著名机构高二数学理科秋季班讲义第9讲.双曲线与抛物线的基本量问题典型考法.初稿

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1、第9讲 双曲线、抛物线基本量问题的典型考法解析几何12级直线与双曲线、抛物线的位置关系满分晋级 解析几何10级直线与椭圆的位置关系解析几何11级双曲线、抛物线基本量问题的典型考法新课标剖析 当前形势双曲线与抛物线在近五年北京卷(理)考查514分高考要求内容要求层次具体要求ABC双曲线的定义及标准方程由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质抛物线的定义及标准方程由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质双曲线的简单几何性质由双曲线的几何性质解决问题抛物线的简单几何性质由抛物线的几何性质解决问题北京高考解读2009年2010年（新课标）2013年（新课标）第19题

2、14分第13题5分第6题5分，第7题5分 9.1双曲线考点1：双曲线及其标准方程暑假知识回顾1双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点两焦点的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程：，焦点坐标为，；，焦点坐标为，；3双曲线的几何性质（用标准方程来研究）：范围：或；如图对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴如图中，为顶点，线段为双曲线的实轴在轴上作点，线段叫做双曲线的虚轴渐近线：直线

3、；离心率：叫做双曲线的离心率，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔4等轴双曲线与共轭双曲线：等轴双曲线：实轴长、虚轴长相等的双曲线焦点在轴上，标准方程为；焦点在轴上，标准方程为.渐近线方程为，离心率.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，共轭是相互的互为共轭双曲线和（）有相同的渐近线，他们的四个焦点共圆，且它们的离心率满足练习1： 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）A1或5 B6 C7 D9（2012湖南理5）已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（ ）A B C D【解析】 C双曲线中，渐近线

4、方程为，双曲线方程为根据双曲线定义， 的焦距为， ，又双曲线渐近线方程为，且在渐近线上，即 ，由解得.经典精讲 暑假时我们预习过双曲线的方程的求法，这里借助例1进行总结【例1】 与双曲线有相同的渐近线且过点的双曲线方程是_与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程是_与椭圆有公共焦点，且经过点的双曲线的标准方程是_【解析】 利用有相同渐近线的双曲线系去做与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，将点代入，得：所求双曲线的方程为，即 设所求双曲线方程为（）双曲线过点，解得或（舍去）所求双曲线方程为 设所求双曲线方程为（）双曲线过点，或（舍去）所求双曲线方程为【点评】几种特殊情况的标准方程的设法：

5、与双曲线（）有相同渐近线的双曲线方程为（）渐近线为的双曲线方程为（）与双曲线（）有共同焦点的双曲线方程为（）与椭圆（）有共同焦点的双曲线方程为（）双曲线方程还有一个常见的设法，是已知双曲线上两个点，但没有其它信息时，可以统一设双曲线的方程为，如已知双曲线上有两点，求双曲线方程就可以不讨论焦点位置，直接设为，从而得到方程组，解得，可以有效减少计算量提高班学案1【拓1】 已知实数，满足，则下列不等式中恒成立的是( )ABC D（2010朝阳一模理6）已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为（ ）A B C D【解析】 D因为均可取负值，排除A；由在双曲线上排除C；而双曲线

6、的焦点在轴上，且渐近线为知成立，故D正确，B错误 C解法一：不妨设，于是有于是排除A，B由D中双曲线的渐近线方程为，点不在其上排除D解法二：如图，又，即，后面同解法一尖子班学案1【拓2】（2010浙江理8）设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【解析】 C据题意得，又点在双曲线的右支上，据双曲线的定义可得，整理得，又，故有，整理得，即，故双曲线的渐近线方程为，即考点2：双曲线的离心率求法 双曲线的离心率决定双曲线的开口的开阔程度，如果一个双曲线方程是确定的，可以直接求离心率，但大多数时候，双曲线

7、的方程都是不确定的，只能通过所给的几何条件得到与的比值关系，进行得到离心率满足的方程，求得离心率经典精讲【铺垫】双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【解析】 B设双曲线方程为，为等腰三角形，即，【例2】 如图，已知为正六边形，若以，为焦点的双曲线恰好经过，四点，则该双曲线的离心率为_（2010辽宁理9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为（ ）A B C D（2012湖北14）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则双曲线的离心率_第题 第题 【解

