著名机构高二数学理科寒假班讲义（第3讲）黑板上排列组合你舍得解开吗？.教师版

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1、第3讲 黑板上排列组合，你舍得解开吗？满分晋级概率与统计3级二项式定理概率与统计2级黑板上排列组合，你舍得解开吗？概率与统计1级概率默统计泪 新课标剖析当前形势计数原理在近五年北京卷（理）考查5分高考要求内容要求层次具体要求ABC加法原理与乘法原理理解加法原理与乘法原理，并会运用它们分析和解决一些简单的实际问题排列数公式、组合数公式掌握排列数、组合数公式用排列组合解决实际问题能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能利用排列组合知识解决简单的实际问题北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第5题5分第3题5分第12题5分第6题5分

2、第12题5分3.1课前回顾知识点睛1分类加法计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称加法原理 如图，从甲地到乙地有条公路，条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？2分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，做第个步骤有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称乘法原理如图，从甲地到乙地有条道路，从乙地到丙地有条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？ 【教师备案】因为我们在必修的时候讲过计数原理，所

3、以本讲我们在讲计数原理之前给学生复习一下加法和乘法原理，老师可以借助于上边的两个图让学生从直观理解加法和乘法原理，讲完两个原理之后就可以让学生做例1.经典精讲【例1】 两个原理一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同 从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ 把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？乘积展开后共有多少项？【解析】 任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法，用分类计 数原理，共有种各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步计数

4、原理，共有种.若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有10种可能性，即可能装入0，1，2，9封信等不同情况但再考虑第二个邮筒时，装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响，非常麻烦；若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能第九封信还有4种可能由分类计数原理可知，共有种不同的放法由分步计数原理得一共有项将三封不同的信投入五个信箱里，共有几种投信方法？【解析】 125种【思路】第一封信可投入5个信箱中任一个，故有5种投法；第二、三封信也可随机地投入5个信箱中的任一个，各有5种投法，依乘法原理，共有种投法【错因分析】误区：分步，第一个信箱可以不放信，放1封，放2封

5、，放3封，共有4种不同的放法，所以共有种投信方法错误原因是对完成一件事的过程认识模糊，且对象选定不准，若第一步三封信都在第一个信箱里，则事件已完成，不需后续几步；若五步都没有放信，则五步全做完，事件还未完成【备选】 5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？ 若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同情况（没有并列冠军）?【解析】 每名学生都可从3项体育项目中选1项，有3种选法，故5名学生的参赛方法有种；每个冠军皆有可能被5名学生中任1人获得，3个冠军依次被获得的不同情况有种3.2排列知识点睛1排列：一般地，从个不同

6、的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列（其中被取的对象叫做元素）【教师备案】在日常生活中我们经常遇到下面一些问题，这些问题有什么共同特征呢？ 问题：名同学排成一行照相，有多少种排法？ 方法（枚举法）把名同学用作为代号，于是有以下种排法： 方法（分步计数）三人排成一行，可以看作将字母 顺次排入图中的方格中.首先排第一个位置：从 中任选个人，有种方法；其次排第二个位置：从剩下的个人中任选人，有种方法；最后排第三个位置：只有种方法.根据乘法原理，名同学排成一行照相，共有种排法.问题：北京、广州、南京、天津个城市相互通航，应该有多少种机票？方法（枚举法）列出

7、每一个起点和终点情况，如图所示：所以一共有种机票.方法（分步计数）我们按照始点、终点站的顺序进行排列：第一步：先确定起始站，起始站有种选择方法；第二步：再确定终点站，对应于起始站的每一种选择，终点站都有种选择方法.根据乘法原理，共有种机票.问题：从面不同颜色的旗子中，选出面排成一行作为一种信号，能组成多少种信号：解决这个问题可以分三步进行：第一步：先选第面旗子，有种选择方法；第二步：在剩下的种颜色中，再选第面旗子，有种选法；第三步：在剩下的种颜色中，选最后一面旗子，有种选法.根据乘法原理，共有种选法，而每种选法对应一种信号，故共能组成种信号在上面讨论的问题中，问题1是从个不同元素中取出个元素的

