著名机构高二数学理科秋季班讲义第12讲 空间向量与立体几何综合 教师版

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1、空间向量与立体几何综合第12讲 满分晋级 立体几何10级空间向量与立体几何综合立体几何9级点面距离与动点问题立体几何11级折叠问题与最值问题新课标剖析 当前形势空间向量与立体几何在近五年北京卷（理）考查14分高考要求内容要求层次具体要求ABC证明平行与垂直运用向量的数量积证明直线与直线的平行与垂直直线的方向向量灵活掌握共线向量性质平面的法向量利用向量的数量积来计算平面的法向量线、面位置关系运用空间向量的性质判断线面之间的平行与垂直线线、线面、面面的夹角运用空间向量的数量积计算线线角线面角面面角北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）

2、第16题14分第16题14分第16题14分第16题14分第17题14分12.1空间向量的概念与运算考点1：空间向量的运算知识点睛1向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似；2空间向量的基本定理：共线向量定理：对空间两个向量，（），的充要条件是存在实数，使共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是，存在唯一的一对实数，使空间向量分解定理：如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在唯一一个有序实数组，使表达式，叫做向量，的线性表示式或线性组合上述定理中，叫做空间的一个基底，记作，其中都叫做基向量由此定理知，空间任

3、意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底四点共面定理：设点为空间任意一点，点是空间不共线的三点，又点满足等式：，其中，则四点共面的充要条件是四点共面定理的证明充分性即证：若，则四点共面，必要性即证：若四点共面，则有先证充分性：， ，即，由共面向量定理知四点共面再证必要性：设， 由条件，得：，即，四点共面，而点为空间任意一点， 只能，即综上知，命题成立3两个向量的夹角：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作通常规定在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且如果，则称与互相垂直，记作4两个向量的数量积：已知空间两个向量，定义它们的数量积（或内积）为：空间两个向量的数

4、量积具有如下性质： ； ； 空间两个向量的数量积满足如下运算律： ； ； 空间向量的运算法则与平面向量大致一样，只不过是从二维平面转到三维空间空间向量主要是用来解决立体几何问题空间向量在暑期没有预习课程，只有这一讲同步讲义经典精讲提高班学案1【铺1】 给出下列命题：两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；若空间向量，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，满足，则；空间中任意两个单位向量必相等其中不正确的命题的个数是（ ）AB CD 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的是（ ）ABC D 设，是空间两个不共线的向量，已知，且三点共线，则 若中，则【解析】 C当两

5、向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故错；根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故错；根据正方体中，向量与的方向相同，模也相等，应有，故正确；命题显然正确；空间中任意两个单位向量模均为，但方向不一定相同，故不一定相等，故错 D，又， ，三点共线，是不共线向量， ，则，【例1】 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（ ）A 设，且，则（ ）A 若，如果与为共线向量，则（ ）A 已知空间三点，则向量与的夹角的大小是_【解析】 D由向量四点共面的充要条件，只有选项中系数和为，所以选 A，； C与共线，故

6、有， ，【例2】 如图所示，平行六面体中，分别在和上，且，证明四点共面；若，求已知空间四边形中，且，分别是的中点，是的中点，求证：【解析】 ，四点共面， 如图，连接，设，则，又，所以 ，所以12.2平行垂直问题考点2：用空间向量证明平行垂直知识点睛1直线的方向向量与平面的法向量的概念；2线、面平行与垂直：（设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为）线线的平行关系：（或与重合）；线面的平行关系：或存在实数，使（其中为平面内的两个不共线的向量）面面的平行关系：（，重合）；线线垂直：；线面垂直：；面面垂直：；上面的证明线、面平行或垂直的结论不是绝对的，有其它的等价条件，需要灵活运用一般来讲，证明平

