北师大版初一（下）数学第15讲：一元一次方程的应用（教师版）（著名机构讲义）

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1、一元一次方程的应用_1、 通过观察、归纳得出等数学模型的思想。2、 通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实中的相等关系,体会代数方法的优越性。3、能够“找出实际问题中的已知数和求知数，分析它们之间的关系，高级求知数，列出方程表示问题中的相等立关系”，体会建立一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。4、通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。1. 利息问题：本金利率年数=利息，本金+利息=本息和，利息税=_税率2. 行程问题：速度_=路

2、程 （1）相遇问题 （2）追击问题 （3）距中点问题 （4）环形跑道问题 3. 行船问题： 船速：船在静水中的速度 水速：河流中水流动的速度 顺水船速：船在顺水航行时的速度 顺水速度=船速+_ 逆水速度：船在逆水航行时的速度 逆水速度=船速-水速4.工程问题：工作总量=_工作时间5.年龄问题6.比赛积分问题7.和差倍分问题（生产、做工等各类问题）8.数字问题9.列方程解应用题的一般步骤是：（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的_；（2）“设”：用字母（例如x）表示问题的_；（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据_列出方程；（4）“解”：解方程；（5）“验”：检查求得

3、的值是否正确和符合实际情形，并写出答（6）“答”：答出题目中所问的问题。参考答案1. 利息2. 时间3. 水速 水速4. 工作效率9.数量关系 量 等量关系1.利息问题：本金利率年数=利息，本金+利息=本息和，利息税=利息税率 【例1】王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行,年利率为5%.到期后得到本息共23000元,问当年王大伯存入银行多少钱? 【解析】设当年王大伯存入银行X元,年利率为5%,存期3年,所以3年的利息为35%x元.3年到期后的本息共为23 000元。根据题意得x+35%x=23 000解方程得x=20 000答:当年王大伯存入银行20 000元。 练1.某同学把25

4、0元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 【解析】设年利率为X，则半年利率为x/2根据题意有：250（1+X/2）=252.7解之得X=0.0216即2.16%，半年期的年利率是2.16%。 练2.小刚把压岁钱按定期一年存入银行，若一年定期存款的年利率为4.14，利息税的税率为5 ，到期支取时，扣除利息税后，小刚本利和为519.665元，问小刚存入银行的压岁钱有多少元？【解析】储蓄问题 答案：设小刚存入银行的压岁钱为X元。 由题意列方程得： X4.14%95%+X=519.665 1.03933X=519.665 X=500

5、 答：小明存入银行的压岁钱有500元2.利润赢亏问题 商品利润=商品售价商品进价=商品标价折扣率商品进价商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价折扣率【例2】一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？【解析】盈亏问题 答案：设进价为X元 依题意得： X(1+40%)80%-X=15 解方程得X=75练3.某商店促销某种品牌彩电，2008年元旦那天购买该彩电可分两期付款，在购买时先付一笔款，余下的部分及它的利息（年利率为6%）在2009年元旦付清，该彩电售价是每台6592元，若两次付款相同，那每次应付款多少元？【解析】销

6、售问题答案：设每次x元 第一笔就是x元， 第二笔就是x(1+6%) 依题意列方程： x+1.068x=6592 x3187.63.工程问题【例3】一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，甲单独做5天,然后甲、乙合作完成，共得到1000元，如果按照每人完成工作量计算报酬，那么甲、乙两人该如何分配？【解析】此题注意的问题是报酬分配的根据是他们各自的工作量。所以甲、乙两人各得到800元、200元.解:设甲乙合作了x天.甲的工作效率:1/10 乙的工作效率:1/15列方程:1/10*5+x(1/10+1/15)=1解得:x=3甲:1000*1/10*(5+3)=800元 乙:1000*(

7、1/15*3)=200元练4.某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母,为了使每天生产的产品刚好配套,应该分配多少名工人生产螺钉,多少工人生产螺母？【解析】本题的配套关系是：一个螺钉配两个螺母，即螺钉数：螺母数=1：2。解：设应安排x名工人生产螺钉，(22x)名工人生产螺母. 依题意得： 2 000(22x)21 200x . 解方程，得：5(22x)6x， 1105x6x， x10. 22x12答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母【例4】整理一批图书，由一个人做要40 h 完成.现计划由一部分人先做4 h，然后增加 2人

8、与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？【解析】把总重量设为1，则人均效率(一个人做1 h完成的工作量)为由x人先做4 h,完成的工作量为再增加2人和前一部分人一起做8 h,完成的工作量为这项工作分两段完成任务,两段完成任务的工作量之和为解：设安排 x 人先做4 h.依题意得：解方程，得：4x8(x2)40， 4x8x1640， 12x24， x2.答：应先安排 2人做4 h.练5.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件. 现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好

9、配成这种仪器多少套？【解析】配套问题解：设应用Xm钢材做A部件，则用(6-x）m钢材做B部件。3x40x=240（6-x）120x=1440-240X120x240x=1440360x=1440x=4 A部件用4m6-4=2m B部件用2m440=160个2240=480个480160=3 答：恰好配成这种仪器160套。【例5】一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？【解析】简单的工程问题，功效之和乘以工作时间等于工总。解：设工作时间为x天 则X/12+X/24=1 解方程 X=8 答：如果由这两个工

10、程队从两端同时施工，要8天可以铺好这条管线。练6.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？【解析】单位“1”减去甲乙合作的就是剩下的由单独做的。解：设乙还要X天才完成全部工程，则： +=1 =1- =1-0.2-0.25=0.55 =0.5512 =6.6 7 答：乙还要7天才能完成全部工程。【例6】一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，3.14）【解析】此类问题的