8、排列，问题2是从个不同元素中取出个元素的排列问题，问题3是从个不同元素中取出个元素的排列问题.【挑战五分钟】写出：从个元素中任取个元素的所有排列；从个元素中任取个元素且包含的所有排列.【解析】 从排列的直观意义可以看出是从中的每个排列加一个就可以了，而又可以随便放，所以共有：，2排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示3排列数公式：，并且从形式上看排列数等于从开始的个数相乘，比如：是从开始的个数相乘.【教师备案】在讲排列时我们讲了几个排列问题，那么，对于一般的排列问题如何计算所有排列的个数呢？我们把从个不同的元素中任意取出个元素的排列

9、，看成从个不同的球中选出个球，放入排好的个盒子中，每个盒子里放一个球，我们用乘法原理排列这些球（如图）盒子放法数第步：从全体个球中选出一个放入第个盒子，有种选法；第步：从剩下的个球中选出一个放入第个盒子，有种选法；第步：从剩下的个球中选出一个放入第个盒子，有种选法；第步：从剩下的个球中选出一个放入第个盒子，有种选法.根据乘法原理，一共有种放法.4全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示规定： 【教师备案】我们可以对进行变形：【教师备案】老师在讲排列时，建议先讲排列问题，什么是排列，让学生从直观上理解排列，多举几个小例

10、子，具体例子见上边排列问题中的教师备案，然后让学生写排列，这时就可以让学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的排列之后，那排列数是多少呢？不可能每次做题时都把所有的排列写出来，然后数一下，这时，我们就需要排列数的公式了，所以老师就可以给学生讲解排列数公式，讲完排列数之后，要让学生熟练的运用排列数公式，这时，就可以做例2.学生理解排列并知道排列数如何计算后，就要从直观理解排列，具体见例3.最后讲数字问题，在讲数字问题时，先以【铺垫】为例，给学生讲一个最简单的排数字问题，然后再讲例4，含有的排数字问题.经典精讲【例2】 计算排列数计算，求证：解方程【解析】 ，. 解法一： ，解法二：可以从排列的直观

11、意义解释，表示从个元素中取个元素的排列个数，其中不含某元素的有个，故含的排列共有种；含有的可这样进行排列：先排，有种排法，再从另外个元素中取出个元素排在剩下的个位置，有种排法，故含的排法有种.所以 原方程可化为且，解得，经检验是原方程的根【备选】学生刚接触排列，所以对排列数的计算还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下面的题中挑选几个让学生练练.计算下列各题：_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_【解析】 ；.【铺垫】一家有四口人，每年照一张全家福，他们突然想到一件事情，想让每年这四个人的排列方式都不完全相同.比如今年是，明年就可以是.那么这家人的

12、“全家福”计划最多可以实行多少年呢？ 这家人掐指一算，发现很快就不能继续拍了，可能过了某年之后，无论怎么排列都会和往年重复，于是这家人决定要一个小孩，这样又可以多拍几年，那么假设有了一个孩子之后，“全家福”计划最多可以实行多少年呢？【解析】 若一家有口人，则能得到每张全家福每个人的位置都不相同的照片，因为个人全排有 种情况，也就是年内可以不重复，以后就会出现重复，所以“全家福”计划最多实行年.个人全排有种情况，所以“全家福”计划最多实行年.【例3】 从直观上理解排列从种不同的蔬菜品种中选出种，分别种植在不同土质的块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？在某乒乓球团体赛中，有一方派了名运动员参

13、赛，采取三局两胜制，前两局单打，最后一局双打，每个运动员只出场一次，则有几种出场顺序？【追问】在年的伦敦奥运会中，参加乒乓球团体赛的有个人，每名运动员出场两次，按照五局三胜制，一、二、四、五场单打，第三场双打，并且比赛顺序是：第一场：；第二场：；第三场：或；第四场：或；第五场：；且如果参加了双打比赛，就不能参加后面的单打比赛；不参加双打比赛的运动员需要参加后面的单打比赛.现我们派张继科、王皓、马龙出场，则有多少不同的方法排定他们的出场顺序？【解析】 将种不同的蔬菜品种看作个不同的元素，则本题即为从个不同元素中任取个元素的排列问题，所以不同的种植方法共有种因为前两局是单打，所以从参赛的名运动员中

