北师大版初一（上）数学第6讲：相反数和绝对值（教师版）（著名机构讲义）

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1、相反数和绝对值_1、掌握相反数的定义。2、掌握绝对值的本质意义。3、掌握相关典型题的解法。1、相反数定义只有符号不同的两个数叫做互为_，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是_。注意：相反数是_出现的；相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负；0的相反数是它本身,相反数为本身的数是0。2、相反数的性质与判定任何数都有_，且只有一个；0的相反数是0；互为相反数的两数和为_，和为0的两数互为_。3、相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：

2、在数轴上，表示互为相反数的两个点关于_对称。4、相反数的求法求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)5、相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。当a0时，-a0（正数的相反数是负数）当a0（负数的相反数是正数）当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）6、多重符号的化简多重符号的化简规

3、律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。7、绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的_，记作|a|。8、绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它_；一个负数的绝对值是它的_；0的绝对值是_。可用字母表示为：如果a0，那么|a|=_；如果a0，那么|a|=_；如果a=0，那么|a|=_。可归纳为：a0，|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）9、绝对值的性质任何一个

4、有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有_。所以，a取任何有理数，都有|a|_0。即2 0的绝对值是0；绝对值是0的数是0，即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是_.即：|a|0；任何数的绝对值都_原数。即：|a|a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0），则x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；绝对值相等的两数_或互为_。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就_。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和

5、为0，则有且只有这几个非负数同时为0）10、有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。11、绝对值的化简当a0时，|a|=a；当a0时，|a|=-a12、已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。参考答案:1、相反数 0 成对2、相反数 0 相反数3、原点7、绝对值8、本身 0 0 a -a 相反数9、非负性 0 不小于

6、 同时为0 相反数 相等1、相反数【例1】3的相反数是（）A.3 B.3 C.3 D.考点：相反数 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案解答：解：3的相反数是3故选：B点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数练1、（2015人大附期中）x+yz的相反数是（）Ax+y+zBzxyCxy+zDx+yz考点：相反数 分析：根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案解答：解：x+yz的相反数是：xy+z，故选B点评：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义练2、（2015清华附期中）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是

7、（）A点A与点DB点A与点CC点B与点DD点B与点C考点：相反数；数轴 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案解答：解：2与2互为相反数，故选：A点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数【例2】（2015理工附期中）如果3是a3的相反数，那么a的值是（）A0B3C6D6考点：相反数 分析：根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0，得出3+a3=0，解方程求出a的值，解答：解：3是a3的相反数，3+3a=0，a=0故选A点评：本题主要考查相反数的概念及性质如果a和b互为相反数则a+b=0练3、（2015年聚萃双语中学期末）若（a3）是负数，则a3是 ，若（

8、a+b）是负数，则a+b是 考点：相反数 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案解答：解：（a3）=a+3是负数，a3是正数；（a+b）=a+b是负数，故答案为：正数，负数点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数练4、计算：（）=考点：相反数 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数解答：解：（）=，故答案为：点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数2、绝对值的性质【例3】(1)已知，且，那么 (2)已知是有理数，且，那么 （3）已知，那么_ （4）非零整数、满足，所有这样的整数组共有_组思路点拨 (1)由已知条件

9、求出的值，注意条件的约束；(2)若注意到9+1625这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对，的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手答案：（1）2 （2） -7 （3）2 （4）16 练5、（2015年上海模拟）若|2x|=2x，则x一定是（）A正数B负数C正数或0D负数或0考点：绝对值菁优网版权所有分析：根据负数或0的绝对值等于它的相反数解答解答：|2x|=2x，2x0，x0，即x一定是负数或0故选D点评：本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，要注意特殊数0练6、（2015

10、年人大附中学期中）有理数a，b，c满足|a+b+c|=ab+c，且b0，则|ab+c+1|b2|的值为 考点：绝对值菁优网版权所有分析：根据|a+b+c|=ab+c，可得ab+c0，a+c=0，b0，然后代入求解即可解答：|a+b+c|=ab+c，ab+c0，a+c=0，b0，则|ab+c+1|b2|=ab+c+1+b2=a+c1故答案为：a+c1点评：本题考查了绝对值的知识，解答本题的关键是掌握绝对值的性质，进行绝对值的化简3、相反数和绝对值的综合【例4】若，则等于（）分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数”利用这一特点可得；而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0则，；，故说

