著名机构高二数学理科秋季班讲义第2讲 立体几何之平行问题.删解析

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1、立体几何之平行问题第2讲 立体几何8级立体几何之垂直问题满分晋级 立体几何7级立体几何之平行问题立体几何6级立体几何初步新课标剖析 当前形势立体几何之平行问题在近五年北京卷（理）考查10分高考要求内容要求层次具体要求ABC空间线、面的位置关系在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系公理1、公理2、公理3、公理4、等角定理借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理线、面平行的性质与判定通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对

2、象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第4题 5分第16题5分第5题 5分第16题5分第7题 5分第16题5分第7题 5分第16题5分第14题 5分第16题5分备注：北京高考第16题一般都是14分，第一问考查空间几何体中的平行与垂直关系暑期知识回顾14题为平面的三公理的回顾，57题为线面平行的判定和性质的回顾1下列命题：有个公共点的两平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条

3、也相交；两组对边相等的四边形是平行四边形正确命题的个数是（ ）ABCD【解析】 A2直线平面，直线平面，且，则（ ）ABCD【解析】 A3已知平面相交，在内各取两点，这四点都不在交线上，那么这四点能确定的平面的个数为_【解析】 或4是三条直线，若与异面，与异面，则与的位置关系为（ ）A平行B相交C异面D以上都有可能【解析】 D5下列命题：直线平行于平面内的无数条直线，则；若直线在平面外，则；若直线，直线，则；若直线，则平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数为（ ）ABCD【解析】 A6设是平面内的两条不同直线，是平面内的两条相交直线，则下列已知条件能得到是（ ）A且 B且 C且 D且【解析】

4、 B7正方体中，点为的中点，点在上，若平面，则_【解析】8在正方体中，为的中点，求证：平面【解析】 如图，连接交于，则是的中点又是的中点，面，面，面2.1点线面及平面三公理三推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线平面基本性质知识点睛平面的三公理及其推论是解决立体几何问题的基础和依据，可以

5、解决点线共面问题、点共 线和线共点问题，也是研究立体几何逻辑推理的基础，是将空间几何问题转化为平面几何问题的依据考虑问题不再只局限于平面图形，应养成三维空间考虑问题的习惯 公理1的作用：判定直线、点是否在平面内，又可用直线检验平面； 公理2的作用：一是确定平面，二是用来证明点、线共面问题；公理3的作用：一是判定两个平面是否相交的依据，二是可以判定点在直线上考点1：共点、共线、共面问题经典精讲【例1】 已知正方体，、分别为，的中点，求证：、四点共面；若交平面于点，求证：、三点共线；求证：、三线共点【解析】 如图，连结， 、分别为、的中点，是的中位线，又在正方体中，、可以确定一个平面，即、四点共面

6、 正方体中，记平面为，平面为，同理，点也是与的公共点又由，可知，即、三点共线 ，延长、，则与必相交，设交点为面，面点在面与面的交线上又平面，由公理3可知在直线上，、三线共点【点评】 证明一个图形是平面图形的常用方法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；过有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合；反证法主要依据是公理1和公理2及其推论 证明点共线、线共点的依据是公理3，可以理解为：如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；如果两个相交平面有三个公共点，那么它们三点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在两个平面的交线上证明点共线的方法

7、，一般是过其中两点作一条直线，然后证明其它的点也在这条直线上；或者证明这些点在两个平面的交线上证明三线共点的方法，可先证明其中两条相交，再证第三条直线过这个交点提高班学案1【拓1】已知空间四边形的对角线是，点分别是的中点，求证：三线段，交于一点且被该点平分原图： 解析图：【解析】 如图，连结，分别为，的中点，四边形是平行四边形设，则平分，同理，四边形是平行四边形，设，则平分，点都平分线段与两点重合，过和的交点，即三线段，交于一点且被该点平分考点2：截面问题画截面的重点是画出所要求的截面与已知立体图形的各个面的交线（前提是相交），由公理3，只需分别找到截面与各面的两个公共点即可主要的依据还有：三

