著名机构高二数学理科暑假班讲义第3讲 椭圆初步 删解析

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1、椭圆初步第3讲解析几何3级双曲线与抛物线初步满分晋级 解析几何2级椭圆初步解析几何1级直线与圆的方程新课标剖析 当前形势椭圆在近五年北京卷（理）考查514分高考要求内容要求层次具体要求ABC曲线与方程的对应关系掌握求轨迹方程的一般方法，理解曲线与方程的对应关系椭圆的定义及标准方程由定义和性质求椭圆的方程；由椭圆的标准方程探求几何性质椭圆的简单几何性质由椭圆的几何性质解决问题直线与椭圆的位置关系判别式和韦达定理的应用；直线与椭圆相交截得的弦长北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第19题 14分第12题 5分第19题 14分第19题 14分第

2、19题 14分3.1椭圆及其标准方程2010年10月7日，我国发射了第二颗月球卫星嫦娥二号，嫦娥二号绕月球飞行的轨迹是什么形状的呢？是周期为12小时的椭圆轨道，如下图还有著名的哈雷彗星，绕着太阳，大概每年回归一次，下次能看到需要到年，它的轨迹也是椭圆当然并不是所有天体运动的轨迹都是椭圆，很多彗星的轨迹是抛物线，经过地球一次后，永远也不会回来了像ISON彗星，轨迹是一条抛物线，将于年11月左右抵达太阳附近，成为有史以来最亮的彗星生活中也有许多椭圆的例子，一杯水倾斜后的水面，数字，盘子，一些人的脸蛋，橄榄球，还有跑道等等，可见椭圆与我们息息相关如何求椭圆的轨迹方程，以及了解它的性质，就是我们本节课

3、要学习的内容考点1：椭圆的定义知识点睛提到椭圆，我们首先看看跟它类似的圆的特点圆的定义大家都比较熟悉：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，即到一个定点的距离为常数的点的轨迹是圆那么到两个定点的距离和为定值的点的集合呢？可以的话，通过简单的工具画图可以看出，轨迹是椭圆椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的定义需要强调的：轨迹在平面内，如果是空间中，则得到的是椭球；定义中的常数（距离之和）要大于，否则轨迹不是椭圆 嫦娥二号椭圆轨道的一个焦点就是月球，同样的，地球绕太阳旋转，太阳就位于地球椭圆轨道

4、的一个焦点位置经典精讲【例1】 已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ）A椭圆 B直线 C线段 D圆已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ）A椭圆 B直线 C线段 D圆【解析】 A C【备选】 已知椭圆的焦点是、，是椭圆上一动点，如果延长到，使得，那么动点的轨迹是（ ）A圆B椭圆C线段D半圆【解析】 A考点2：求椭圆方程知识点睛椭圆的标准方程：，焦点是，且，焦点是，且现在我们根据椭圆的定义来求椭圆的方程设椭圆的焦距，椭圆上任意一点与，的距离的和等于常数，其中以过焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示这时，焦点，的坐标分别为，设是椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义可知，点

5、在椭圆上的充分必要条件是因为，所以上述条件转化为坐标表示，就是 当时，由得：，整理得：，即： ，整理得： 将式平方，再整理得： 因为，所以设，为了使方程看起来和谐对称，引入，的意义后面会讲到则式化为： 当时，由，得，点的坐标为，此时的坐标适合因此，方程是给定的椭圆的方程通常把这个方程叫做椭圆的标准方程，焦点是，且若坐标系选取不同，焦点在轴上，将调换，可得到椭圆的另一种标准方程椭圆的标准方程，焦点一定在坐标轴上，且两个焦点连线的中点一定是原点，至于焦点在哪个坐标轴上，需要比较中的大小经典精讲【铺垫】分别求出如下椭圆方程所对应的和：；【解析】 ；【例2】 已知焦点坐标为，且的椭圆方程是_已知椭圆的

6、焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是_一个动点到两定点，的距离之和为，则动点的轨迹方程是_【解析】 ； ；提高班学案1【铺1】 求适合下列条件的椭圆的方程： 两个焦点分别是、且经过点 两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为，椭圆上一点到两焦点的距离之和为【解析】 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为；（选讲） 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程 若顶点、的坐标分别为、，、边上的中线长之和为30，则的重心的轨迹方程为_【解析】 【备选】 已知圆，圆内一定点，圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程【解析】 圆心的轨迹方程为【例3】

7、 求焦点的坐标分别为和，且过点的椭圆的方程求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程求过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆方程【解析】 ； 【点评】 本题中椭圆存在，为运算方便，可设其方程为，不必考虑焦点的位置，直接求得方程尖子班学案1【拓2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程 两焦点间的距离为，且经过点； 椭圆经过两点，【解析】 或 目标班学案1【拓3】 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两个焦点的距离分别为和，过作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程【解析】 椭圆的方程为或【点评】 由于本题在求解过程中只涉及参数、的计算，没有涉及焦点的位置，因此这样的椭圆会有两种不同

