著名机构高二数学理科秋季班讲义第15讲 期末复习 教师版

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1、期末复习第15讲 15.1圆锥曲线椭圆的定义：到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两定点称为椭圆的焦点椭圆的标准方程：椭圆的几何性质：范围：；对称性：关于轴，轴成轴对称，关于原点（椭圆的中心）成中心对称；顶点：，；长轴：线段；短轴：线段；离心率：，越大，椭圆越扁；圆锥曲线双曲线双曲线的定义：平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，两定点称为双曲线的焦点双曲线的标准方程：()双曲线的几何性质：范围：或；对称性：关于轴，轴成轴对称，关于原点（双曲线的中心）成中心对称；顶点：；实轴：线段；虚轴：线段（）；离心率：，越大，双曲线开口越开阔；渐近线方程

2、：；抛物线的定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，称为抛物线的焦点，称为抛物线的准线抛物线的标准方程：（，）；抛物线的几何性质：范围：，向右上方和右下方无限延伸；对称性：关于轴（抛物线的轴）对称；顶点：原点（抛物线与轴的交点）；椭圆抛物线知识点睛经典精讲【例1】 （北京市十一学校选修2-1理科数学期末测试6）已知椭圆的焦点为和，是椭圆上的一点，且是与的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A B C D 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A B C D 双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）A B C D ，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则的面积是（

3、）A B C D 若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）A B C D【解析】 C是与的等差中项，即，椭圆的方程为 D椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则 C双曲线的离心率为，椭圆的离心率为 A D如图，根据抛物线的定义，要使取得最小值，即取得最小值，当三点共线时，取得最小值，点的纵坐标为，代入抛物线方程得横坐标为，点的坐标为【备选】 椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【解析】 A由已知有，【例2】 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求线段的中点到焦点的距离 定长为的线段的端点、在抛

4、物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标【解析】 由已知，的方程为，将其代入得，设，则的中点的坐标为，于是 分析：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值这是中点坐标问题，因此只要研究、两点的横坐标之和的最小值即可如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则设，则，则，等式成立的条件是过点，易知当垂直于轴时，等号不成立，于是可设的方程为，代入抛物线的方程得：，要使等号成立，必有，解得于是，的中点到轴的距离有最小值为，此时中点的坐标为【例3】 设、分别是椭圆的左、右焦点 若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； 设过定点的直线与椭圆

5、交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围【解析】 解法一：易知，所以，设，则 ，因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值；当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1解法二：易知，所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值；当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1 显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得，由，得或 又又 ，即， 故由得或提高班学案1【拓1】 已知点，（是大于0的常数），动点满足 求点的轨迹的方程； 点是轨迹上一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率【解析】 设，则，则点的轨迹的方程为 设，直线，则点当时，由于，得 又点在

6、椭圆上，所以，解得故直线的斜率是尖子班学案1【拓2】 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为 求椭圆的方程； 设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值【解析】 设椭圆的半焦距为，依题意：，所求椭圆方程为 设，当轴时，时，；当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得，把代入椭圆方程，整理得， 当且仅当即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值，目标班学案1【拓3】 设椭圆的焦点分别为、，直线交轴于点，且，如图 试求椭圆的方程； 过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、四点（如图），试求四边形面积的最大值和最小值【解析】 由题意，为的中点，即：椭圆方程为 当直

7、线与轴垂直时，此时，四边形的面积为同理当与轴垂直时，也有四边形的面积为当直线，均与轴不垂直，设直线，代入椭圆方程，消去得设，则所以，所以，同理：所以，四边形的面积，令，得因为，当时，且是以为自变量的增函数，所以综上可知，四边形面积的最大值为4，最小值为【例4】 设，两点在抛物线上，是的垂直平分线 当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论； 当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围【解析】 、两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是轴的平行线，依题意，不同时为0，上述条件等价于；，上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点 设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点、的直线方程

8、可写为，联立得：满足方程，得；，为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设的中点的坐标为，则，由，得，于是即得在轴上截距的取值范围为提高班学案2【拓1】 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，为坐标原点 证明：是钝角三角形； 求面积的最小值； 过点作抛物线的切线交轴于点，求线段中点的轨迹方程【解析】 设，直线的方程为，由，得，为钝角，为钝角三角形 由，当时取等号面积的最小值是 设过点的切线方程为由得令解得切线方程为令，得线段中点为，点的轨迹方程为尖子班学案2【拓2】 如图，中，在轴上且，在轴上移动 求点的轨迹的方程； 过点的直线交轨迹于、两点（在、之间），若，求的取值范围【解析】 设，由

