在上单调递减,(02),(24), 外层函数在定义域上单调递增, 37 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 所以函数的单调增区间为,单调减区间为 2 4yxx(02),
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