北师大版初一（下）数学第13讲：角（教师版）（著名机构讲义）

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1、角_1、结合生活情景认识角，知道角的各部分名称，会用不同的方法和材料做出角。2、在操作活动中体验感知角有大小，会用多种方法来比较角的大小，在探索角的大小比较的过程中，发展数学思考能力。3、在创造性使用工具和材料来制作角和比较角的大小的过程中，体验解决问题策略的多样性，培养学生的动手实践能力和创新意识。1. 角的定义与表示方法（1）角的定义：角的定义有两种，一种是静态的组成定义，一种是动态的形成定义。 角的组成定义：有_的两条射线组成的图形叫做角，这个_是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 角的形成定义：由一条射线绕着它的_旋转而形成的图形叫做角。（2）角的表示方法：用三个大写的英文字母表示，其

2、中表示顶点的字母应该写在_，如图1所示，表示为AOB；用一个大写的英文字母表示，这个字母表示角的_，如图1，还可以表示为O（这种方式适用于顶点处只有一个角的情况）。用一个小写的希腊字母表示，如图2所示，表示；用数字表示标注，如图3所示，表示为1.（3） 易混淆点角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。另外，若没有特别说明，一般指的角都是小于平角的角。2. 角的度量及换算（1） 常用的角的度量单位为_、_、_，这种角的度量制叫做角度制。1=_,1=_。除角度之外，角的度量还有弧度制、密度制等。（2） 常见的角的分类：锐角：大于0，小于90的角；钝角：大于9

3、0，小于180的角；1直角=_，1平角=，1周角=。（3） 角的度量工具有：量角器、经纬仪、测角器等。（4） 借助三角尺可以画出30，45，60，90等特殊角，借助量角器可以画出任何给定的角。3.角的比较与运算（1）角的比较与运算_，把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，再比较另一条边的位置，如图所示。_，即用量角器量出角的度数，再按照度数比较角的大小。（2) 易混淆点在用叠合法比较大小时，易忽略两个角的（一边重合，另一边在重合的这条边的同侧）。4. 角平分线（1）定义：从一个角的_出发，把这个角分成两个_的角的，叫做这个角的平分线。（2）角的n等分线：类似角的平分线，从角的顶

4、点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫做角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等。5.角平分线的几何表示。6.易混淆点不能在角平分线的多种几何表达形式之间灵活转换。7. 余角和补角 （1）定义：如果两个角的和等于90，就说这两个角互为_角，简称_，其中一个角是另一个角的余角。如果两个角的和等于_，就说这两个角互为补角，简称_，其中一个角是另一个角的补角。（2）互余、互补至于两个角的数量关系有关，与位置无关。8.余角、补角的性质（1）余角的性质：同角的余角相等。（2）补角的性质：同角的补角相等。9.方位角（1）定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动的方向的

5、夹角为方位角。（2）注意事项：方位角在叙述是，一般先说_，后说_，如南偏东30。但与南北方向夹角为45时，常简称东北、东南、西北、西南，如南偏东_，即为东南方向。参考答案1.公共端点 公共端点 端点 中间 顶点2.度 分 秒 60 60” 90 180 3603.叠合法 度量法4.顶点 相等 射线7.余 两个角互余 180 两个角互补9.南北 东西 451. 角的定义及表示方法【例1】下列对角的表示方法理解错误的是()A.角可用三个大写字母表示,顶点字母写在中间,每边上的点写在两旁B.任何角都可以用一个字母表示C.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示D.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊

6、字母来表示【解析】A,C,D都符合角的表示方法的要求,B,当角的顶点处只有一个角时,才能用一个字母表示,B说法错误.答案：B.总结：角的表示方法：1. 角可用三个大写字母表示2. 记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示3. 记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示练1. 下列关于角的说法正确的个数是( ) 角是由两条射线组成的图形;角的边越长,角越大; 在角一边延长线上取一点D;角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故本选项

7、错误；角的边是射线，不能延长，故本选项错误；角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确所以只有一个选项正确答案： A练2. 下列说法中，不正确的是（ ） A.AOB的顶点是O点 B.AOB的边是两条射线 C.射线BO,射线AO分别是AOB的边 D.AOB与BOA表示的是同一个角【解析】A三个大写字母表示角，则中间一个字母表示角的顶点；B角的两边是两条射线；C射线BO端点为B向BO方向延伸，而射线AO延AO方向延伸，而角是由两条射线共端点组成的，所以错误；D角的两边是射线。O1ABC答案:C练3如图，下列表示角的方法错误的是 （ ）A.1与AOB表示同一个角 B.AOC可用O来表

