著名机构高二数学理科暑假班讲义第4讲 双曲线与抛物线初步 删解析

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1、双曲线与抛物线初步第4讲解析几何4级直线与圆锥曲线的位置关系满分晋级 解析几何3级双曲线与抛物线初步解析几何2级椭圆初步新课标剖析 当前形势双曲线与抛物线在近五年北京卷（理）考查514分高考要求内容要求层次具体要求ABC双曲线的定义及标准方程由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质双曲线的简单几何性质由双曲线的几何性质解决问题抛物线的定义及标准方程由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质抛物线的简单几何性质由抛物线的几何性质解决问题抛物线的简单几何性质由抛物线的几何性质解决问题北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2012年（新课标）第4题5分

2、第19题14分第13题5分第12题5分4.1双曲线及其标准方程考点1：双曲线的定义知识点睛 双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点两焦点的距离叫做双曲线的焦距，焦距为双曲线上的点与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数由上一讲椭圆的定义，自然类比到双曲线的定义双曲线的定义需要强调的地方：差的绝对值小于，否则轨迹为两条射线或不存在绝对值若去掉绝对值，则轨迹只有双曲线的一支经典精讲【例1】 到两定点，的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）A椭圆B线段C双曲线D两条射线动点到定点的距离比它到定点的距离少，则点的轨迹是

3、（ ）A双曲线B双曲线的一支C一条射线D两条射线已知点，在满足下列条件的平面内，动点的轨迹为双曲线的是（ ）A BC D已知点、在一条双曲线的右支上，线段经过该双曲线的右焦点，已知，且为左焦点，则的周长为（ ）ABCD【解析】 D B D B【点评】 涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解【备选】 平面内有两个定点、及动点，设命题甲：是定值；命题乙：点的轨迹是以定点、为焦点的双曲线，那么（ ）A甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【解析】 B（选讲）已知两圆，动圆与两圆，都相切，则动圆圆心的轨迹是

4、（ ）A一条直线 B双曲线的一支C双曲线 D双曲线或一条直线【解析】 D如右图，动圆与两圆，都相切，有四种情况：动圆与两圆都相外切，动圆与与两圆都相内切；动圆与圆外切、与圆内切动圆与圆内切、与圆外切在情况下，显然，动圆圆心的轨迹方程为，是一条直线；在的情况下，设动圆的半径为，则，故得；在的情况下，同理得由得根据双曲线定义，可知此时点的轨迹是双曲线由可知，选择D考点2：双曲线的标准方程知识点睛 双曲线的标准方程：，焦点坐标为，；，焦点坐标为，；以过焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系如图 设是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是，那么，的坐标分别是，又设点与和的距离的差的绝对

5、值等于常数，则点在双曲线上的充分必要条件是，即因为，所以上述条件转化为坐标表示，就是， 即：，得： 上面，两式中的右边同取“”号或同取“”号由，得： 将式两边平方，再整理得：因为，所以设，则上式化为 因此，方程是双曲线的方程，通常把这个方程叫做双曲线的标准方程它所表示的双曲线，两焦点在轴上，焦点坐标分别为，这里当标准方程中项的系数为正时，双曲线的焦点在轴上；当项的系数为正时，双曲线的焦点在轴上经典精讲【例2】 已知点，动点到与的距离之差的绝对值为，则动点的轨迹方程为 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的方程为 ，经过点，焦点在轴上的双曲线标准方程为 与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线标准方程为

6、 【解析】 ； 【点评】 与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为，由此可以比较方便地解决同焦点的双曲线的问题提高班学案1【拓1】双曲线的一个焦点是，那么 【解析】 尖子班学案1【拓2】 双曲线的焦距是6，则的值是（ ）A24BCD3【解析】 B目标班学案1【拓3】 若双曲线的一个焦点是，则【解析】若方程表示双曲线，则的取值范围为_【解析】 或【思路】或或【错因分析】本题易忽视焦点在轴的情况而只由导致漏解【点评】 方程表示双曲线时，、异号；当、异号时，方程表示双曲线，即方程表示双曲线的充要条件是4.2双曲线的简单几何性质知识点睛双曲线的几何性质（用标准方程来研究）：范围：或；如图对称性：以轴、轴为对