14、取名运动员去打单打比赛，最后两个人打双打比赛就可以了，所以不同的出场顺序共有种【追问】由比赛规则和比赛顺序我们可以知道三个人分别打了一场单打比赛，所以有种出场顺序；又因为第三场的双打有种情况，它唯一决定了第四场的情况，所以，一共有种出场顺序.提高班学案1【拓1】有本不同的书，从中选本送给名同学，每人各本，共有多少种不同的送法？【解析】 从本不同的书中选出本分别送给名同学的一种选法，对应于从个元素中取出个元素的一个排列，因此，不同送法的种数是种尖子班学案1【拓2】在的韩国足球联赛中共有支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛次，共要进行多少场比赛？【解析】 由于任何两队间进行次主场比赛与

15、次客场比赛，所以一场比赛相当于从个不同元素中任取个元素的一个排列.因此总共进行的比赛场次是目标班学案1【拓3】从班委会名成员中选出名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种.（用数字作答）【解析】文娱委员有种选法，则安排学习委员、体育委员有种方法.由分步乘法计数原理，共有种选法.【铺垫】用这五个数字：可以组成多少个数字允许重复的五位数？可以组成多少个数字不允许重复的五位数？可以组成多少个数字不允许重复的三位数？【解析】 由于数字允许重复，故每个位置的数字都有种选法.因此所求五位数共有个；由于数字不允许重复，故每个位置的数字全排就可以了.因此

16、所求五位数共有个；由于数字不允许重复，故每个位置的数字从个数字中选出个全排就可以了.因此所求 三位数共有个.【例4】 数字问题用0，1，2，3，4，这六个数字：可以组成多少个数字允许重复的六位数？可以组成多少个数字不允许重复的六位数？可以组成多少个数字允许重复的五位数？可以组成多少个数字不允许重复的五位数？ 【解析】 先选首位数字，由于不能作首位数字，因此有种选法；由于数字允许重复，故其它位 置的数字都有种选法.因此所求六位数共有个.先选首位数字，由于不能作首位数字，因此有种选法；由于数字不允许重复，故其它位置的数字全排就可以了.因此所求六位数共有个.先选首位数字，由于不能作首位数字，因此有种

17、选法；由于数字允许重复，故其它位 置的数字都有种选法.因此所求五位数共有个.先选首位数字，由于不能作首位数字，因此有种选法；由于数字不允许重复，故其它位置的数字从剩余的个数字中选出个全排就可以了.因此所求五位数共有个.提高班学案2【拓1】用五个数字：可组成多少个无重复数字的五位数？可组成多少个无重复数字的五位奇数？【解析】 方法一：考虑特殊位置“万位”，从中任选一个填入万位，共有种填法，其余四个位置，个数字全排列为，故共有个.方法二：考虑特殊元素“”，先排，从个、十、百、千位中任选一个位置将填入，有种填法，然后将其余个数字在剩余个位置上全排列为种，故共有个； 考虑特殊位置个位和万位，先填个位，

18、从中选一个填入个位有种填法，然后从剩余个非数中选一个填入万位，有种填法，包含在内还有个数在中间三个位置上全排列，排列数为，故共有个.尖子班学案2【拓2】 用0，1，2，3，4，这六个数字，可以组成多少个数字不允许重复的五位数的偶数？可以组成多少个数字不允许重复且能被整除的五位数？【解析】 分两类：个位是时，有个；个位是或时，由于万位不能为，所以万位有种选法；千位有种选法；百位有种选法；十位有种选法，故共有个，所以可组成的五位偶数有个分两类：个位是时，有个；个位是时，由于万位不能为，所以万位有种选法；千位有种选法；百位有种选法；十位有种选法，故共有个，所以组成能被整除的五位数有个目标班学案2【拓

19、3】 用0，1，2，3，4，这六个数字，组成没有重复数字的五位数中十位数字大于百位数字的有多少个？组成没有重复数字的五位数，由小到大排列，是第多少个数？【解析】 由题意可知，组成没有重复数字的五位数共有个，又排成的五位数中十位大于百位的和十位小于百位的数字一样多共有个 万位是的五位数有个；万位是且千位为的五位数有个；万位是且千位为百位为的五位数有个；万位是且千位为百位为十位为或的五位数有个.因此，在的前面共有个数，所以是第个数3.3组合知识点睛1组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取 个元素的一个组合【教师备案】年月，华研国际搭上电视大国民举办储备新人的“宇宙