8、示C.图中共有三个角AOB、AOC、BOC D.表示的是BOC【解析】A同一个角的两种表示方法B一个端点有多个点公用时，不可以用一个点来表示角。C、D正确。答案：B2. 角的度量与比较大小【例2】钟表在3点40分时,它的时针和分针所成的钝角的度数是.用10倍的放大镜观察,这个角应是.【解析】每小时分针转360，时针转动30；每分钟分针旋转6，时针旋转0.5答案：130130总结：角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。练4.(2014濮阳一中)已知AOB=120，OC在它的内部，且把AOB分成1：3的两个角，那么AOC的度数为( )A 40 B40或80

9、 C30 D30或90【解析】120除以（1+3）=30。由于OC可能靠近OA，或OB所以出现了两种可能，两种结果，AOC=30或AOC=90答案：D练5.如图,平角AOB被分成的三个角AOC,COD,DOB的比为234,则其中最大的角是度.【解析】设AOC=2x,则COD=3x,DOB=4x,根据题意得:2x+3x+4x=180,解得:x=20,则最大的角是420=80.答案：80练6.比较大小:3815_38.15度(填“”“=”或“38.15度.答案：练7 . 512830=_度【解析】51度2830= 51度28.5=51度+(28.5/600度=51度+0.475度=51.475度答

10、案：51.4753.角平分线【例3】（2015北京文汇期末）如图，OB是AOC的角平分线，OD是COE的角平分线.如果AOB=40，COE=60，则BOD的度数为（ ）50 B60 C65 D70【解析】 OB是AOC的角平分线，OD是COE的角平分线，AOB=40，COE=60，BOC=AOB=40，COD=COE=60=30， BOD=BOC+COD=40+30=70答案：D练8. 已知直线AB，CD相交于点O，OA平分，=70，则的度数是多少？【解析】=70EOD=100OA平分角EOC COA=EOA=35又BOD=180-EOA-EOD=180-35-100BOD=55答案：55练9

11、. 已知AOE=100，DOF=80。OE平分DOC，OF平分AOC。求EOF的度数。【解析】已知AOEAOC+COE100，DOFDOC+COF80，DOC2COE，AOC2COF，EOFCOE+COF。则有AOE+DOFAOC+COE+DOC+COF3COF+3COE3EOF180，则EOF60答案：60练10. 如图，AOB=90，AOC是锐角，OF平分AOC，OE平分BOC，求EOF的度数。【解析】OF平分AOC,FOC=1/2*AOCOE平分BOC,EOC=1/2*BOCEOF=FOC+EOC =1/2*AOC+1/2*BOC =1/2(AOC+BOC) =1/2*AOB =1/2*

12、90 =45答案：454.余角与补角方位角【例4】如果一个角的补角是120,则这个角的余角是()A.150B.90C.60D.30【解析】这个角的补角是120，那么这个角为60，所以余角为30。答案：30总结：互为补角的两个角和为180度，互为余角的两个角和为90度。练11.A看B的方向是北偏东30，那么B看A的方向是（ ） （A）南偏东60（B）南偏西60 （C）南偏东30 （D）南偏西30【解析】反过来看，参照物不同，位置相反为南偏西30。答案：D练12.70的余角是_ ，补角是_。【解析】互为余角的两个角和90，互为补角的两个角和为180 。答案：20 110练13. a （ a ，则下

13、列表示的余角的式子中正确的有_ 90 90 （+） （)北东O A. B. C. D.参考答案当堂检测1.D 2.D 3.A 4.C 5.一条射线绕着它的端点家庭作业1.C 2.ABD CBD BDA 3. 90 157.5 77.54.79285. 3 6 10 （n+1）（n+2）/26.40或者807. AOB=AOB因AOB是由AOB旋转得到的AOA=BOBAOB=AOB，AOB-AOB=AOB-AOB，AOA=BOB8. BE分ABC为25两部分ABE：EBC=2：52EBC=5ABE设ABD=xEBC=x+21，ABE=x-212（x+21）=5(x-21）x=49ABC=2x=989. 3180FOC1180904050AOD180318050130OE平分AOD2AOD1306510.30 南偏东45 南偏西 75 北偏西 7511.A12.C13.C14.南偏西5015.B