11、明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点的距离绝对值的这个特性今后会经常用到几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0练7、满足的的取值范围为 分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有

12、用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了3、4这两道难题。 答案: x-1 练8、结合数轴求得的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 _.分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图2符合题意图1 图2 图3答案：5 -3x_2_ 练9、（2015年一零一中学期中）计算：|3.14|+|3.15|= 考点：绝对值菁优网版权所有分析：利用绝对值的定义求解即可解答：|3.14|+|3.15|=3.14+3.15=0.01故答案为：0.01点评：本题主要考查了绝对值，解题

13、的关键是熟记绝对值的定义【例5】（2015年鸿育中学期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A与B两点间的距离可表示为 分析：点B表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。 当x-1时，距离为-x-1, 当-1x0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为答案

14、：相等 练10、已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y由题意得：， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x0，y0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两

15、数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x0，y0，y0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12【例6】计算分析：要计算上式的结果，关键要弄清和的符号，再根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可求上式的结果，又，故，而解：又，说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子同，首先应确定代数式的符号另外，要求出负数的相反数练11、x为何值时，|x3|+|x+2|有最小值，求出这个最小值考点：绝对值菁优网版权所有专题：常规题型分析：画出一个数轴，那么|x3|+|x+2|表示的就是数轴上任意一点到2和3的距离之和，显然，当该点在2与3之间时可以得到最小值5解答：如图

16、所示：当x2时，就是2x+3x=2x+55，当x3时，距离之和为x+2+x+35，当2x3|x3|+|x+2|有最小值=3x+x+2=5点评：本题考查了绝对值的求解，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键练13、当a取何值时，|a+4|+|a1|+|a3|有最小值考点：绝对值菁优网版权所有分析：分类讨论：a4，4a1，1a3，a3，根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值等于它本身，可化简绝对值，根据有理数大小比较，可得答案、解答：当a4时，|a+4|+|a1|+|a3|=a4a+1a+3=3a12，当4a1时，|a+4|+|a1|+|a3|=a+4a+1a+3=7a6当1a3时，|a+4|+|a

17、1|+|a3|=a+4+a1a+3=6+a7当a3时，|a+4|+|a1|+|a3|=a+4+a1+a3=3a9综上所述：当a=1时，|a+4|+|a1|+|a3|最小值=6点评：本题考查了绝对值，分类讨论是解题关键，利用了负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值等于它本身1、 已知4a1与（a+14）互为相反数，求a的值2、 已知4a6与6互为相反数，求a的值3、已知M是6的相反数，N比M的相反数小2，则MN= 4、化简：（+8）= 5、已知2x与6互为相反数，求x的值6、若|x|=4，|y|=3，且xy，求x、y的值7、若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求xy的

18、值8、若|a|=4，|b|=1，（1）求a+b的值 （2）若|a+b|=a+b，求ab的值_1、一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是 ( )A B1 C0 D2、数轴上表示互为相反数与的点到原点的距离是( ) A. 表示数的点距原点较远 B. 表示数的点距原点较远 C. 相等 D. 视的取值情况而定3、 在一个数前面加一个“-”就可以得到一个( ) A. 原数的相反数 B. 非负数 C. 非正数 D. 负数 4、 下列叙述中不正确的是( ) A. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 B. 和原点距离相等的两个点所表示的数一定是互为相反数 C. 符号不同的两个数互为相反数 D. 两个数

19、互为相反数，这两个数有可能相等5、-（+5）是 的相反数，即-（+5）= ；-（-5）是 的相反数，即-（-5）= 6、任何一个的相反数都是正数； 任何一个 的相反数都是负数；的相反数是它本身7、_大于它的相反数；_小于它的相反数8、如果是互为相反数，则9、若，则m= 10、|3|等于 ( )A.3 B.3 C. D.11、下列说法错误的是 （ ） A. 一个正数的绝对值一定是正数 B. 一个负数的绝对值一定是正数 C. 任何数的绝对值都是正数 D. 任何数的绝对值都不是负数12、 在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上的（ ） A. 原点及原点左边 B. 原点右边 C.