11、关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得 （）2x=30030080 x229.3答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米练7.长方体甲的长、宽、高分别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130130mm2，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？【解析】“等积”解：设乙的高为答：乙的高为300mm。4.行程问题 练8.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，

12、每小时行140公里。 （1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？【解析】此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（1）分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解：设快车开出x小时后两车相遇

13、，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390 答：快车开出小时两车相遇（2）分析：相背而行，画图表示为：等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 x= 答：小时后两车相距600公里。 （3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480公里=600公里。 解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答：2.4小时后两车相距600公里。 （4）分析：追及问题，画图表示为：等量关系为：

14、快车的路程=慢车走的路程+480公里。 解：设x小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 x=9.6答：9.6小时后快车追上慢车。（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 x=11.4 答：快车开出11.4小时后追上慢车。练9.（2015永城第一中学月考）甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，

15、直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？【解析】追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程=它的速度时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间。解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程 5X=3X+5 解得X=2.5，狗的总路程：152.5=37.5答：狗的总路程是37.5千米。练10.某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。 【解析】属于行船问题，这类问题中要

16、弄清：（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；（2）逆水速度=船在静水中的速度水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。 解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米， 由题意得，答：A、B两地之间的路程为32.5千米。 练11.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长【解析】火车过桥问题解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为分过完第二铁桥所需的时间为分依题意，可列出方程+= 解方程x+

17、50=2x-50 得x=100 2x-50=2100-50=150 答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米练12.（2014北京文汇第一学期月考）已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？【解析】设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为（x+1）千米/小时,依题意得，乙的速度为：答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为6千米/小时。1、甲、乙两人相距60米，相向而行，甲从A地每秒走3米，乙从B地每秒走2米，如果甲先走10米，那么几秒后两人相遇？ 2、甲、乙两人相距60米，相向而行，甲从A地每秒走

18、3米，乙从B地每秒走2米，那么几秒后两人相距20米？ 3、 甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，小时后相遇。已知甲骑车每小时比乙每小时多走2千米，求甲，乙两人的速度。4、（2015北京14中月考）甲、乙两人同时同地同向而行，甲的速度是4千米/小时，乙的速度比甲慢，半小时后，甲调头往回走，再走10分钟与乙相遇，求乙的速度。5、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。6、甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米然后奋力去追，求几秒后甲追上乙？ 7、

19、（2014盐城一中期末）甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，从同一起点同时出发，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒。（1）如果背向而行，两人多久第一次相遇？（2）如果同向而行，两人多久第一次相遇？8、甲、乙两人分别从相距140千米的A，B两地同时出发，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时（1）若相向而行，经过多少小时两人相距20千米？（2）如果同向而行，经过多少小时两人相距20千米？9、 （2015北京161中学月考）休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，如果我和妈妈每小时行2千米，从家

20、里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？_10.某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？11. 某件文件需要打印，小李独立完成需要6个小时，小王独立完成需要8个小时，如果两人合作的话，需要多少时间可以完成。 12. （2014北京铁二中学月考）一项工作甲工程队单独施工需要30天才能完成，乙队单独需要20天才能完成。现在由甲队单独工作5天之后，剩下的工作再由两队合作完成，问他们需要合作多少天？13、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩

21、下的部分由甲独做，先后共花12天完成，问乙做了几天？14、理一批图书，由一个人做要40小时完成。现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作。15.某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？16.整理一批数据，由一个人做需80小时完成任务。现在计划由一些人先做2小时，再增加5人做8小时，完成任务这项工作的3/4。怎样安排参与整理数据的具体人数？17.某中学的学生自己动手整修操场，如果让初一学生单独工

22、作，需要7.5小时完成；如果让初二学生单独工作，需要5小时完成。如果让初一、初二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需几小时完成？18.甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙队汽车数比甲队汽车数的2倍还多1辆，应从甲队调多少辆到乙车队？19.甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人？20. 甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。21.学校分配学生住宿

23、，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。22.学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，问共有多少学生，多少汽车？23. 小明看书若干日，若每日读书32页，尚余31页；若每日读36页，则最后一日需要读39页，才能读完，求书的页数。24.一份试卷共有25道题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确答案，每道题选对得4分，不选或错选倒扣1分，如果一个学生得90分，那么他做对了多少道题。25. 在全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一

24、场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？ 26.有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。参考答案当堂检测1.10秒2.8秒3. 甲：17.25km/h;乙：15.25km/h4. 2km/h5. 甲：4.5km/h;乙：5.5km/h6. 10秒7. 50秒，200秒8. 2小时，6小时9.1小时45分钟=1.75小时小明家到外婆家的距离:1.75*2=3.5千米小明到外婆家还需要的时间:1.75-1=0.75小时0.75小时爸爸能走的路程:0.75*6=4.5千米4.53.5所以能追上家庭作业10.4天11.24/7小时12.10天13.8天14.2人15.4个 7.5天16.设先有X人做两个小时。后来有X+5人做。则由题意，一个人每小时完成1/80 列式为： 2X/80+8（X+5）/80=3/4 （10X+40）/80=60/80 X=2 开始为2人 后来为7人17.13/3小时或4小时20分18.20辆19.甲：36人；乙：18人20.甲380人；乙：180人21.252人；30个房间22.18辆；838人23.255页24.23道25.6胜5平26.346