著名机构高二数学理科秋季班讲义第3讲 立体几何之垂直问题 删解析

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1、立体几何之垂直问题第3讲 立体几何9级点面距离与动点问题满分晋级 立体几何7级立体几何之平行问题立体几何8级立体几何之垂直问题新课标剖析 当前形势立体几何的垂直问题在近五年北京卷（理）考查10分高考要求内容要求层次具体要求ABC线、面垂直的性质与判定通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第4题 5分第16题5分第5题 5分第16题5分第7题 5分第16题5分第7题 5分第1

2、6题5分第14题 5分第16题5分备注：北京高考第16题一般都是14分，第一问考查空间几何体中的平行与垂直关系暑期知识回顾1若、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【解析】 D2已知，是不同的直线，、是不同的平面，给出下列命题：，则；若，则；若，且，则；若为异面直线，则则其中正确的命题是_（把你认为正确的命题序号都填上）【解析】 3在正四面体中，、分别是、的中点，下面结论中不成立的是（ ）A平面B平面C平面平面D平面平面【解析】 C4垂直于正方形所在平面，连结、，则下列垂直关系正确的是（ ）面面面面面面面面A BC D【解析】

3、A5如图，在四面体中，点、分别是、的中点，求证：直线平面；平面平面【解析】 易知中位线，而面，面平面 ，又，是的中点，面又面，平面平面6如图所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，是 的中点求证：平面；求证：原图： 解析图：【解析】 取中点，连结，易知，平面又和都垂直于平面，是平行四边形，平面因此平面平面平面，平面 连结，由，是的中点，可得，且，由，可得类似的，于是，从而，结合，有平面，3.1线面垂直与面面垂直的证明知识点睛本讲重点讲解线、面垂直的关系，例题是按照题目难度区分的，兼顾了线线，线面，面面的位置关系解决垂直问题的关键是数学中转化思想的应用，将线线垂直问题、线面垂直问题和面面垂直问题互

4、相转化若已知线面垂直，则必然可利用此线证明出面内某条线垂直于此线所在的平面，从而找到新的线面垂直线面垂直与面面垂直 线面垂直：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直点面距离：如果一条直线和平面垂直，则线与面的交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段垂线段的长度叫做这个点到平面的距离判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推 论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 面面垂直：

5、如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平 面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直判定判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面线面垂直面面垂直定义定理定理定义考点1：线面垂直的判定、性质及证明证明线面垂直的一般思路是证明线线垂直，证明直线和平面内的两条相交直线垂直除了题目给出的垂直条件外，几何体本身的一些垂直特性也是解决问题必不可少的等腰三角形底边的中点也是经常可以利用的辅助点主要的判定方法：用判定定理；用判定定理的推论；用面面垂直的性质定理；如果一条直

6、线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个经典精讲【例1】 如图1，在三棱锥中，求证：如图2，在正方体中求证：面 【解析】 取中点，连结、，为中点，同理：，面又面， 连结，底面，又面，又底面为正方形，又，面又面，同理连结可得根据线面垂直的判定定理可得面提高班学案1【拓1】如图，已知平行六面体的底面是菱形，且，求证：原图： 解析图：【解析】 底面是菱形，连结，交于点，连结，由可知，为等腰三角形，又，又，面，又，且面，【例2】 在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别为、的中点若，求证：面【追问】设，则面原图：法一图：法二图：【解析】 法一：取中点，连结，则；，是平行四边形；底面，且面，；

7、又由底面是矩形有，面；又面，；又，是等腰直角三角形；又，；又，面；又，面法二：先完全仿照法一可证明面；取中点，连接、；则，面面；面，；，又，又，且，根据三角形全等可知；又，；，面【追问】，又，即是等腰三角形是的中点，由例题知，结合，得面尖子班学案1【拓2】在正方体中，为的中点，为底面的中心求证：面原图：法一图：法二图：【解析】 法一：由于，且，面，且面，连结，设，则，又，平面（法二）由于，且，面，且面，取中点，连结，则在正方形中，由、分别为、的中点，可知，又，且，面，又面，面考点2：面面垂直的判定、性质及证明面面垂直的证明一般都先证明线线垂直，进而线面垂直，最后达到面面垂直的目的反过来由面面垂

8、直的性质又可以得到线面垂直经典精讲【例3】 如图，设平面，垂足分别为，且，如果增加一个条件就能推出，给出四个条件：；与在内的正投影在同一条直线上；与在平面内的正投影所在直线交于一点那么这个条件不可能是（ ）A B C D【解析】 D；提高班学案2【铺1】如图，棱柱的侧面是菱形，证明：平面平面【解析】 因为侧面是菱形，所以又已知，且，所以平面又平面，所以平面平面【例4】 在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点，且交于点，证明：平面平面【解析】 底面，平面，；又，平面，平面，平面平面，又，是的中点，；平面，平面，平面平面，又，、平面，平面，又平面，平面平面尖子班学案2【拓2】如图，已知中，平面

9、，、分别是、上的动点，且 求证：不论为何值，总有平面平面； 当为何值时，平面平面？【解析】 平面，且，平面又，故平面又平面，不论为何值，总有平面平面 由知，又平面平面，平面，由射影定理，解得，因此时，平面平面目标班学案1【拓3】 如图，四边形是面积为的菱形，为菱形的锐角，是平面外的一点，是边长为的正三角形，平面平面，是的中点 求证：； 求证：平面平面原图：解析图：【解析】 为菱形的锐角，过作交于，则，又，在中，则，是等边边的中点，；又，面，且面， 取中点，连结、，则面，即面是正三角形，且底面是菱形，为等腰三角形，且由知，面，且面，平面平面考点3：线、面垂直综合 直线、平面的平行、垂直关系的判定