8、析】 设正六边形边长为，则以为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，则，故，因为，所以，即，故，所以 D设双曲线方程为，则，直线与渐近线垂直，所以，即，得，即，解得或（舍去）；由题意知：在中，又，于是有，即，两边平方将代入整理得：，得，解得（，舍去一根），故目标班学案1【拓3】设双曲线的右焦点为，直线与两条渐近线交于、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率_【解析】设双曲线的右焦点为，渐近线方程为，又直线与两条渐近线交于、两点，是直角三角形，即，即双曲线的离心率考点3：双曲线离心率的取值范围问题 有些问题是给定双曲线一些限制，求离心率的范围有时需要用到双曲线的一个性质，若双曲线的一个右（左）焦点为，

9、为双曲线右（左）支上任一点，则的最小值为，当为右（左）顶点时取到证明很简单，设，则，从而（其实这就是双曲线焦半径公式之一）又因为，故当时，有有这个天然的限制，解决一些问题时需要注意：例双曲线的左右焦点分别为、，双曲线上一点满足，求解：由双曲线的定义可知或17，但前者必须舍去下面例3的都用到这个限制【例3】 设，则双曲线的离心率的取值范围是_已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 【解析】 ，而，故 ；由定义知，又已知，解得，从而只要，就能得到点存在，解得，等号可

10、以取到，即的最大值为 ；因为在中，由正弦定理得，则由已知得，即，由双曲线的定义知，则，即，由双曲线的几何性质知，则，即，所以，解得，又，故双曲线的离心率提高班学案2【拓1】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）ABC D【解析】 C如图，与分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线，直线为过且倾斜角为的直线，要使与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使，尖子班学案2【拓2】双曲线的焦距为，直线过点和，且点到直线 的距离与点到直线的距离之和求双曲线的离心率的取值范围【解析】 直线的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点到直线的距

11、离，同理得到点到直线的距离，由，得，即于是得，即解不等式得，由于，所以的取值范围是目标班学案2【拓3】若椭圆或双曲线上存在一点到两个焦点的距离之比为，则称此椭圆或双曲线上存在“ 点”，下列曲线中存在“点”的是（ ）A. B. C. D. 【解析】 D；在椭圆中，即，又，（椭圆上的点到焦点距离的最值为，分别对应椭圆的端点，推导类型双曲线）故，又，故在双曲线中，故，又，所以由A：，错误；由B：，错误；由C：，错误；由D：，正确.考点4：双曲线的焦点三角形知识点睛双曲线的焦点三角形：以双曲线的两个焦点、与双曲线上任意一点为顶点组成的三角形、为双曲线的两个焦点，在双曲线上，且，的面积证明：，将平方代入

12、式，得，解之得，的面积为例4的三个小题都可以直接用推导后的公式做，如果不直接用公式，就需要用双曲线的定义+余弦定理进行推导计算，相当于又推导了一遍面积公式【例4】 设、为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ）A1 B C2 D和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则 的面积是_设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且的面积等于，则的正切值为_【解析】 A解法一：；解法二：设，由面积公式知：要先求得点纵坐标利用点在双曲线上和列出方程组，可以获解设，点在双曲线上， 又，由知 解得的面积解法三：由三角形面积公式，需要先求得的值由勾股定理有，再由双曲线的定义有，对两边平方，由双曲线方

13、程得在中，的面积；由已知：，在中，由余弦定理得又，从而， ；双曲线即，故，于是即，设，则目标班学案3【拓3】 （2010浙江10）设为坐标原点，是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点，满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【解析】 D 由余弦定理得：， 得即，即，所以，故考点5：双曲线中的最值问题提高班学案3【铺1】设连结双曲线与（）的四个顶点所得四边形面积为，连结四焦点所得四边形面积为，则的最大值为 【解析】，故【例5】 若是双曲线右支上一个动点，是双曲线的右焦点，已知点的坐标是，则的最小值是_若是双曲线右支上一个动点，是双曲线的右焦点，已知点的坐标是，则的最小值是_【解析】 双曲线

14、中，如图，要求的最小值，只需把折线段拉直，即当点运动到与双曲线的交点时，取得最小值，并满足，最小值为双曲线中，如图所示找到其左焦点，如图，根据双曲线第一定义，因此，故此题转化为求的最小值问题求的最小值仍然是拉直，当点运动到与双曲线右支的交点时，取得最小值，并满足即最小值为则的最小值为9.2 抛物线考点6：抛物线及其标准方程暑假知识回顾1平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程：，焦点在轴正半轴上，坐标是，准线方程是，其中是焦点到准线的距离3抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程研究性质）：范围：抛物线在轴的右侧，开

15、口向右，向右上方和右下方无限延伸对称性：以轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点此处为原点离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用表示，4设抛物线的焦点到准线的距离为，抛物线方程的四种形式如下：标准方程图形对称轴焦点坐标准线方程轴轴练习2:动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 （2010浙江理13）设抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_（2012四川理8）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）ABCD【解析】 由定义