20、实力美少女争霸战”，上千名爱唱歌的小女生站上舞台，接着淘汰，最后脱颖而出了三位音域不一、个性迥异的新秀任家萱、田馥甄和陈嘉桦.后来将这三个人组成了一个组合叫，在每场演唱会上，她们都会边唱边跳，但是无论她们在台上怎么站，这个组合都叫做，不会叫或者.所以组合与顺序没有关系.【挑战五分钟】写出：从个元素中任取个元素的所有组合；从个元素中任取个元素且包含的所有组合.【解析】 先画一个示意图由此即可写出所有的组合：从组合的直观意义可以看出是从中的每个组合加一个就可以了，所以共有： 2组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示3组合数公式

21、：，并且【教师备案】组合与排列都是从个不同元素中取出个元素的计数问题，它们的差别是：排列考虑元素顺序，组合不考虑元素顺序.前面我们已经学习了如何计算排列数，下面，我们看一看能否通过排列数计算组合数.先看一个简单情况：从个元素中任取个元素的组合有种情况，再对每一种组合的个元素进行排列，这样，就可以得到从个元素中取个元素的所有排列（如图）.组合排列从上面的分析可以看出，“从个不同的元素中选出个元素进行排列”这件事，可以分两步进行：第一步：从个不同元素中取出个元素，一共有种取法；第二步：把取出的个元素进行排列，一共有种排法.根据乘法原理，我们得到“从个不同的元素中选出个元素进行排列”一共有种排法，即

22、.由此我们可以得出：.一般地，考虑与的关系：把“从个不同的元素中选出个元素进行排列”这件事，分两步进行：第一步：从个不同元素中取出个元素，一共有种取法；第二步：把取出的个元素进行排列，一共有种排法.根据乘法原理，我们得到“从个不同的元素中选出个元素进行排列”一共有种排法，即，由此我们可以得出：，因为，所以上面的组合数公式还可以写成：4组合数的两个性质：性质1：；性质2：（规定）【教师备案】在讲组合数的两个性质的时候我们可以利用组合数公式，来验证这两个性质；我们也可以从下面的个小题进行讲解：性质：计算“从10个人中选出人参加比赛”与“从10个人中选出人不参加比赛”的方法数.【解析】每次选出人相当

23、于剩下人，所以，选出人参加比赛和选出人不参加比赛的方法数是一样的.即性质：从名战士和名班长这人中选出人参加比武，一共有多少种方案？【解析】一方面，从人中选出人参加比武，一共有种方案.另一方面，选出的人可以分为两类：第一类：含有班长，一共有种方案；第二类：不含班长，一共有种方案.依据加法原理，一共有种方案.由此，我们得到.【教师备案】老师在讲组合时，建议先讲组合问题，什么是组合，让学生从直观上理解组合，多举几个小例子，具体例子见上边组合问题中的教师备案，然后让学生写组合，这时就可以让学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的组合之后，那组合数又是多少呢？同样也不可能每次做题时都把所有的组合写出来，然

24、后数一下，这时，我们就需要组合数的公式了，所以老师就可以给学生讲解组合数公式，讲完组合数之后，要让学生熟练的运用组合数公式，这时，就可以做例5.学生理解组合并知道组合数如何计算后，就要从直观理解组合，具体见例6. 经典精讲【例5】 计算组合数计算：；解方程：.【解析】 ，原方程可化为整理得解得或（不合题意舍去）经检验是原方程的根（应强调解组合数方程要验根）【备选】学生刚接触组合，所以对组合数的计算也还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下面的题中挑选几个让学生练练.计算下列各题：_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_，_【解析】 ；【铺垫】李代沫在中国好

25、声音的文化测试中，需从个试题中任意选答题，问：有几种不同的选题方法？若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？【解析】 所求不同的选题方法数，就是从个不同元素里取出个元素的组合数，即种因为已有一道题必选，所以只要在另外道题中选道，不同的选题方法有种【例6】 从直观上理解组合现有名学而思高中数学教师，其中男教师名，女教师名现要从中选名去参加非诚勿扰，有多少种不同的选法？现要从中选出男、女教师各名去参加，有多少种不同的选法？【追问】假定这一期只有学而思派出去的两位男老师，台上24个女士（其中包括学而思派出去的两个女老师），那么学而思的两位男老师去相亲，最终都成功且相亲对象不是学而思女老师的情况有多

26、少种甲、乙、丙位同学选修课程，从门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有种.（用数字作答）【解析】 从名教师中选名去参加非诚勿扰的选法数，就是从个不同元素中取出个元素的 组合数，即种从名男教师中选名的选法有种，从名女教师中选名的选法有，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法种【追问】甲选门有种选法，乙、丙各有种选法，由分步乘法计数原理可知，共有种选法.3.4排列组合的一些典型题型知识点睛解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“

