著名机构高二数学理科寒假班讲义（第5讲）概率与统计.第8级.101次求婚有几次能成功.教师版

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1、第5讲 101次求婚，有几次能成功概率与统计6级概率与统计考点归纳满分晋级 概率与统计4级离了散了变了概率与统计5级101次求婚，有几次能成功新课标剖析当前形势随机变量及其分布在近五年北京卷（理）考查13-14分高考要求内容要求层次具体要求ABC次独立重复试验与二项分布能够判断次独立重复试验并利用适当公式解决问题超几何分布会判断分布为超几何分布北京高考解读2009年2010年（新课标）2013年（新课标）第17题13分第17题13分第16题14分通过上节课的学习，我们已经知道分布列实际是一种函数，确切的说是一种离散型的函数，所谓的分布列的表格就是列表法表示函数.比如我们可以类似于连续函数做出离

2、散型函数的函数图象.如上一讲中的例6，我们知道它的分布列为：于是，我们可以根据分布列画出函数的图象.考点1：二点分布知识点睛1.如果随机变量的分布列为其中，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布二点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布【举例】两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用二点分布来研究.老师可以以下边的例子讲解两点分布，让学生从直观上理解二点分布屋子里关着一只鸟，这只鸟要从窗户飞出去，屋子里有三扇窗户，只有一个是开着的，剩下两个有玻璃，不过这只鸟的眼神不是特别

3、好，看不清哪个是开着的于是，他会随机的挑选一个撞过去，那么成功率就是.随机变量为这只鸟从窗户飞出去的结果，成功定义为，失败定义为，则的分布列满足二点分布2.二点分布的期望与方差：若随机变量服从参数为的二点分布，则；【教师备案】二点分布严格定义是分布，不过实际上二点分布的模型可以应用于自然界所有“只有两种情况”的情况.比如：我们高考考北大，我们可以把考上定义为，没考上定义为，这样就可以写出一个二点分布的分布列我们可以以这个分布列来估计考上北大的可能性，进而决定我们如何报考这里会有一个比较有意思的问题：在什么情况下我们会比较纠结呢？直观的看，假设我们考上的概率是，考不上的概率是，我们就会侧重于不报

4、考；如果考上的概率，考不上的概率是的话，我们就会考虑报考.但是如果我们发现考上的概率是的话，就彻底纠结了这个时候其实我们最靠谱的办法是掷硬币从数学的角度分析，这件事非常简单，我们知道二点分布的方差是，由均值不等式很容易得出当的时候，方差最大，也就是结果的波动性最大.此时我们是最没有办法估计结果的经典精讲【例1】 二点分布从装有只白球和只红球的口袋中任取只球，用表示“取到的白球个数”，求随机变量的分布列及期望与方差【解析】 由题意知，故随机变量的分布列为，概率分布表如下： ，考点2：超几何分布知识点睛1.超几何分布一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物

5、品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为，为和中较小的一个 我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，的超几何分布在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列2.超几何分布的期望与方差：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则；【举例】可以继续延续之前那个鸟的例子，假设现在屋子里有扇窗户，其中有扇窗户是打开的，现在鸟不傻了，不过眼神依然不好.他现在决定尝试次（否则可能撞的次数太多给撞死了），并且撞过的窗户不再去撞了，记录结果，统计一下有多少次能出去.这就是超几何分布，从模型角度讲，超几何分布就是“无放回”的抽取.超几何分

6、布的典型例子就是生物学上的标记重捕法先标记种群内的一部分个体，放回后再次捕捉，统计含有标记的数量，来估计总数，这实际是利用了超几何分布的期望的直观意义【教师备案】老师在讲完超几何分布后，就可以让学生做例，例主要是让学生写超几何分布的分布列，关键是让学生从题目上就可以看出是超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式就可以很快写出分布列；然后老师就可以继续讲超几何分布的期望与方差，对于超几何的期望和方差，老师可以只介绍期望公式，方差的公式太麻烦了，所以不建议给学生讲解，而且期望的公式推导过程也不要求，只需让学生记住就行了讲完期望公式后，就可以让学生做例，例主要是套公式，学生会发现，对于超几何分布求期

7、望用公式也非常快经典精讲【例2】 求超几何分布的分布列一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球， 求其中红球个数的分布列 求其中白球个数的分布列【追问】从红球的分布列和白球的分布列你能看出和的取值之间有什么关系？【解析】 记表示“取出4个球中红球的个数”，则服从参数为的超几何分布，的分布列为：01234 记表示“取出4个球中白球的个数”，则服从参数为的超几何分布，的分布列为：01234【追问】，故提高班学案1【铺1】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，能答对其中的题，规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，求他答对题数的期望【解析】 设答对的试题数为，则服从