8、的情况考点3：对椭圆标准方程的理解知识点睛对于方程，当时，表示的是焦点在轴上的椭圆当时，表示的是焦点在轴上的椭圆经典精讲【例4】 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）ABCD已知椭圆的焦距是8，求这个椭圆的方程【解析】 B 椭圆的方程为或提高班学案2【拓1】 设方程表示椭圆，它的一个焦点是，求这个椭圆的方程【解析】 椭圆的方程为尖子班学案2【拓2】 已知方程表示椭圆，求的取值范围【解析】考点4：椭圆定义的应用提高班学案3【铺1】 如图所示，已知过椭圆的右焦点的直线垂直于轴，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点 求的周长； 如果不垂直于轴，的周长有变化吗？为什么？【解析】 的周长为20 如果不垂

9、直于轴，的周长仍为20不变因为与是否与轴垂直无关【例5】 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）ABCD12已知椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ，的大小为 的面积为 已知、是椭圆的两个焦点为椭圆上一点，且，若的面积为9，则 【解析】 C 尖子班学案3【拓2】 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则 点是椭圆上一点，以点以及焦点、为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是 【解析】 的坐标为、或目标班学案2【拓3】 设是椭圆上的点且的纵坐标，点、，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由【解析】 点的纵坐标，点在椭

10、圆上，把代入，得为定值，这个定值是3.2椭圆的简单几何性质考点5：椭圆几何性质的应用知识点睛椭圆的几何性质（用标准方程来研究）：范围：，；对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中的线段；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，越趋近于1，椭圆越扁；反之，越趋近于0，椭圆越趋近于圆由椭圆的方程用代数的方法来研究椭圆的几何性质1椭圆的范围：由，可得，同理有，即椭圆 在与所形成的矩形中2椭圆的对称性：如

11、果满足椭圆方程，显然、和也满足，因此椭圆关于轴、轴和原点对称3椭圆的顶点：分别令和可求出椭圆与轴和轴的交点，它们就是椭圆的顶点4长轴与短轴：由上面的讨论可得，椭圆的长轴长为，短轴长，由此可知的几何意义，是长半轴长，是短半轴长于是得短轴顶点与焦点的连线长为5离心率：趋近于时，趋近于，越趋近于，因此椭圆越扁；反之，趋近于时，趋近于，越趋近于，因此椭圆越圆椭圆上到焦点距离最大和最小的点，分别是哪个点呢？设是椭圆上任意一点，左焦点，则因此，因为，所以，即到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点例如，嫦娥二号实现第一次近月制动环月飞行时，近月点公里，远月点多公里，已知月球半径约公里，由此可以去估算嫦娥二

12、号的运行轨迹方程经典精讲【铺垫】 已知椭圆方程为，则离心率 已知椭圆的离心率，长半轴，则焦点在轴上的椭圆的标准方程为 已知椭圆的短半轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为 【解析】 ；或【例6】 椭圆和一定具有（ ）A相同的离心率 B相同的焦点C相同的顶点 D相同的长轴长若椭圆的离心率为，则 已知、是椭圆的两焦点，以线段为边作正，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）ABCD过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，其中一点为，为右焦点，若，则椭圆的离心率是（ ）ABCD在平面直角坐标系中，设椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆若过点作圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 【解析】 A； 或

13、B； B； 【例7】 设是椭圆上的点，若是椭圆的一个焦点，则的取值范围是 设椭圆的右焦点为，直线，若过点且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，且，则 【解析】 ；目标班学案3【拓3】 已知点、，又是曲线上的点，则（ ）ABCD【解析】 C已知椭圆的长轴和短轴都在坐标轴上，且经过定点，长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的方程为（ ）A B C或 D【解析】 C【思路】 当焦点在轴上时，设椭圆的方程为，其中因为椭圆过点，所以，而，此时椭圆的方程为； 当焦点在轴上时，设椭圆的方程为，其中 类似可得，此时椭圆方程为，故选C【错因分析】如果思考不严密，忽略了焦点在轴上的情形，造成漏解现象，则会错选A或B实战演练

14、【演练1】平面内一动点到两定点的距离之和为常数，则点的轨迹为（ ）A椭圆 B圆 C无轨迹 D椭圆或线段或无轨迹 【解析】【演练2】若椭圆长轴长与短轴长之比为2它的一个焦点为，则椭圆的标准方程为_【解析】【演练3】方程，表示焦点在轴上的椭圆，则、的关系是 【解析】 【演练4】点为椭圆在第一象限内的一点，以点以及焦点，为顶点的三角形的面积为，则点的坐标是_【解析】 坐标为【演练5】已知正方形，则以、为焦点，且过、两点的椭圆的离心率为 【解析】大千世界 1设是直线上的点，与是椭圆的焦点过点以为焦点作椭圆问在何处时，所作椭圆长轴最短，并求椭圆的方程【解析】 椭圆长轴最短即最小作关于直线的对称点，与该直线交于点，则即为所求的点易知，设，则，解得于是，结合，易得椭圆方程为2（第10届创新杯全国数学邀请赛高二）已知圆与椭圆相交于点，为椭圆的两个焦点且已知的面积为，椭圆的长轴长为，则 【解析】 41第3讲提高-尖子-目标教师版