北师大版初一（上）数学第3讲：投影与三视图（教师版）（著名机构讲义）

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1、投影与三视图_1、学会根据物体的三视图描述几何体的基本形状或实物原型；2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力；3、知道将三视图转换成立体图在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值1平行投影（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面（2）平行投影：由_光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是

2、平行的如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影（5）正投影：在平行投影中，投影线_于投影面产生的投影叫做正投影2中心投影（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影（2）中心投影的光线是从_出发的投射线物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影3视点、视角和盲区（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角（3）盲区：视线到达不了的区域

3、为盲区 4简单几何体的三视图（1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图-能反映物体的_形状. 俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图-能反映物体的_形状. 左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图-能反映物体的_形状.（2）常见的几何体的三视图：圆柱的三视图：5简单组合体的三视图（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上6由三视图判断几何体（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状（

4、2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法7作图-三视图（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正

5、；主、左：高平齐；俯、左：宽相等（4）具体画法及步骤：确定主视图位置，画出主视图；在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线参考答案：1.（2）平行；（5）垂直 2.（2）一点 4.（1）前面 上面 左面1. 简单几何体的三视图【例1】（2014海南五指山中学期末）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）A B C D【分析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案【解答】解：

6、主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体故选：B练1. 下列四个几何体中，主视图是正方形的是（）A B C D【分析】主视图是从几何体的正面看，主视图是正方形的一定是柱体，由此分析可得答案【解答】解：主视图是正方形的一定是柱体故选：D2. 简单组合体的三视图【例2】（2014江西赣州一中期中）如图所示的几何体的主视图是（）ABCD【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：几何体的主视图是两个长方形，其中一个在另一的上面的左侧，故选：A练2. 如图是一个由多个正方体堆积而成的几何体俯视图图中所示数字为该小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）AB

7、CD【分析】由俯视图易得此组合几何体有3层，三列，2行找从左面看所得到的图形，应看俯视图有几行，每行上的小正方体最多有几个【解答】解：从左面看可得到2列正方形从左往右的个数依次为3，2故选D3由三视图判断几何体 【例3】（2014山西朔州应县中学期末）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何体可能是（）A球 B圆柱 C圆锥 D棱锥【分析】本题中球的三视图中不可能有三角形，圆柱的三视图中也不可能由三角形，棱锥的俯视图不可能是圆，因此选择C【解答】解：根据三视图的知识，依题意，该几何体的主视图、左视图以及俯视图分别是三角形、三角形和圆形，故该几何体可能为圆锥故选C练

8、3. 与如图所示的三视图对应的几何体是（）A B C D【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：从正视图可以排除C，故C选项错误；从左视图可以排除A，故A选项错误；从左视图可以排除D，故D选项错误；符合条件的只有B故选：B4作图-三视图【例4】（2015上海第五十六中学期末）（1）如图1所示，用5个小正方体搭成的立体图形，请你从正面、左面、上面观察这个几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图；（2）一个几何体由几块大小相同的小立方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图2所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体从正

9、面、左面观察的形状图【分析】（1）从正面看：共有3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形；从左面看：共有2列，左面一列有2个，右边一列有1个小正方形；从上面看：共分3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形；（2）由已知条件可知，从正面看有2列，每列小正方数形数目分别为3，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2据此可画出图形【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：练4画出如图的几何体的主视图、左视图和俯视图【分析】从正面看，得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1；从上面看得到从左往，2列正方形的个数依次为3，2，依此画出图形即

10、可【解答】解：5. 平行投影【例5】（2015河北保定第一中学月考）下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）ABCD【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例【解答】解：A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；B、影子的方向不相同，故本选项错误；C、影子的方向不相同，故本选项错误；D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误故选A练5. 从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，旭日广场的旗杆在地面上的影子的变化规律是（）A先变长，后变短 B先变短，后变长C方向改变，长短不变

11、D以上都不正确【分析】根据太阳的运动规律和平行投影的特点和规律可知【解答】解：旭日广场的旗杆在地面上的影子的变化规律是先变短，后变长故选B 练6. 如图，是北半球某建筑物极其在太阳光下的影长的照片，则该张照片大约是在几点拍摄的（）A7点 B10点 C12点 D16点【分析】由图可知，此时为建筑物的影子朝东，故知道为下午的某个时刻【解答】解：图中影子朝西北该时刻为上午的某个时刻四个选项中只有B符合选B6.中心投影【例6】（2015河南驻马店第一中学月考）三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子（不写作法，保留作图痕迹）【分析】分别作过乙，丙的

12、头的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，连接点光源和甲的头的顶端并延长交平面于一点，这点到甲的脚端的距离是就是甲的影长【解答】解：练7. 如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN（1）指定路灯的位置（用点P表示）；（2）在图中画出表示大树高的线段；（3）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树【分析】根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源所以分别把AB和DE的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再由点光源出发连接MN顶部N的直线与

