著名机构高二数学文科春季班讲义第2讲 推理与证明 删解析版

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1、推理与证明第2讲 新课标剖析 高考要求内容要求层次具体要求ABC推理与证明能利用归纳推理与类比推理进行简单的推理了解数学证明的基本方法：综合法、分析法与反证法等2.1推理知识点睛推理一般分为合情推理与演绎推理1合情推理：前提为真，结论可能为真的推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）归纳是从特殊到一般的过程归纳推理的一般步骤：第1步 通过观察个别情况发现某些相同的性质；第2步 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一

2、致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）类比推理的一般步骤：第1步 找出两类事物之间的相似性或一致性；第2步 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）2演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真几种数学中常用的演绎推理规则：三段论推理：如果，则“三段论”是演绎推理的一般模式；大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论据一般原理，对特殊情况做出的判断传递性关系推理：如果，则，其中表示具有传递性的关系完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规

3、则【点评】 在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明，一道证明题，往往要综合应用这些演绎推理规则，如果违背了这些规则，那么证明就是错误的归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确不等式证明中的放缩法就属于传递性关系推理；数学归纳法属于完全归纳推理；复式三段论一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓

4、的复式三段论可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论经典精讲考点：归纳推理【例1】 已知数列的第1项，且，则； 观察下列等式：可以推测，当时，【解析】 ；尖子班学案1【拓1】 已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 将全体正整数排成一个三角形数阵如下：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 【解析】 ； 目标班学案1【拓2】 观察如图所示的三角数表的规律从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，则第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1

5、 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 【解析】 ；考点：类比推理【例2】 设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 记等差数列的前项和，利用倒序求和的方法得：；类似的，记等比数列的前项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，可将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即公式_ 已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点的位置无关的定值试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明【解析】 类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并

6、记为、时，那么与之积是与点的位置无关的定值证明如下：设点的坐标为、，则因为点在已知双曲线上，所以，同理则（定值）考点：演绎推理【例3】 下面是一段“三段论”推理过程：对于定义域为的可导函数，如果，那么对于，使得，因为函数的导函数，所以，对于，使得，以上推理中（ ）A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确 如图，到的距离分别是，线段在内的射影分别是，若，则，的大小关系为_【解析】 A 2.2证明知识点睛证明：分成直接证明与间接证明1直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性常用的直接证明方法有综合法与分析法 综合法是从原因推导到结果的思维方法

7、； 分析法是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法2间接证明：常用的有反证法反证法：先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性 常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾等经典精讲考点：直接证明【例4】 已知，求证：【解析】 （综合法）， （分析法）， 而， 即成立， 所以原不等式成立尖子班学案2【拓1】 已知，且，证明：【解析】 （综合法）注意到同样三式相乘即可得不等式成立目标班学案2【拓2】 设，为一个三角形的三边长，证明：【解析】 （分析法） 欲证，只需证只需证且先证只需证即，显然成立，对于只需证即而

8、，该式成立，综上，成立【例5】 如图，在四棱锥中，底面，是的中点证明：平面平面【解析】 由，可得是的中点，在四棱锥中，底面，平面，故，平面而平面，且，所以平面而平面，平面平面【点评】 本小题应用了综合法和分析法【备选】 如图，四面体，平面，过作交于，过作交于求证：【解析】 分析：要证线线垂直，可转化为线面垂直，本题关键在于线面垂直与线线垂直的转化可由分析法入手：要证平面（已知），需证平面（已知），需证平面（已知），需证平面，从而问题得到解决平面，且平面，且平面，又，且平面，且平面，又，且平面，且平面【点评】 本小题应用了综合法和分析法考点：间接证明尖子班学案3【铺1】 已知，求证：；【解析】

9、假设，因为，所以，所以，与矛盾，所以 因为，所以，所以，又，所以，所以【例6】 已知，求证：，中至少有一个不大于【解析】 反证法：假设，, 均大于，即，则，因为，所以，所以，同理，所以，即，矛盾所以，中至少有一个不大于目标班学案3【拓2】 求证：形如的正整数不能写成两个整数的平方和【解析】 反证法：假设某一正整数可以写成两个整数的平方和：易知奇偶性不同，不妨设则化简后为左右奇偶性不一致，故上式不可能成立，因此假设错误，原命题成立证明：若整系数一元二次方程存在有理根，那么，中至少有一个偶数【解析】 反证法：设，均为奇数，方程有有理根即为有理数，而，故，即，均为奇数，也必须为奇数，否则上式左边为奇

10、数，而右边为偶数，矛盾设，1，2，则原式可化为即而与奇偶性一定不同（这是因为为奇数），所以其中必然有一个偶数，所以，中必有一个偶数，这与假设矛盾所以原命题成立实战演练【演练1】 在数列中，对任意自然数，当为有理数时，；当为无理数时，试归纳出通项公式【解析】【演练2】 已知，若，则=_，猜想=_【解析】 ；【演练3】 已知函数，分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个等式【解析】【演练4】 已知是奇偶性相同的正整数，求证：【解析】 不妨设，要证原不等式，即需要证明即即当都为奇数时，显然，于是式成立；当都为偶数时，时，有，于是式成立时，有，于是式成立因此式成立，故原不等式成立【演练5】 若，求证：【解析】 用综合法，不妨设则若，易知原不等式左边右边若：注意到同理以及上述3个不等式相乘即可得原不等式大千世界（高中数学联赛四川赛区初赛）设正实数满足，且证明：【解析】 由条件知，故 又由知 只须证 若，则，从而于是所以， 若，则只须证 即证 又因为，结论成立17高二文科第2讲尖子-目标教师版