著名机构高二数学理科暑假班讲义第5讲 直线与圆锥曲线初步 删解析

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1、直线与圆锥曲线的位置关系初步第5讲解析几何5级曲线与方程满分晋级 解析几何3级双曲线与抛物线初步解析几何4级直线与圆锥曲线的位置关系初步新课标剖析 当前形势直线与圆锥曲线在近五年北京卷（理）考查1419分高考要求内容要求层次具体要求ABC直线与圆锥曲线的位置关系判别式和韦达定理的应用；直线与抛物线相交截得的弦长等问题北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第19题14分第12题 5分第19题14分第19题14分第14题 5分第19题14分第19题14分5.1直线与圆锥曲线的位置关系考点1：直线与圆锥曲线的位置关系知识点睛直线：与圆锥曲线：的位

2、置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去），得到关于（或）的方程：（）方程组的解的个数与方程的解的个数是一致的若，相交；相离；相切，若，直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点的情况：当直线平行于抛物线的对称轴时；当直线平行于双曲线的渐近线时所以直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件以抛物线为例，直线，只有当时，代入抛物线方程，才会转化成一次方程，此时，直线平行于抛物线的对称轴经典精讲【例1】 已知椭圆，直线：与椭圆有两个交点时，的取值范围为_直线与椭圆有且只有一个交点

3、，则_直线与椭圆的交点个数为（ ）ABCD以上都不对【解析】 ； ； D；【点评】直线与椭圆的位置关系，只需考虑判别式即可提高班学案1【拓1】 已知两点，给出椭圆，问在椭圆上是否存在点，使得？【解析】 的中点坐标为，斜率为，故的中垂线方程为：，根据题意知，本题即判断直线与椭圆有无公共点的问题联立，消去得，此式的判别式，故有且仅有一个交点当然也可以设出点的坐标，直接计算【例2】 判断下列直线与双曲线的位置关系：；若过点的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有_条【解析】 相切；相交（只有一个交点）；相离；相交 ；过一个定点与双曲线只有一个公共点的直线的条数：（图中区域不包括边界）在双曲线上，

4、有条；在区域，有条；在渐近线上但不是原点，有2条；在区域，有条；是原点，有条【点评】直线与双曲线的位置关系更多时候利用数形结合尖子班学案1【拓2】 已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）ABCD【解析】 C；目标班学案1【拓3】 直线与双曲线的右支交于不同的，两点，求实数的取值范围【解析】 ；【例3】 函数的图象与直线相切，则（ ）ABCD直线，抛物线，当为何值时，与：有一个公共点；有两个公共点；没有公共点【解析】 B 当或时，直线与有一个公共点；当且时，直线与抛物线有两个公共点；当时，直线与抛物线没有公共点【点评】 一般

5、地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的（如图）因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程为_【解析】 或或【思路】显然，过点且垂直于轴的直线，即轴满足题意设过点且不垂直于轴的直线的斜率为，其方程为代入抛物线中得当时，得直线与抛物线只有一个交点，满足题意当时，令，得即直线，与抛物线也只有一个公共点综上所述，所求直线的方程是或或【错因分析】误区一是设点斜式不能表示过点垂直于轴的直线而轴恰满足题意，误区二是忽略过点与轴平行的直线5.2直线与圆锥曲线相交初步考

6、点2：弦中点的坐标问题知识点睛直线与圆锥曲线交于两点，将代入，消去（或），得到一元二次方程，方程的两根满足，中点的横坐标即为经典精讲【例4】 直线被抛物线截得线段的中点坐标是 直线与双曲线交于两点，则的中垂线方程为（ ）ABCD椭圆过点的弦恰好被平分，则此弦所在的直线方程是_【解析】 C； ；提高班学案2【拓1】 已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是_ 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，且的中点横坐标为，则这样的直线（ ）A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在【解析】 B考点3：通径问题知识点睛经过抛物线的焦点，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于两点，

7、线段叫做抛物线的通径类似的，我们也可以定义椭圆和双曲线的“通径”：过椭圆（双曲线）的焦点，作垂直于长轴（或实轴）的直线，则直线被椭圆（双曲线）截得的线段叫做椭圆（双曲线）的“通径”抛物线的通径长为；椭圆的通径长为；双曲线的通径长为 椭圆（抛物线）的通径是过椭圆（抛物线）焦点的弦中最短的一条双曲线的通径是过双曲线的焦点，同支的弦中最短的我们来证明通径是最短的以椭圆为例设椭圆的标准方程为，直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点，下面求的最小值当是通径时，不难算出当非通径时，直线的斜率存在，不妨设的方程为，代入椭圆方程化简得，设，则又由前面椭圆一讲知，其中为椭圆的离心率，则双曲线和抛物线类似可证双曲线

8、需要注意焦点弦所在直线的斜率范围，保证焦点弦在双曲线的同支上经典精讲【例5】 已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上，且轴，则到直线的距离为（ ）A B C D设过椭圆的左焦点的弦为，则（ ）ABCD都有可能过抛物线的焦点且垂直于抛物线轴的直线交抛物线于、两点，抛物线的准线交抛物线的轴于点，则一定是（ ）A锐角 B直角 C钝角 D锐角或钝角【解析】 A考点4：求圆锥曲线的弦长知识点睛连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被抛物线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为两

9、根差公式：如果是一元二次方程的两个根，则（）当抛物线的标准方程为时，直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于、两点，则弦长圆锥曲线求弦长时，都有一定的计算量，求弦长的方式基本上类似，其中以抛物线的计算相对较为简单，预习阶段就主要讲抛物线，外加一道椭圆的题。经典精讲【例6】 直线与抛物线相交于，两点，求弦的长已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，求弦的长【解析】 尖子班学案2【拓2】 设抛物线被直线截得的弦长为，求值 以中的弦为底边，以轴上的点为顶点作三角形，当三角形的面积为时，求点坐标【解析】 点坐标是或目标班学案2【拓3】 正方形的一条边在直线上，顶点、在抛物线上，求正方形的边长

10、【解析】 正方形的边长为或【例7】 已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦，求椭圆的方程；弦的长度【解析】 椭圆的方程为 弦的长度为实战演练 【演练1】过点作直线与抛物线只有一个公共点，则这样的直线条数为（ ）ABCD【解析】 B【演练2】给定双曲线，被双曲线截得的弦的中点为的直线的条数为（ ）ABCD【解析】【演练3】设椭圆的右焦点为，直线，若过点且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率为 【解析】【演练4】已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，求弦的长【解析】 【演练5】求顶点在原点，焦点在轴上且被直线所截得的弦长为的抛物线方程【解析】 抛物线方程为或大千世界 已知直线和双曲线及其渐近线依次交于四点求证：【解析】 只需证和的中点重合即可若直线的斜率不存在，即与轴垂直，易知结论成立若的斜率存在，设其方程为，代入双曲线方程，消去，整理得设，则再将代入渐近线方程（也可以分别与两条渐近线联立），整理得设，则因此，即和的中点重合，故65第5讲提高-尖子-目标教师版