13、地面相交即可找到MN影子的顶端线段GM是大树的高若小明的眼睛近似地看成是点D，则看不到大树，GM处于视点的盲区【解答】解：（1）点P是灯泡的位置；（2）线段MG是大树的高（3）视点D看不到大树，GM处于视点的盲区1有一实物如图，那么它的主视图是（）ABCD2如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图，那么构成这个立体图形的小正方体有（）A4个 B5个 C6个 D7个3如图一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为4一个几何体从前面看及从上面看的视图如图所示这样的几何体只有一种吗？它最多要多少个小立方体？最少要多少个小立方体？55个棱长为1的正方体组成如图所示的几何

14、体，画出该几何体的主视图和左视图_1如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是2如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体形，折好以后，与“静”字相对的字是3在阳光照射下，直立于地面的竹竿一天的影长变化情况是4一次参观活动中，一位同学看到一个零件的三视图都相同，那么该零件的实际形状可能是（只需填一种即可）5主视图、左视图、俯视图都一样的几何体为，6太阳光线形成的投影称为，手电筒、路灯、台灯的光线形成的投影称为7我们把大型会场、体育看台、电影院建为阶梯形状，是为了8为了测量一根电线杆的高度，取一根2米长的竹竿竖直放在阳光下，2米长的竹竿的影长为1米，并且在同一时刻

15、测得电线杆的影长为7.3米，则电线杆的高为米9一个几何体的主视图与左视图都是三角形，而俯视图是圆，则这个几何体是10如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m，窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度（即AB的值）参考答案：当堂检测1.【分析】细心观察图中几何体摆放的位置和形状，根据主视图是从正面看到的图象判定则可【解答】解：正面看，它是中间小两头大的一个图形，里面有两条虚线，表示看不到的棱故选B2 【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二层正方体的个数，

16、相加即可【解答】解：由俯视图易得最底层有4个正方体，第二层有1个正方体，那么共有4+1=5个正方体组成故选B3【分析】左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图表现长方体的长和高，让长高即为主视图的面积【解答】解：由左视图可得长方体的高为2，由俯视图可得长方体的长为4，主视图表现长方体的长和高，主视图的面积为24=8，故答案为84【分析】这种题需要空间想象能力，可以想象这样的小立方体搭了上中下三层，但只有从左到右的二排，符合题中两个视图的几何体不只一种【解答】解：这样的几何体不止一种，它最多要16个小立体，最少要个10小立方体5 【分析】根据主视图是从正面观看得出的图形，左

17、视图是从左边看得出的图形，从而将看到的图形画出来即可【解答】解：所画图形如下所示：家庭作业1.【分析】如图可知该几何体的正视图由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，易得解【解答】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，故三种视图面积最小的是左视图故答案为：左视图2【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答【解答】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“静”字相对的字是着3 【分析】根据在北半球影子随时间的变化规律，直接得出答案【解

18、答】解：在北半球，早晨影子偏西且较长，按顺时针方向逐渐由长变短；中午偏北，影子较短；下午偏东，仍按顺时针方向逐渐由短变长，则在阳光照射下，直立于地面的竹竿一天的影长变化情况是由长变短，然后又变长故答案为：由长变短，然后又变长4 【分析】球的三视图是三个全等的圆，正方体的三视图是三个全等是正方形【解答】解：球的三视图是三个全等的圆，三视图都相同的零件的实际形状可能是球（答案不唯一）故答案为球（答案不唯一）5 【分析】正方体的主视图、左视图、俯视图均为正方形；球的主视图、左视图、俯视图均为圆【解答】解：依题意，主视图、左视图以及俯视图都相同的几何体为正方体或球6 【分析】根据平行投影、中心投影的概

19、念填空即可【解答】解：由光线所形成的投影称为平行投影；有中心放射状光线所形成的投影称为中心投影7 【分析】根据盲区定义，盲区是指看不见的区域，仰视时越向前视野越小盲区越大，俯视时越向前视野越大，盲区越小【解答】解：把大型会场、体育看台、电影院建为阶梯形状，是为了使后面的观众有更大的视野，从而减小盲区8 【分析】根据相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程求解即可【解答】解：根据题画出图形可知，DE=2m，AE=1m，AC=7.3m，由图形可知AEDACB，=，即=，解得BC=14.6m电线杆的高为14.6米9 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：俯视图为一个圆形的几何体是圆锥或圆柱，主视图和左视图为三角形的只有圆锥10 【分析】根据阳光是平行光线，即AEBD，可得AEC=BDC；从而得到AECBDC，根据比例关系，计算可得AB的数值，即窗口的高度【解答】解：由于阳光是平行光线，即AEBD，所以AEC=BDC又因为C是公共角，所以AECBDC，从而有又AC=AB+BC，DC=ECED，EC=3.9，ED=2.1，BC=1.2，于是有，解得AB=1.4（m）答：窗口的高度为1.4m12