8、参数为的超几何分布，因此由公式知他答对题数的期望为【例3】 求超几何分布的期望一个袋中装有大小相同的球，其中红球个、黑球个，现在从中随机摸出个球求摸到红球个数的概率分布列和数学期望；求摸到黑球个数的概率分布列和数学期望【解析】 摸到红球的个数为离散型随机变量，且服从，的超几何分布，可 能取值为于是有，所以摸到红球个数的分布列为 摸到黑球的个数为离散型随机变量，且服从，的超几何分布，可能取值为于是有，所以摸到黑球个数的分布列为【点评】 解题的关键是能够判断所给问题属于超几何分布模型尖子班学案1【拓2】 盒中有个球，其中个白球，个黑球，从中任取两个球，求取出白球个数的期望和方差【解析】 设取出白球

9、个数为，则服从参数为的超几何分布，的可能取值为因此，目标班学案1【拓3】 某人可从一个内有张元，张元的袋子里任取张，求他获得钱数的期望值 【解析】 方法一：设他取得100元的张数为，则服从参数为的超几何分布时他所获得的钱数分别为因此他获得钱数的期望值为：元方法二：设他取得元的张数为，则服从参数为的超几何分布由公式知因此他获得钱数的期望值为：元考点3：二项分布知识点睛1独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为2二项分布若将事件发生的次数

10、设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中于是得到的分布列称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作3二项分布的期望与方差：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，【教师备案】学生没学过二项式定理，所以期望和方差的推导了解即可【教师备案】设离散型随机变量服从参数为和的二项分布，由的分布列 ，1，2，和数学期望的定义式得到，所以，故【举例】老师可以以二点分布知识点睛中的【举例】继续引申，从而让学生更直观的理解二项分布. 现在假设这只鸟比较傻，每次都记不住上次的结果，那么这只鸟就可能需要不停的重复进行撞玻璃的操作，每次的成功率都是.这种独立重复试验就

11、可以用二项分布的模型来研究从直观意义上来讲，二项分布可以看做是多个二点分布重复出现的结果.从模型角度讲，二项分布实际是“有放回”抽取的模型.对于二项分布的期望和方差，我们一样可以有直观意义.二项分布的期望指的是平均成功次数，而方差是随着次数的增多而增加，相比于二点分布，在同样的试验次数下，二项分布也是在时方差最大，也就是结果最不稳定【教师备案】老师在讲完二项分布后，就可以让学生做例，例主要是让学生写二项分布的分布列，关键是让学生从题目上就可以看出是二项分布，然后根据二项分布的概率公式就可以很快写出二项分布列；然后老师就可以继续讲二项分布的期望与方差，讲完期望与方差公式后，就可以让学生做例，例主

12、要是套公式，学生会发现，对于二项分布求期望和方差用公式非常快，这时就不需要用上一讲讲的期望和方差最原始的公式了经典精讲提高班学案2【铺1】 某一学校心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列【解析】 3个人各做一次试验，看成三次独立重复实验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数，故符合二项分布由题意可知：，所以，1，2，3的分布列为0123【例4】 求二项分布的分布列一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是设为这名学生在途中遇到的红灯次数，

13、求的分布列【解析】 将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果相互独立，故所以的分布为0123456提高班学案3【铺1】 设且，试求的值【解析】 因为，所以，由题意可得方程组 ，解得【例5】 求二项分布的期望某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响 任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； 任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望【解析】 任选1名

14、下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：所以该人参加过培训的概率是 因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，；故的分布列为的期望是尖子班学案2【拓2】 某厂一批产品的合格率是，检验单位从中有放回地随机抽取件，计算： 抽出的件产品中平均有多少件正品； 计算抽出的件产品中正品数的方差和标准差【解析】 用表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽样，所以服从二项分布 利用二项分布的期望公式得到平均有件正品； 的方差，标准差目标班学案2【拓3】 一份数学模拟试卷由个选

15、择题构成，每个选择题有个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题选得正确答案得分，不做选择或选错不得分，满分分张强选对任一题的概率为，求他在这次数学测验中的成绩的期望【解析】 张强在数学测验中选择了正确答案的选择题的个数服从二项分布，其数学期望有简便算法设张强做对选择题的个数为，则，所以因为答对每题得分，所以张强在这次数学测验中的成绩为，其成绩的期望值为【点评】 本题中，利用二项分布的均值公式快速地求出所求的期望值，当的值越大时，这一公式更加显得威力无比，因此我们要熟练掌握这一公式，并能灵活地运用它，在运用时，需要注意的是，只有随机变量服从二项分布时，才能运用该公式来求均值考点4：综合运用【教

