著名机构高二数学文科春季班讲义第3讲 函数的单调性与奇偶性 删解析版
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1、函数的单调性与奇偶性第3讲 3.1函数的单调性知识点睛一般地,设函数的定义域为,区间如果取区间中的任意两个值,改变量,则当时,就称函数在区间上是增函数;当时,就称函数在区间上是减函数如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数,就说这个函数在这个区间上具有单调性(区间称为单调区间) 函数的单调性是定义在某个区间上的,所以我们可以说函数在区间,上单调递增,却不能说函数在区间上单调递增(其中);对于单独的一个点,由于它的函数值是唯一的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题;中学阶段所研究的函数主要是连续函数或是分段连续函数,对于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单调因此
2、,在考虑它的单调区间时,包不包括端点都可以必须注意,对于在某些点上不连续的函数,单调区间不包括不连续点经典精讲考点:单调性的判断【例1】 下列函数在上是增函数的是_;在区间上是减函数的是_ . 【解析】 ;【点评】熟悉基本初等函数的图象,它们是研究函数的性质的基础【备选】 函数的单调递减区间为 【解析】【备选】 函数的单调区间是_【解析】 和【例2】 已知是方程的两个不等实根,函数的定义域为,判断函数在定义域内的单调性,并证明【解析】 函数在其定义域上为增函数任取,则依题意有, ,即,即,即,函数在其定义域上为增函数考点:单调性的应用【例3】 若函数(为常数)为单调递增函数,则值可为( )A2
3、BC0D 函数当时是单调函数,则的取值范围_; 若在区间上是增函数,则实数的取值范围是 【解析】 A 尖子班学案1【拓1】 如果函数在区间上是减函数,那么实数的取值范围是 ;如果函数与函数在区间上都是减函数,那么实数的取值范围是 【解析】 ;目标班学案1【拓2】 已知函数,在上是增函数,则的取值范围是_【解析】3.2函数的奇偶性知识点睛1定义:设函数的定义域为,如果对内的任意一个,都有,若,则这个函数叫做奇函数若,则这个函数叫做偶函数 由奇偶性的定义,可知一个函数具有奇偶性的一个必要条件是其定义域关于原点对称, 所以在研究函数的奇偶性时,一般首先确定其定义域是否关于原点对称2性质:如果一个函数
4、是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形; 反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形; 反之,如果一个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数 如果我们知道一个函数是奇函数或是偶函数,则只需要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,得出函数在其中一部分上的性质和图象,就可以得出这个函数在另一部分上的性质和图象3对于定义域内的任意一个,有成立,则为偶函数; 对于定义域内的任意一个,有成立,则为奇函数 任何一个定义域关于原点对称的函数都可以拆分成一
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