20、原点左边 D. 原点及原点右边13、 一个有理数的绝对值等于本身的数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个14、 下列等式成立的是（ ）A|a|-a|= 0 B-a-a=0 C|a|-|-a|=0 D-a-|a|=015、 下列说法正确的是（ ） A. 在所有的负数中，-1绝对值最小 B. 0是绝对值最小的有理数 C. 既没有绝对最小的有理数也没有绝对值最大的有理数 D. 绝对值最小的整数是116、已知为有理数，且，那么与的大小关系是（ ）A B C D17、以下四个论断不正确的（ ）A在数轴上，关于原点对称的两个点,所对应的两个有理数互为相反数。B两个有理数互为相反数，则

21、它们在数轴上对应的两个点关于原点对称。C两个有理数不等，则它们的绝对值不等。D两个有理数的绝对值不等，则这两个有理数不等。18、的绝对值等于它本身，的绝对等于它的相反数19、若=5，则x= ；若|x+4|=4，则x= 20、 若，则21、绝对值不大于3的整数有22、若，则a23、若=7，则x= 24、已知：，求：25、已知且abc，求abc的值参考答案当堂检测1、考点：相反数 分析：根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程求解即可解答：解：由题意得，4a1（a+14）=0，4a1a14=0，解得a=5点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念并列出方程是解题的关键2、考点：相反数 分析：

22、根据互为相反数的两个数的和为0，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案解答：解：4a6与6互为相反数，4a6+（6）=04a=12a=3点评：本题考查了相反数，互为相反数的两个数的和为0是解题关键3、考点：相反数 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得M，根据N与M的相反数的关系，可得N，根据有理数的减法，可得答案解答：解：由M是6的相反数，得M=6由N比M的相反数小2，得N=4MN=64=10，故答案为：10点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数4、考点：相反数 分析：根据相反数的定义化简即可解答：解：（+8）=8故答案为：8点评：本题考查了相反数的

23、定义，是基础题，熟记概念是解题的关键5、考点：相反数 分析：由相反数的定义得到关于x的方程2x+（6）=0，通过解方程可以求得x的值解答：解：2x与6互为相反数，2x+（6）=0，解得，x=3即x的值是3点评：本题考查了相反数相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数6、考点：绝对值菁优网版权所有分析：根据绝对值的定义和xy，即可求得x、y的值解答：|x|=4，|y|=3 x=4或4，y=3或3 又xyx=4，y=3或3点评：本题考查了绝对值的计算，本题中根据xy求x的值是解题的关键7、考点：绝对值；有理数的加法；有理数的减法菁优网版权所有分析：根据|x|=5，|y|=2，求出x=5，y

24、=2，然后根据|x+y|=x+y，可得x+y0，然后分情况求出xy的值解答：|x|=5，x=5，又|y|=2，y=2，又|x+y|=x+y，x+y0，x=5，y=2，当x=5，y=2时，xy=52=3，当x=5，y=2时，xy=5（2）=7点评：本题考查了绝对值以及有理数的加减法，解答本题的关键是根据题目所给的条件求出x和y的值8、考点：绝对值权所有专题：分类讨论分析：（1）根据绝对值的性质求出a、b，然后分情况讨论计算即可得解；（2）根据非负数的绝对值等于它本身判断出a+b0，然后得到a、b的值，再相减计算即可得解解答：（1）|a|=4，|b|=1，a=4，b=1，a=4，b=1时，a+b=

25、4+1=5，a=4，b=1时，a+b=4+（1）=3，a=4，b=1时，a+b=4+1=3，a=4，b=1时，a+b=4+（1）=5，综上所述，a+b的值为3，5；（2）|a+b|=a+b，a+b0，a=4，b=1或a=4，b=1，ab=41=3，或ab=4（1）=5所以，ab=3或5点评：本题考查了绝对值的性质，有理数的加法和减法，熟记性质是解题的关键，难点在于确定a、b的对应情况家庭作业1-4、BCAC5、5 -5 5 56、负数 正数 0 7、正数 负数8、69、10-17、ADDBCBAC18、0 负数19、-5或+5 020、1或721、0、1、-1、2、-2、3、-322、023、24、3、125、-4