10、和性质是高考的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的证明，几乎是必考的内容，难度上以中等题为主经典精讲提高班学案3【铺1】（2011江苏16）如图，在四棱锥中，平面平面，、分别是、的中点求证： 直线平面； 平面平面【解析】 因为、分别是、的中点，又面，面，直线平面 ，是的中点，又平面平面，面面，面，所以平面平面【例5】 直三棱柱中，、分别是、的中点求证：平面；求证：平面原图： 解析图：【解析】 连结，由，分别是，的中点，面，且面，面 三棱柱中，侧棱与底面垂直，四边形是正方形，连结，又为的中点，面（当然也可以由面得到，从而）尖子班学案3【拓2】（2010年朝阳一模文17）如图，在三棱

11、柱中，每个侧面均为正方形，分别为侧棱的中点，与的交点为 求证：面； 求证：平面原图： 解析图：【解析】 连接，因为为的中点，为的中点，所以，且，又是中点，则 且，且四边形为平行四边形，又平面，平面，则平面 因为三棱柱各侧面都是正方形，平面平面，所以由已知得，平面由可知，平面侧面是正方形，所以又平面，平面平面目标班学案2【拓3】如图，四边形为矩形，平面，为上的点，且平面 求证：； 设点为线段的中点，点为线段的中点求证：平面原图： 解析图：【解析】 因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以 取的中点，连结，点为线段的中点，所以，且，又四边形是矩形，点为线段的中点，所以，

12、且，所以，且，故四边形是平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面3.2立体几何垂直的探索性问题考点4：垂直的存在性问题存在性问题是立体几何问题中的难点，需要对空间线、面位置关系的定理和性质了然于胸，进行不断的猜测和尝试，由命题成立的必要条件探索充分条件，最后进行论证存在性问题能很好的考察立体几何的素养，空间想象和感知能力当然，学过空间向量后，几何问题代数化，这类问题的难度会下降一个档次经典精讲【例6】 （2012年浙江理）已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A存在某个位置，使得直线与直线垂直B存在某个位置，使得直线与直线垂直C存在某个位置，使得直线与直线垂直D对任意位

13、置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直【追问】是否存在某个位置，使得直线与直线垂直？【解析】 B【追问】存在在翻折过程中，经历了锐角到钝角的变化，故存在一个位置，使得为直角，即直线与垂直【点评】折叠问题是立体几何中的一个难点，要注意折叠前后哪些量发生了变化，哪些没有，位于折叠线同侧与异侧的元素间的位置关系是否变化，这是解决问题的关键【例7】 如图，在四棱锥中，底面，为正方形，是的中点求证：；在平面内是否存在一点，使平面？并证明你的结论原图：解析图： 【解析】 取中点，连结，由已知有，则，由面，且面，又，面又分别为的中点，由，面， 设为中点，连结，取中点，连结，由面，又底面为正方形，有面，又

14、，且点为中点，则，面，面即点为的中点时满足题意目标班学案3【拓3】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，且，是的中点在平面内求一点，使得平面原图：法一图：法二图： 【解析】 法一：设为的中点，交点为，连接、分别为、的中点，故，又，平面，因此设，则，为的中点，平面，即点为的中点时满足题意法二：设为的中点，取中点，连结，由面，且底面为正方形，有面，点，分别为，的中点，则，且，取中点，连结，有平行四边形，在等腰直角三角形中，为中点，又，且，面“筝形”是指两组邻边分别相等的平面四边形如下左图，在平面内的“筝形”中，现将构成“筝形”的两个等腰三角形和沿分别向上折起构成“空间筝形”（如下右图），设、在内的

15、投影分别为、，且、分别位于的两侧 求证：“空间筝形”的对角线与互相垂直； 若折起的“空间筝形”满足，且，证明此时有平面平面【解析】 取的中点，连结，由知，；同理，又平面，平面平面， ，平面，由知，由得，故为直角三角形，又，平面，平面，平面，平面平面实战演练【演练1】 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 （ ）A若则 B若则C若，则 D若则【解析】 B；【演练2】如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面求证：平面【解析】 平面，平面，在正方形中，平面，平面【演练3】在长方体中，点，分别在，上且，求证：面【解析】 由面得；又，面；同理，由面可得，又，面；面【演练4】如图

16、，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点，且，求证：平面平面原图： 解析图：【解析】 由，且，有又，平面，平面，且，平面取的中点，连结，由为中点有，面又面，面面【演练5】如图，直三棱柱中，、分别是、的中点求证：；求证：平面【解析】 ，点为的中点在直三棱柱中，平面，平面，又，平面平面， 连接交于点，连接、，四边形是长方形，点为的中点点为的中点，为的中位线且在直三棱柱中，且，且，四边形是平行四边形又平面平面，平面【演练6】如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为 求证：平面； 已知为侧棱上一个动点试问对于上任意一点，平面与平面是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由【解析】 因为四边形是正方形，所以是的中点由已知，所以又，所以平面 对于上任意一点，平面平面证明如下：由知面，而面，所以又因为四边形是正方形，所以因为，所以面又因为面，所以平面平面大千世界在如图所示的棱长均为的正四面体中，点和分别是边和的中点，则线段的长度为（ ）A B C D【解析】 A首先不难证明正四面体的对棱互相垂直；如图所示，设在面上的射影为，则为面的中心，延长交于，则是正的高；面，；又，面；取中点，连接、；则，；且，49第3讲提高-尖子-目标教师版