8、个平面两两相交，那么它们的交线交于一点或者两两平行；两个平行平面与第三平面相交，则它们的交线平行，等等作截面最重要的是画延长线，两点确定一条直线，三点确定一个平面，加上对空间图形的宏观想象，画截面不是很难的问题经典精讲【例2】 如图1，求作经过棱长为的正方体的棱和的中点、及点的截面并求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积如图2，求作经过棱长为的正方体的和的中点、及点的截面 【解析】 、平面，连结并延长，与延长线交于点，同理连结并延长，与延长线交于点，连结，为切割平面，过正方体的顶点（分析见下）又、面，连结，四边形就是所求的截面分析：其中点在所在直线上，可通过平面几何知识证明

9、，在中，由于为中点，所以为中点；同理为中点；，从而与都是等腰；，共线由作截面的方法可知，截面过正方体的中心，将正方体平分为两部分，且这两部分关于正方体的中心对称，因此所求的体积为正方体体积的一半，即 、平面，连结并延长，交延长线于点，点底面，又点底面，连结交于，并延长与延长线交于点，点侧面连结，交于，所在平面为切割平面又、平面，、平面，连结与，则五边形即所求作的截面【点评】 本题也可延续体积问题，根据比例关系，又，因此，又由，则，所以提高班学案2【拓1】已知正三棱柱的底面边长为，高为，过，和的中点，画截面【解析】 ，平面，连结并延长交的延长线于，平面，连结并延长交的延长线于，又，平面，连结交于

10、，交于，所在平面为切割平面连结，即得切割平面与正三棱柱表面的交线，五边形就是所求的截面尖子班学案1【拓2】 正方体中，分别是的中点，那么正方体过的截面图形是（ ）A三角形B四边形C五边形D六边形【解析】 D目标班学案1【拓3】 如图，是正方体的棱的中点，判断下面命题的正确性：过点有且只有一条直线与直线都相交；过点有且只有一个平面与直线都相交原图： 解析图：【解析】 对 错对于，过点且与直线相交的直线都在平面内，若此直线与也有交点，则它必定经过与平面的交点如图，取的中点，易知，共面，延长与交于点，延长与交于，则为所求的唯一的过且与都相交的直线对于，除了外，在和上任意各取一点，这两个点与点所成的平

11、面均与和相交，这样的平面有无穷多个故错误【例3】 如图3，棱长为的正方体中，是棱的中点，过、作正方体的截面，则截面的面积是 如图4，空间四边形的两条对棱、的长分别为和，、分别在、上，且，则过、的平面与空间四边形相交所得的截面多边形的周长的取值范围是_【追问】当点位于什么位置时，截面将三棱锥的体积平分？ 【解析】 【追问】连结，设，我们来计算截面上半部分的体积由，知，可得先求由，知类似的，于是，截面上部分体积为由，解得（舍去）因此，当是的中点时，截面分棱锥的体积为相等的两部分2.2线面平行与面面平行考点3：线面平行与面面平行的判定和性质定理知识点睛由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因

12、此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行线面平行，另一种方法是面面平行线面平行证明平行问题，一般来说就是要证线线平行，线面平行、面面平行都可转化为证线线平行已知线面平行和面面平行的话，也可用来证明线线平行 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等 判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这

13、个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行空间中的平行关系线线平行线面平行面面平行经典精讲【例4】 若平面平面，直线，点，则在平面内且过点的所有直线中（ ）A不一定存在与平行的直线 B只有两条与平行的直线C存在无数条与平行的直线 D存在唯一与平行的直线已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：

14、若，则；若，则；若，则且其中说法正确的个数是（ ）ABCD如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，那么（ ）ABCD下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A B C D【解析】 A A A； B【例5】 如图5，三棱锥中，、分别是、的中点，是的中点；求证：平面如图6，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，、分别是棱、的中点证明：直线平面图5 图6【解析】 设和交于点，连接，在三角形中，、分别是、的中点，所以为重心，又为中点，是的中点，所以，在中，所以，又不在平面内，平面，所以平

15、面 法一：取的中点，连结，由于，所以平面，因此，平面即为平面，连结，由于，所以四边形为平行四边形，因此又，得，而平面，平面，故平面法二：因为为的中点，所以，因此四边形为平行四边形，所以又，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面尖子班学案2【拓2】 长方体中，点（异于、），求证：平面【解析】 法一：，又，又面，面，面法二：可利用直线与平面的性质定理证明连结、，长方体中面，面，又，面面，又面，面，面解题方法：寻找面内线，与要证明的直线构成三角形并形成比例关系寻找面内线，与要证明的直线构成平行四边形 2.3线、面平行的探索性问题考点4：平行的存在性问题本版块主要是与平行相关的一些探索性问题，是三