7、行或垂直用纯粹的立体几何更简便，涉及到稍微复杂的求角度时，适合用空间向量无脑算经典精讲提高班学案2【铺1】如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，点在棱上，且求证：平面【解析】 证法一：以为原点、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，设，则，解得；则有，；，平面，平面（或者求出平面的法向量得出与垂直也可证明结论）证法二：，是等腰直角三角形；平面，又，平面；又，也是等腰直角三角形；连接，交于点，则在中，又平面，平面，平面【例3】 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点、分别为棱、的中点求证：平面；求证：平面平面；【追问】上是否存在一点，使得面？【解析】 以为坐标原点，建立如图所示的坐

8、标系 ，则，于是，因为，所以与共面又面，所以平面 因为，所以，即；又，所以，即于是面，由平面，则面面【追问】设，则，易知，由于是点满足面【点评】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面内找一向量与共线；二是说明 能用平面内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直证明面面垂直，也可以转化证明它们的法向量垂直，或者其中一个面的法向量平行于另一个面尖子班学案1【拓2】 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，求证：平面；设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；【解析】 为等腰直角三角形，又

9、面平面，平面，平面平面，平面因此，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系设，则，从而，平面，平面，平面 存在点，当为中点时，平面设，从而，由，即为中点时，又平面，直线不在平面内，故平面目标班学案1【拓3】 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点 求证：； 若平面，侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由【解析】 连，设交于，连接，由题意知平面以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图设底面边长为，则高于是，故从而 在棱上存在一点使平面由题设知，是平面的一个法向量，设，则由，可得：而即当时，而不在平面内，故平面12.3角

10、度与距离问题考点3：用空间向量求异面直线所成角和点面距离知识点睛1设直线的方向向量分别为，则所成角满足：，2空间中的点面距离体积法空间向量法：定点到平面的距离，可设平面的法向量为，面内一点，则点到平面的距离为空间两条直线所成角的范围是，异面直线所成角的范围是，而两个向量之间的夹角范围是，这些是求空间中两条直线所成角时需要注意的地方经典精讲尖子班学案2【铺2】如图，正四棱锥的底面边长与侧面棱长都是，是的中点 求异面直线和所成角的大小 求异面直线和所成角的余弦值【解析】 解法一：，和所成的角就是和所成的角；是正三角形，；和所成的角为解法二：设在底面的射影为，由于为正四棱锥，所以为底面正方形的中心；

11、以点为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，为轴建立如图所示的空间直角坐标系；由于四棱锥侧面都是边长为2的正三角形，斜高，；，；，；向量与向量所成的角为，即直线和所成的角为 由解法二得，；而直线和所成角只能在至之间，直线和所成角的余弦值为【例4】 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，底面，为的中点，为的中点 证明：直线平面； 求异面直线与所成角的大小； 求点到平面的距离【解析】 作于点，如图，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系， ，设平面的法向量为，则即取解得平面 设与所成的角为，即与所成角的大小为 设点到平面的距离为，则为在平面的法向量上的投影的绝对值；由得所以点到平面的距离为目标班

12、学案2【拓3】 如图，已知棱锥的底面是边长为的正方形，在底面的射影落在正方形内，且到、的距离分别是、 求证：是定值； 已知是的中点，且，问在棱上是否存在一点，使异面直线与所成的角为？若不存在，说明原因；若存在，则求的长解析图【解析】 以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点且与平行的直线为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系设高则由已知得则即是定值 在棱上任取一点使由已知得，由得从而，假设则即故在棱上存在点使此时考点4：用空间向量求线面角知识点睛设直线的方向向量为，平面的法向量为，则与所成角满足：（）； 用空间向量求角度时很多都不是直接求的角度本身的三角函数值，而是相关联的其它值，

13、需要注意根据角度的范围定出所求角度的具体值经典精讲【例5】 如图，已知点在正方体的对角线上， 求与所成角的大小； 求与平面所成角的大小【解析】 如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由可得解得，所以 因为，所以即与所成的角为 平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为尖子班学案3【拓2】 如图，在棱长为的正方体中，是侧棱上的一点，且，试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于？并证明你的结论【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，又由，知为平面的一个法向量，设与平面所成的角为，