16、知的轨迹是以为焦点的抛物线，所以其方程为 利用抛物线的定义结合题设条件可得出的值为，点坐标为，所以点到抛物线准线的距离为 由题意设抛物线方程为，则到焦点的距离为，经典精讲【例6】 已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为 过抛物线（）的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点，（在轴左侧），则 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比（ ）A B C D 【解析】 ；法一：过点分别作垂直于准线，垂足分别为过点作垂直 于，交轴于点，记准线与轴交点为设，由抛物线的定义知，在中，故于是，解得的中点到准线的距离法二：如图，延长，交抛物线

17、的准线与，作、在准线上的投影、于是，设，则弦中点到准线的距离为，而，所以，因此，而，所以，从而，于是为所求 ；过作垂直抛物线的准线于，记直线交准线于点，设，则，所以，所以 A由题知，又由、三点共线有，即，故， ，故选择A考点7：抛物线的最值问题 抛物线中的最值问题分成两类，一类借助抛物线的定义，将抛物线上一点到准线的距离与到焦点的距离进行转化，从而借助几何图形直接得到距离和的最值，见例7另一类是无法通过几何得到最值，需要通过具体的代数计算得到最值，见例8经典精讲【例7】 已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是（ ）A8 B C10 D已知点在抛物线上，那么点到点的距离

18、与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）A B CD【解析】 B如图，由抛物线定义知故所以问题即为求的最小值，当三点共线时取到，故的最小值为 A由抛物线的定义知，即求抛物线上的点，使得它到准线的距离与到点的距离之和最小，过点作准线的垂线，与抛物线交于一点，为此点时，有距离和的最小值，故的纵坐标为 例8是求抛物线上的点到一条直线的距离的最小值，可以直接设出抛物线上的点，通过点到直接的距离公式计算，也可以求出抛物线与此直线相切的直线，切点即为所求，特别在学完导数之后，这个方向更常用例8是求抛物线（）上的点到轴上一点的距离的最值，当轴上的点为焦点时，我们由抛物线的定义知，它到抛物线的顶

19、点的距离最小，当此点不是焦点时，的结论是一般性的，即当轴上的点在点的左边时，距离最小的点都是顶点；当该点处在轴上点的右边时，离它距离最小的点不再是顶点【例8】 求抛物线上一点，使这点到直线的距离最短已知抛物线，设点的坐标为，求抛物线上距离点最近的点的坐标及相应的距离已知点满足：对于抛物线上任意一点，都有，则的取值范围是_【解析】 法一：设抛物线上一点，这点到直线的距离当时，函数的最小值是4此时有最小值，故所求点的坐标为法二：设与抛物线相切，联立有的判别式，故，此一元二次方程的根为，故所求点为 设抛物线上任一点的坐标为，则且在此区间上函数单调递增，故当时，故距离最近的点的坐标为；法一：当时，以为

20、圆心，为半径的圆与抛物线相切于原点，故此时满足条件；时，显然满足；当时，要满足条件，需要圆与抛物线相切或相离，即有且只有一个非负根，即综上知：法二：设，则有，即对所有的恒成立，即对所有的恒成立，故，即 已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是_ 如图，在等腰梯形中，且设，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则（ ）A随着角度的增大，增大，为定值B随着角度的增大，减小，为定值C随着角度的增大，增大，也增大D随着角度的增大，减小，也减小【解析】 ；设，当时，为减函数，；当时，为增函数，则由题意得，则的范围是

21、 B；设连结，则， 一方面，由知，随着的增大而减小；另一方面，有为定值因此选B实战演练【演练1】 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A B C D【解析】 A双曲线的焦点到渐近线的距离为【演练2】如果，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若，则_【解析】根据抛物线的定义，可知（），【演练3】（2010东城二模6）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于（ ）A B C D【解析】 A，结合，可得，于是，即双曲线的离心率为【演练4】双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为_【解析】 设点到轴的距离为，【演练5】已知点及焦点为的抛物线，在抛物线上求一点,使最小【解析】在抛物线的内部（如图），又（为的垂足），（其中为与抛物线的交点），的最小值为【演练6】抛物线上的点到直线的距离的最小值是_【解析】 设抛物线上一点，它到直线的距离当时，函数的最小值是此时有最小值大千世界已知点是双曲线上的动点，分别是其左、右焦点，为坐标原点，则的取值范围是_【解析】不妨设于是有而，于是19第9讲提高-尖子-目标教师版