7、称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴如图中，为顶点，线段为双曲线的实轴在轴上作点，线段叫做双曲线的虚轴渐近线：直线；离心率：叫做双曲线的离心率，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔1双曲线与椭圆的区别：双曲线是无限伸展的，椭圆是封闭曲线；双曲线有两个顶点，椭圆有个顶点；双曲线的虚轴与椭圆的短轴；双曲线离心率，椭圆离心率2渐近线的理解：过双曲线上的一点（考虑对称性，不妨设是第一象限内的点）作平行于轴的直线，设它与直线相交于点，则，当时，随着的增大而增大，从而越来越接近于这说明，当点

8、从双曲线的顶点开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点时，点和直线就越来越接近，而且，故双曲线始终在直线的下方，且与直线越来越接近，不会相交其它象限内的情况与此类似3双曲线的开口大小：渐近线的斜率的绝对值，因此越大，也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔4画双曲线的草图时，一般都是先画出以为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图5求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程对于双曲线，它的渐近线方程即为，即直线经典精讲考点3：双曲线的几何性质【铺垫】求出下列双曲线的渐近线

9、方程和离心率：；【解析】 ；由可知，有相同的渐近线和离心率【例3】 虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程是_设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD若双曲线经过点，且渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ）ABC D若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 实轴长为，渐近线方程为的双曲线的方程是 【解析】 或； B； C 或；【点评】 已知双曲线的渐近线方程求双曲线方程时，可利用共渐近线的双曲线方程再由其他条件求尖子班学案2【拓2】 已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为 【解析】 ；目标班学案

10、2【拓3】 设是等腰三角形，则以、为焦点且过点的双曲线的离心率为 【解析】 4.3抛物线的定义及其标准方程知识点睛抛物线相对来讲，学生应该比较熟悉了，生活中也有很多例子，比如，手电筒、太阳灶和射电望远镜就是利用抛物线的性质做的，但是学生对抛物线的认识仅是二次函数的图象而已，更进一步的了解将在本板块进行学习举例，让学生计算此二次函数上的点（随机取几个点）到点与直线的距离之比，由此引入抛物线的定义1平面内与一个定点和一条定直线（不在上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线抛物线的画法：如图，将一根直尺固定在平板上，把直尺的一边当作定直线，拿一块三角板，以它的较

11、短的直角边紧靠直线，在另一条直角边的锐角顶点处上结一条细绳取这条绳长与这条直角边等长，绳的另一端扎一个小钉，并把它钉牢在平板上的处作为定点，然后把铅笔尖紧靠三角板把绳拉紧，并将三角板紧靠移动，笔尖画出的图形就是抛物线从以上画图的过程可以看出，不论笔尖移到什么位置，它到定点的距离总是等于它到定直线距离这是因为，即根据抛物线的这个几何特征，得出抛物线的定义2抛物线的标准方程：，焦点在轴正半轴上，坐标是，准线方程是，其中是焦点到准线的距离抛物线的标准方程的推导：建立平面直角坐标系：取过焦点垂直于准线的直线为轴，轴与相交于点，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系（如图所示），设，则焦点的坐标为，准

12、线方程为设抛物线上的点到的距离为，抛物线也就是集合，将上式两边平方并化简，得3抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程研究性质）：范围：抛物线在轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸对称性：以轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点此处为原点离心率：抛物线上的点到焦点与到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用表示，学习过椭圆和双曲线的几何性质后，来看抛物线的性质和它们的区别：抛物线只有个顶点、个焦点、条对称轴和条准线，离心率为，且没有中心4设抛物线的焦点到准线的距离为，抛物线方程的四种形式如下：标准方程图形对称轴焦点坐标准线方程轴轴经典精

