著名机构高二数学理春季班讲义第1讲.计数原理与二项式定理.尖子.删解析

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1、计数原理与二项式定理第1讲 知识结构图真题再现1（2011年北京理）用数字组成四位数，且数字至少都出现一次，这样的四位数共有_个（用数字作答）【答案】142（2012年北京理）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A24B18C12D6【答案】183（2013年北京理）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 【答案】96【教师备案】北京理科基本固定每年必考一个排列组合题，而且从前三年考题可以看出出题风格为“奇填偶选”，而与排列组合轮换的考点二项式定理近年一

2、直“潜藏待出”小题热身1有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（ ）A24种B48种C96种D120种【解析】B；2由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（ ）A72B60C48D12【解析】B；3在的展开式中，的系数为_【解析】80；12.1计数原理分类总结知识梳理1分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法2分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同

3、的方法，做第2步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法3分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件4两类基本公式排列数公式规定：组合数公式特别地：经典精讲考点1：排列数与组合数的运算与证明【教师备案】排列组合主要结论： 证明过程：【练习1】若，则_【解析】【练习2】计算：【解析】【例1】计算下列各式：；计算的值证明：【解析】；左边考点2：排列组合常见方法策略【铺垫】现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座

4、，不同选法的种数是（ ）ABCD（2011朝阳二模理5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ）A个B个C个D个【解析】 A； C【例2】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A300种B240种C144种D96种甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A

5、150种B180种C300种D345种如果一个数含有正偶数个数字8，则称它为“优选”数（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数（如2348756，958288等），则四位数中所有“优选”数的个数为（ ） A459B460C486D487【解析】 B D B【教师备案】解决排列组合问题的一般过程如下1认真审题弄清要做什么事2怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类3确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少个元素4解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略【

6、铺垫】特殊元素和特殊位置优先策略由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数相邻不相邻问题7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有 种不同的排法一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，任何两个舞蹈节目都不能连续出场，则节目的出场顺序有 种隔板法有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有 种分配方案【解析】；【教法指导】位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件；【教法指导】要求

7、某几个元素必须相邻的问题，可以用捆绑法来解决问题即将需要相邻的元素捆绑为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意捆绑元素内部也必须排列元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排列再把不相邻元素插入中间和两端的空中下面的方法用来处理元素相同问题，采用隔板策略：【例3】特殊元素和特殊位置优先策略某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A36种B42种C48种D54种用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A324B328C360D648相邻不相邻问题8

8、名学生和2位老师师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）ABCD4名学生和3名教师排成一排照相）中间3个位置排教师，有多少种排法？）一边是教师，一边是学生的排法有多少？）首尾不排教师，有多少种排法？）任意两名教师不能相邻的排法有多少种？隔板法将12个完全相同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子非空，共有 种放法要将5个小球放入3个盒子中，）若小球完全相同，盒子不同，每个盒子中都必须放入小球，有多少种不同的放入方法？）若球完全相同，盒子不同，任意放入，有多少种不同的放入方法？（需要先转化，再用隔板法）【解析】 B；B；A；）；）【拓展】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求

9、甲、乙两名同学至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同发言顺序的种数为（ ）A360B520C600D720由1，2，3，4，5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是（ ）A120B84C60D48【解析】CB【铺垫】正难则反的思想从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中取出三个不同的数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 种【解析】；【例4】正难则反的思想在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到件次品的不同取法的种数是（）ABCD（2011西城一模理13）某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且

10、件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有 种在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）A10B11C12D15六人站成一排，其中甲、乙两人中间至少有一人的排法总数是 【解析】D；【教法指导】正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则60，4

11、8B；【铺垫】均匀分组6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？去序某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目中，那么不同插法的种数为（ ）A42B30C20D12【解析】；【教法指导】平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计 A；【教师备案】某些元素顺序不变的排列用除法解决，即若共有个元素，其中个元素顺序不变，则其不同的排列数为，这就是排列组合里有名的去序运算，其实排列组合中的除法主要源于三种情况：均匀分组和去序、概率事件【例5】均匀分组（2010江西理14）将6位志愿者分成4组

12、，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒子的放法有多少种？去序5名运动员参加100米跑，如每人到达终点的顺序各不同，则甲比乙先到达终点的可有_种五人站在一排，若必须站在的左边（可以不相邻），那么不同的排法有_种【解析】；60，即；60，即考点3：几何图形中的排列组合问题【例6】如图，用六种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有_种正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共

13、有_个以一个正方体顶点为顶点的四面体共有（ ）A70个 B64个 C58个 D52个四面体的顶点和各棱中点共10个点，取4个不共面的点，不同取法有_种【解析】；【分析】如果按从左至右的顺序去涂色，当涂到第4个格子时会发现，第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同决定着第4个格子有几种涂色方法，即如果第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的，则第四个格子的涂色情况不定于是，我们要按照1、3两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题；【拓展】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、

14、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种123456789A72B108C144D192【解析】B【拓展】如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A96 B84 C60 D48【解析】B12.2二项式定理知识梳理1二项式定理：2通项公式：，3，称为二项式系数4二项式系数的性质：；【高考要求】 熟练运用求二项展开式中适合某种特殊条件的项经典精讲考点4：通项公式及应用【例7】 在二项式的展开式中，含的项的系数是_ 若的展开式中，的系数是系数的7倍，则_； 在的展开式中，二项式系数最大的项的值等于11

15、20，则的值为_ 的展开式中的系数为有理数的项的个数为_ 的展开式中，系数最小的项为第_项【解析】；或；【评述】通项公式是二项式定理中常用的一个公式，要熟练掌握，同时注意系数、上标、下标之间的关系；注意系数、二项式系数的区别，如注意运用通项公式时和项数的关系如考点5：二项式定理综合应用【例8】（2012海淀二模理10）已知，若数列，（）是一个单调递增数列，则的最大值是 （2010朝阳二模理12）如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则= ，展开式中的常数项的值等于 .若的展开式中的常数项为，则实数 展开式的系数和为 若，则的值为（ ） A0B2CD【解析】 6 8，70 ，0 C【拓展】除以

16、100的余数为_【解析】；课后习题【演练1】（2010西城一模理6）某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ） A12B16C24D32【解析】C【演练2】（2010丰台一模理5）从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ） A36B48C52D54【解析】B【演练3】 （2012丰台二模理13）从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种 7名志愿者中安排6人在周六、日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）【解析】 96 140【演练4】（2010石景山一模理9）二项式的展开式中的常数项为 ，展开式中各项系数和为 （用数字作答）【解析】24；8111