9、题意知，于是由是中点，可得联立，得所以，点的轨迹的方程为 过点，设直线方程为，由消去，得，即，若，则，与已知矛盾，故所以，由得，即，解得，或在、之间，目标班学案2【拓3】 已知抛物线，焦点为，准线与轴交于点，过且斜率为的直线与抛物线交于、两点 求满足的点的轨迹方程； 若为钝角，求直线的斜率的取值范围【解析】 设，由、三点共线，可得，化简得，显然，故 因为，所以得 由、可得又点轨迹方程为 由为钝角，知，于是，即，得，或，又，所以或15.2立体几何与空间向量空间向量立体几何与空间向量空间向量的概念与线性运算（加法、减法和数乘）；空间向量的分解定理两个向量的夹角与数量积空间向量的直角坐标表示和直角坐

10、标运算直线的方向向量与平面的法向量的概念；（设直线的方向向量分别为，平面的法向量为）线线的平行关系：（或与重合）；线面的平行关系：或存在实数，使;（其中为平面内的两个不共线的向量）面面的平行关系：（，重合）；线线垂直与线线所成角：；（为的夹角，）；线面垂直与线面所成角：；（为与平面所成的角, ）；面面垂直与面面所成角（二面角）： ；(为平面,所生成的二面角, )空间向量在立体几何中的应用知识点睛经典精讲【例5】 已知，若，则（ ）ABCD（北京十一学校选修2-1理科数学期末测试5）已知向量，若向量与互相垂直，则的值是（ ）A B2 C D已知正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ）ABCD

11、如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中点，、分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）ABCD【解析】 D，则，D，与垂直，即，B如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，即，设平面的法向量为，则，即，取，则，设直线与平面所成的角为，则，B如图，建立空间直角坐标系，则，设和所成的角为，则，故选B【例6】 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，平面交于 指出在上的位置，并说明理由； 求直线与所成角的余弦值； 求直线与平面所成角的正弦值【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系由正方体的性质，有，设，则，由，得，即为的中点 ，与所成角的余弦值为 设平面的法向量为，则由，得取，得，又，故

12、与平面所成角的正弦值为提高班学案3【拓1】 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且，、分别为、的中点 求证：； 求与平面所成角的正弦值【解析】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则， 因为，所以 因为，所以，又因为所以平面是平面的法向量，因此，所以与平面所成角的正弦值为尖子班学案3【拓2】 如图，已知矩形所在平面外一点，平面，分别是，的中点 求证：平面； 求证：； 若，求与平面所成角的大小【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设，则，为的中点，为的中点， ，与、共面又平面，平面 ， 若，则有，即，平面，是平面的法向量与平面所成的角为 【例7】 如图，已知四棱锥中，底面是矩形，平面，、

13、分别是、的中点 求证：平面； 求与平面所成角的正弦值； 求二面角的余弦值【解析】 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 取的中点，连结则，又平面，平面，平面 由题意可得，平面的法向量是，即直线与平面所成角的正弦值为 设平面的法向量为，则，可得令，则由可得平面的法向量是结合图象知二面角的余弦值为目标班学案3【拓3】 如图，直三棱柱中，、分别为棱、的中点 求点到平面的距离； 求二面角的余弦值 ； 在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由【解析】 为直三棱柱，底面，平面，长度即为点到平面的距离，点到平面的距离为 分别延长交于点，过作于，连结，平面，为在

14、平面内射影，为二面角的平面角平面中，为的中点，在直角三角形中， ，即二面角的余弦值为 在线段上存在一点，使得平面，其位置为中点，证明如下：由知平面，为直三棱柱，平面，在平面内的射影为为中点，同理可证平面 为定点，平面为定平面，点唯一【备选】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为，且，为中点 证明：平面； 证明：平面平面； 求二面角的大小【解析】 连结交于点，连结为的中点，为中点，平面，平面，平面 点在平面内的射影为，平面平面，又在正方形中，且，平面又平面，平面平面解法一：过点作于，连结易证，为二面角的平面角平面，为斜线在平面内的射影，又，又， ，在中， ， 二面角的大小为解法二：如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系由可知：、的坐标分别为， 设平面的法向量为，则 即 令，则设平面的法向量为，则 即 令，则，结合法向量的方向知二面角的大小为17第15讲提高-尖子-目标教师版