27、捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空【教师备案】排列组合的一些典型题型在本讲只讲捆绑法和插空法，其它的方法我们放到同步再去讲解，所以老师可以先以【铺垫】为例，讲解捆绑和插空，然后让学生做例7，例7是直接就可以看出捆绑和插空的，例7从表面上看不出来是捆绑还是插空，但是仔细分析一下题就知道是插空.经典精讲【铺垫】名女生、名男生排成一排，问：名女生相邻的不同排法共有多少种？名女生不相邻的不同排法共有多少种？【解析】 因为名女生必须相邻，所以可以将名女生看成个元素，与名男生共个元素排成一 排，不同的排法有

28、种.又因为名相邻的女生有种排法，因此不同的排法种数是名女生不相邻的排列可分步完成：第一步：将名男生排成一排，有种排法；第二步：排名女生，由于名女生不相邻，于是可以在每名男生之间及两端共个位置中选出个排名女生，有种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是【例7】 捆绑、插空求不同的排法种数： 6男2女排成一排，2女相邻；6男2女排成一排，2女不能相邻；4男4女排成一排，同性別者相邻；4男4女排成一排，同性別者不能相邻一排有九个座位，将六个人依次坐好，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？【解析】 是“相邻”问题，用捆绑法解决：是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解6男先排，再在7个空位

29、中排2女，即用插空法解决：.是“相邻”问题，应先捆绑后排位：.是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解： .【点评】对于很多学生会写成，但是这种写法是错误的，因为当排完男生（或女生）之后，从个空选个空的时候有可能两个端点都选，这样中间就会有男生（或女生）相邻了九个座位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有种不同的坐法，再将三个空座位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有中不同的“插入”方法.根据乘法原理共有种不同的坐法.提高班学案3【拓1】分别求出符合下列要求的不同排法的种数6人排成一排，甲、乙必

30、须相邻；6人排成一排，甲、乙不相邻.【解析】 将甲乙“捆绑”成“一个元素”与其他4人一起作全排列共有种排法甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有尖子班学案3【拓2】男女排成一排，在下列条件下分别有多少种不同的排法甲、乙、丙三人一定相邻甲、乙、丙三人不能相邻【解析】 把甲、乙、丙看成一个整体，有种排法；把其余的四个人和甲、乙、丙看成的整体全排，有种排法，共有种排法把除去甲、乙、丙的四个人全排，有种排法；因为甲、乙、丙不相邻，所以采用插空法，有种排法，共有种排法目标班学案3【拓3】男女排成一排，在下列条件下分别有多少种不同的排法甲必

31、须站在中间，且乙与丙必须相邻甲必须站在中间，且乙与丙不能相邻【解析】 乙与丙相邻，有种排法；乙丙同时在甲的左端时，有种排法；乙丙同时在甲的右端时，有种排法；最后将剩余的四个人全排，有种排法，共有种排法当乙与丙同时在甲的左端时，有种排法；当乙与丙同时在甲的右端时，有种排法；当乙与丙在甲的两端时，有种排法，共有种排法实战演练【演练1】某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同选法？【解析】 分三类，每类又分两步第一类从高一、高二两个年级各选1个班，有种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有种不同方

32、法；第三类从高二、高三两个年级各选1个班，有种不同方法故共有种不同选法【演练2】 用排列数表示：（且）已知，求【解析】 ，中的最大数为，且共有个， 原方程可化为， 即， ，即，或21 而， 【演练3】由0，1，2，3，4，5，6这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位数？【解析】 先选首位数字，由于不能作首位数字，因此有种选法；由于数字不允许重复，故其它位置的数字从剩余的个数字中选出个全排就可以了.因此所求四位数共有个.【演练4】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有_种 【解析】 6个歌唱节目排列有种，歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有种方法因此，由排法种数有种【演练5】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？男、女生分别排在一起；男女相间；【解析】 种先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，有种方法，故共有种排法大千世界 设凸边形的任意三条对角线不交于形内的同一点，求它的对角线在图形内的交点个数.【解析】 在凸边形中，任意取个顶点都可以围成一个四边形，且此四边形的对角线在四边形内必相交于一点，并且，形内任意一个交点都对应四个不同的顶点.所以，形内的交点个数是个15第3讲提高-尖子-目标教师版