13、讲考点4：抛物线的定义【例4】 动圆过点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）ABCD点到点的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）ABCD【解析】 A C【备选】 动圆与定圆外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹是（ ）A直线B椭圆C双曲线D抛物线 动点到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点的轨迹是（ ）A直线B椭圆C双曲线D抛物线【解析】 D D目标班学案3【拓3】 点到点的距离比它到直线的距离大，则点的轨迹是（ ）A一条抛物线B一条双曲线C一个椭圆D以上都不对【解析】 D；考点5：抛物线的方程与性质提高班学案2【铺1】 抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 ； 抛物线的焦点坐

14、标为 ，准线方程为 ； 抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 【解析】 焦点坐标为，准线方程为； 焦点坐标为，准线方程为； 焦点坐标为，准线方程是：【例5】 根据下列条件，求抛物线的标准方程焦点为；准线为；焦点与双曲线的左焦点相同；焦点到准线的距离是4；过点【解析】 ， 或【点评】 抛物线标准方程中的系数叫做焦参数，它的几何意义是焦点到准线的距离，且焦点到顶点及顶点到准线的距离都为 抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键，在方程的类型已确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程 焦点在轴上的抛物线标准方程可统一写成；焦点在轴上的抛物线标准方程可统一

15、写成尖子班学案3【拓2】 试分别求满足下列条件抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： 过点； 焦点在直线上【分析】 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数；而从实际分析，一般需确定和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论【解析】 所求的抛物线方程为或，前者的准线方程是，后者的准线方程是； 所求的抛物线方程为或，对应的准线方程分别是，考点5：抛物线定义的应用提高班学案3【铺1】 设抛物线，是焦点，则表示（ ）A到准线的距离B到准线距离的C到轴的距离D到准线距离的 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为_【解析】 B 【例6】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一

16、点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线相交于点，求抛物线的标准方程【解析】 抛物线方程为，准线方程为【点评】 已知抛物线的某些几何元素的特征，求抛物线的标准方程的方法如下：一是由抛物线的标准方程中只有一个参数，用待定系数法求解，但在设置方程形式时，要注意；二是找到焦点坐标、准线方程等条件，直接利用定义求解 或目标班学案4【拓3】 抛物线上的点到焦点的距离为6，则抛物线的标准方程是（ ）A， B，C D，【解析】 C【例7】 已知抛物线，定点，为焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）A5B6C7D8已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小

17、值时，点的坐标为 【解析】 B 点坐标为【点评】 本题充分应用抛物线的定义及几何特征解决问题，曲线的几何特征是曲线本身具有的性质，与曲线在坐标系中的位置无关【备选】 若点的坐标为，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为（ ）A B1 C D2【解析】 C；实战演练 【演练1】已知两定点，动点满足，则当和4时，点的轨迹是（ ）A双曲线和一条直线 B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线【解析】 C【演练2】 抛物线的焦点坐标为_，准线方程为_； 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离为，求抛物线的标准方程【解析】 焦点坐标为，准线方程为；

18、【演练3】已知点与抛物线的焦点的距离是5，则 【解析】 【演练4】已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，当最小时，点坐标是（ ）ABCD【解析】 C【演练5】已知双曲线过，两点，求双曲线的标准方程【解析】 双曲线的标准方程为【演练6】讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征【解析】 由于，则的取值范围为，分别进行讨论当时，所给方程表示椭圆，此时，这些椭圆有共同的焦点，；当时，所给方程表示双曲线，此时，这些双曲线也有共同的焦点，时，所给方程没有对应的曲线【点评】 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系大千世界 1有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论【解析】 取一条与所有抛物线对称轴均不平行的直线，则每条抛物线均只能覆盖此直线的有限段，而直线是无限的，故不能覆盖2已知抛物线上一点，若抛物线上存在两点，且使得，则点横坐标的取值范围为 【解析】设点，由，得，即，化简得，其中以下略55第4讲提高-尖子-目标教师版