16、师备案】老师在讲完上一讲的离散型随机变量和本讲前边的典型分布以后，学生对离散型随机变量都有了很明确的认识，所以这时候就可以让学生做一下下边的综合题，让学生再巩固一下离散型随机变量的分布列、期望和方差经典精讲【例6】 综合运用甲、乙两人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为 记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望与方差； 求乙至多击中目标次的概率； 求甲恰好比乙多击中目标次的概率【解析】 ；的概率分布如下表：（或）； 乙至多击中目标次的概率为 设甲恰好比乙多击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙恰击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙恰击中目标次为事件，则，、为互斥事件所

17、以甲恰好比乙多击中目标次的概率为尖子班学案3【拓2】 在甲、乙等个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为，），求： 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； 甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望【解析】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数 设表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由古典概型的概率计算公式得 的所有可能值为，且，从而知有分布列所以，目标班学案3【拓3】 甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中环的概率为，乙射击一次命中环的概率为，若他

18、们独立的射击两次，设甲、乙命中环的次数分别为、，则为甲与乙命中环的差的绝对值求的期望【解析】 由已知可得，故，所以，的取值可以是甲、乙两人命中环的次数都是次的概率是，甲、乙两人命中环的次数都是次的概率是，甲、乙两人命中环的次数都是次的概率是；所以；甲命中环的次数是且乙命中环的次数是次的概率是：，甲命中环的次数是且乙命中环的次数是次的概率是：；所以，因此的期望是 【例7】 综合运用袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等 求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； 用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和期望【追问】用表示取出的

19、个小球上所标的最小数字，的分布列与期望是否可以直接看出来？【解析】 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则 由题意所有可能的取值为， ；所以随机变量的分布列为1234随机变量的期望为【追问】故的概率分布与上述的分布正好有关系，如直接由的分布列得到：1234且从而设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一胜队，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假定、在每场比赛中获胜的概率都是，需要比赛场数的期望是_【解析】【思路】随机变量表示比赛场数，根据题意：“有一队胜4场比赛才宣告结束”，故的取值应是4，5，6，7，把一次比赛看作一次试验，故场比赛视为次独立重复试验表示甲胜4场或乙胜4场，且两两互斥所以

20、表示甲队第5场胜且前4场中胜3场，或乙队第5场胜且前4场中胜3场所以类似地，比赛场数的分布列为：4567所以这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均进行6场比赛才能决出胜负【错因分析】本题若审题不严，对比赛规则搞不清楚，弄不清随机变量的取值，则会出错实战演练【演练1】从学校乘汽车到火车站的途中有个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，则随机变量的方差为（ ）ABCD【解析】 B；，【演练2】设有产品件，其中有次品件，正品件，现从中随机抽取件，求抽得次品件数的分布列【解析】 从件产品中随机抽取件，抽得次品件数是一个离散型的随机变量，它的取值可

21、能是0、1、2、3依题意，随机变量（次品件数）服从超几何分布，所以，从件产品中抽取件，其中有件次品的概率为，的分布列为0123【演练3】设在个同类型的零件中有两个是次品，每次任取个，共取次，并且每次取出不再放回，若以表示取出次品的个数，求的期望和方差【解析】 ，故的分布列是：，（满足参数为的超几何分布，故）.【演练4】有一批数量很大的商品次品率为，从中任意地连续取出件商品，设其中次品数为，求，【解析】 因为商品数量相当大，抽件商品可以看做次独立重复试验，所以，因为，这里，所以，【演练5】甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别是， 现人各投篮次，求人都没有投进的概率； 用表示乙投篮次的进球数，求随机变

22、量的概率分布及数学期望【解析】 设表示事件“人各投篮次，人都没有投进”，表示“甲投进”，表示事件“乙投进”，表示事件“丙投进”，则 的可能取值为则，；，分布列为的数学期望为（或）大千世界排球单循环赛，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍求证：冠军是一支南方球队（注：每场比赛获胜队得1分，负队得0分）【解析】 设北方球队共有支，则南方球队有支，所有球队总得分为由题意，南方球队总得分为，北方球队总得分为，南方球队内部比赛总得分，北方球队内部比赛总得分为，由于北方球队总得分不少于北方球队内部比赛总得分，故解得因为为整数，所以或当时，所有球队总得分为南方球队内部比赛总得分，北方球队总得分为南方球队内部比赛总得分，北方球队内部比赛总得分为北方胜南方得分，北方球队最高得分，因为，所以南方球队中至少有一支得分超过11分故冠军在南方球队中当时，所有球队总得分为，南方球队总得分为，北方球队总得分为南方球队内部比赛总得分，北方球队内部比赛总得分北方胜南方得分，北方球队最高得分，因为，所以南方球队中至少有一支得分超过9分，故冠军在南方球队中综上所述，冠军是一支南方球队15第5讲提高-尖子-目标教师版