14、则，依题意有，解得，故当时，直线与平面所成的角的正切值为若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则，依题意，对任意的要使在平面上的射影垂直于，等价于，即为的中点时，满足题设要求目标班学案3【拓3】如图所示，在直三棱柱中，为的中点，平面 求证：平面； 设是的中点，试求出与平面所成角的正弦值【解析】 连接，四边形为正方形，又面面，又平面 在矩形中，由可知则，故从而建立如图的空间直角坐标系，不妨设，则，可得，由题意可知即为平面的一个法向量，设与平面所成的角为，则考点5：用空间向量求二面角知识点睛设平面的法向量分别为，则所成的二面角满足：（为平面，所生成的二面角，） 利用空间向量求二面角的办法就是分别求

15、出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角经典精讲【例6】 如图，在三棱锥中，平面平面 求证：平面； 求二面角的余弦值； 求异面直线和所成角的余弦值【追问】在线段上有一点，求的值，使得二面角的大小为？【解析】 在平面中作于点，平面平面，平面过点作的平行线，交于点如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系设， ，又，平面 由知，为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，令得，则，由图象知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为 ，异面直线和所成角的余弦值是【追问】由，可得点，平面的法向量为可以算出平面的

16、一个法向量为，于是，解得（舍）提高班学案3【拓1】如图，在长方体中，点在棱上移动等于何值时，二面角的大小为？【解析】 以为坐标原点，直线，分别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则，由题意可知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，令，得，依题意（不合题意，舍去），时，二面角的大小为【备选】如图，在直三棱柱中， 证明：； 求二面角的余弦值【解析】 方法一： 三棱柱为直三棱柱，在中，由正弦定理得，即平面，又平面， 如图，作交于点点，连结，由三垂线定理知为二面角的平面角在中，在中，即二面角的余弦值为方法二：三棱柱为直三棱柱，在，由正弦定理得，即如图，建立空间直角坐标系，则， 如图可取为平面的法向量，设平

17、面的法向量为，则，又，不妨取，则，结合图象知二面角为锐二面角，二面角的余弦值为如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点，且 分别求出与底面、棱所成的角； 在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值【解析】 因在底面上的射影恰为点，则底面所以就是与底面所成的角因故即与底面所成的角是如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，则故与棱所成的角是 设则于是（舍去），则为棱的中点，其坐标为设平面的法向量为，则不妨取，得 而平面的法向量为则故二面角的平面角的余弦值是实战演练【演练1】 设空间四点满足，其中，则（ ）A BC点不一定在直线上 D以上都不对 已知是空间两个向量，若，则【解析】 已知，则，和

18、共线，即点共线将化为，求得，再由求得【演练2】在正方体中，、分别为棱和的中点，则异面直线与夹角的正弦值为（ ）A BC D解析图：【解析】 B设正方体棱长为，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，可知，【演练3】三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，为中点 证明：平面平面； 求二面角的余弦值【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则，为的中点，点坐标为，又，平面，又平面，平面平面 平面，如图，可取为平面的法向量，设平面的法向量为，则， 可取，则二面角的余弦值为【演练4】如图，已知长方体中，连接，过点作的垂线交于，交于 求证：平面； 求点到平面的距离； 求直线与平

19、面所成角的正弦值【解析】 如图建立空间直角坐标系，故； ，即，所以平面 设平面的一个法向量为由，而，令，得；而，所求的距离为 由知，；而，设与所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为【演练5】如图，已知长方体中，棱上是否存在点， 使平面平面，证明你的结论【解析】 如图建立空间直角坐标系，则，假设点存在，且，则平面平面，法一：在平面中作，垂足为三点共线， ，面面，面，存在点，使面面法二：，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即可取，所以平面平面，即，解得存在点，使平面平面大千世界在棱长为2的正方体中，、分别为、中点， 求到平面的距离； 求二面角的余弦值【解析】 以为原点，、分别为、轴建立如图所示的坐标系则，；于是向量，；设面的法向量为，则，即，于是可取； ，设到面的距离为；则； 平面的法向量可取成；于是，由图象知二面角为锐二面角，故它的余弦值为23第12讲提高-尖子-目标教师版