16、个公理及其推论和平行关系的综合应用，探讨一些与平行相关的存在性问题的基本思路经典精讲【例6】 如图所示，在正方体中，是棱的中点在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论原图：法一图：法二图：【解析】 在棱上存在点，使平面且为的中点法一：分别取和的中点，连结，由四边形是平行四边形，有又，分别为，的中点，有，这说明、共面，所以平面因四边形与皆为正方形，分别为和的中点，所以，且，四边形是平行四边形，所以而平面，平面，故平面法二：连结，且与交于点，连结，（要证线面平行转化为线线平行即）由平行四边形有，又为棱中点，有，且，且面，面，棱上存在中点，使得面目标班学案2【拓3】 如图，已知正方体中，、分别为、的

17、中点，在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论原图： 解析图：【解析】 法一：取使得，则这样的满足要求延长交于，连接、由，得又，易知，是平行四边形另外，由、分别为、的中点，知，面面面，面法二：延长交于，则连接交于，则连接，平面与面的交线即为，要想面，则只需即可由知，只需即可，即此时的满足要求【例7】 如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论原图： 解析图：【解析】 线段的中点就是满足条件的点证明如下：取的中点连结、，则，取的中点，连结、，且，是正三角形，四边形为矩形，又，且，四边形是平行四边形，而平面，平面，平面目标班学案3【拓3】 如图所示，正方体中

18、，棱长为，分别为和上的点，求的最小值原图： 解析图：【解析】 先证明面作交于，作交于连结，则，又， 又，四边形是平行四边形，且又平面，平面，平面由上面的证明知，只需求的最小值即可设，由知，且，从而当时，取得最小值【点评】 本题也可采用过作的平行线来解决 平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为（ ）A B C D 如图，在三棱柱中，点、分别为、的中点，为的重心从、中取一点作为，使得该棱柱恰有条棱与平面平行，则为（ ）A B C D第题： 第题：【解析】 C如图，用列举法知满足要求的棱为：、，故选C C如图，若取点为点，连结，则故面而其他侧棱、均与平行故此时与面平行的有条棱若取点为点，可以得面

19、面面，则与面平行的棱有底面中的条棱；若取点为点，故只有棱、与面平行；若取点为点，只有棱与面平行故选C实战演练【演练1】已知正方体，记与平面交于点求证：，三点共线题图： 解析图：【解析】 如图，连结， ，确定平面交平面于，平面，又平面，而面平面，点必落在上，三点共线【演练2】正方体中，、分别为，的中点，求作正方体的过、的截面原图： 解析图：【解析】 、平面，连结并延长，交的延长线于，交的延长线于，又、平面，连结交于，并延长与延长线交于点，、平面，连结交于，交于，所在平面为切割平面，并且与正方体棱的交点已确定又、平面，、平面，连结与，则六边形即为所求作的截面【演练3】在四棱锥中，底面是平行四边形，

20、是的中点求证：平面原图： 解析图：【解析】 连结，设交于，连结，底面是平行四边形，点是的中点在中，是中位线，平面，且平面，平面【演练4】已知四棱锥，底面为平行四边形，为侧棱上的两个三等分点，如图所示求证：原图： 解析图：【解析】 连结交于，连结，底面为矩形，为的中点，为侧棱的三等分点，平面，平面，平面【演练5】已知直四棱柱，为棱的中点，为体对角线的中点求证：直线平面原图： 法一图： 法二图：【解析】 法一：延长交的延长线于点，连接因为是的中点，所以为的中点，为的中点又是线段的中点，故又平面，平面平面法二：（可将图形调整一下，看得会更明显）连结，由，点平分线段，又点平分线段，又面，面，直线平面大千世界如图所示，点、分别在正方体的棱、上，那么正方体被平面所截得的截面面积是 原图： 解析图：【解析】 525；首先易知是的中点；，；如图所示，取中点，连接，则，于是四点共面；延长分别与和的延长线交于、，设直线与交于，与交于，连接；于是即为正方体被平面所截的截面；不难知道，同理，且，故六边形由两个全等的等腰梯形构成，计算其面积只需计算其中一个等腰梯形即可设的高为，结合可得：；截面的面积33第2讲提高-尖子-目标教师版