北师大版初三（下）数学第92讲：正多边形与圆（教师版）（著名机构讲义）

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1、正多边形与圆_1.掌握圆内接多边形的性质；2.掌握内接圆的性质；3.掌握圆内接多边形和内接圆的应用.1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形_的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形_的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三边高线的交点2.三角形的

2、内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形_相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角_，外角等于内对角(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形_4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以n、an、rn、Rn

3、、Pn和Sn表示正n(n3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有： n=； an=2Rnsin； rn=Rncos； +； Pn=nan； Sn=Pnrn； Sn=nsin.（因为一个三角形的面积为：hOB） 注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等； 2.准确记忆相关公式。 参考答案：1.（1）三个角平分线(2) 三边中垂线2. 三个顶点的距离, 三角形三边3.(1) 互补(2) 对边之和相等1. 利用三角形的内心求角度【例1】（2014湖北宜昌一模）如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC=80，则BOC=（ ）A130 B

4、100C50 D65 【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点【答案】A练习1. 如图，I是ABC内心，则BIC与A的关系是（ D ）A. BIC=2AB. BIC=180AC. BIC=D. BIC=【答案】B练习2.（2014湖北恩施一模）如图，圆O是ABC的内切圆，与三角形三边分别切于D、E、F，知B=50，C=60，则EDF= 。【答案】552. 三角形外接圆问题【例2】正三角形的外接圆半径是R，则它的边长是（ ）A.0.5RB. RC. RD. R【解析】正三角形的外接圆边长是半径的倍，圆心与三角形两个顶点的连线是一个顶角为120的等腰三角形，可证倍数关

5、系，带入即可。【答案】B练习3. 若三角形的三边长分别为1，1和，则外接圆的半径为_。【答案】练习4. 等边三角形的边长为4cm，它的外接圆的面积为_。【答案】3.内切、外接、外切问题的综合【例3】正方形ABCD的四个顶点分别在O上，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则BPC的度数是（ ）A.B.C. D.。【解析】圆的内接正方形，内心外心重合，可求BOC的度数，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，BPC是BOC的一半即可。【答案】A练习5同一个圆的外切正方形和内接正方形的相似比是（ ）A. 2：1B. 1：2C. D. 【答案】C练习6. ABC中设I是ABC的内心，O是ABC的外心，若A

6、=80，则BIC=_，BOC=_若A=a，则BIC=_，BOC=_【答案】（1）130，160（2）90+，2a4.内切圆综合题【例4】已知：如图，ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r求ABC的面积S 【解析】连接圆心和切点，把三角形分成三个小三角形，而且有现成的底和高就可以求出每个小三角形的面积，加起来可得大三角形的面积。【答案】解：设ABC与O相切与点D、E、F连接OA、OB、OC、OD、OE、OF则ODAB，OEBC，OFACSAOB=ABOD=ABr，同理，SOBC=BCr，SOAC=ACrSABC=SAOB+SOBC+SOAC，即S=ABr+BCr+ACr

7、，则S=（a+b+c）r 练习7已知：如图，O内切于ABC，BOC=105，ACB=90， AB=20cm求BC、AC的长 【答案】解：O是ABC的内切圆，OBC=ABC，OCB=ACB，BOC=105，OBC+OCB=180-105=75，ABC+ACB=275=150，A=180-（ABC+ACB）=30，C=90，AB=20cm，BC=AB=10cm，AC=10cm 练习8已知：如图，O是RtABC的内切圆，C=90(1)若AC=12cm，BC=9cm，求O的半径r； (2)若AC=b，BC=a，AB=c，求O的半径r【答案】解：如图；(1)在RtABC，C=90，AC=12cm，BC=

8、9cm；根据勾股定理AB=AC2+BC2=15cm；四边形OFCD中，OD=OF，ODC=OFC=C=90；则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；则CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（12+9-15）=3(2)当AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（a+b-c）则O的半径r为：（a+b-c） 5. 正多边形和圆【例5】正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ） A. B. C. D. 【解析】正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。ABF是含120角的等腰三角形，

9、以ABF为研究对象即可求。 【答案】解：如图所示，BF2，过点A作AGBF于G，则FG1 又FAG60 故选B练习9. 求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半. 【解析】外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三角形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证. 圆的外切（或内接）正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单的一种转化，象四边形的问题一样，正n边形的问题首先应转化为三角形的问题，转化是解决数学问题的关键。【答案】证明:设外切多边形周长为P,内切圆O半径为R,连结O与正多边形的各顶点及切点,

10、如图 OMAB,ONBC, SOAB=OMABRAB, SOBC=ONBCRBC, 正多边形ABCD面积为S=R(AB+BC+)=RP. 练习10如图,若正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积. 【解析】如下图，线段OC是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段OC可以将两图形联系起来。 【答案】解:如图,设AB是正六边形的一条边长,C点为切点,CD为正六边形内切O的内接正三角形的一条边长,过O点作OECD于E,分别连结OA、OB、OC、OD. OC=R,AB=a6,BC=a6,BOC=30, CD=a3,CE=a3,OE=r3,COE=60, S6=6SOAB, S6

11、=6a6OC=6, OC=BCcot30, OC=a6, 6a6a6=6, a6=2,OC=, OE=OCcos60, OE=, CE=OCsin60, CE=, CD=2CE=3, S3=3CDOE,S3=33=. 练习11. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ） A. 123B. C. D. 【答案】解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高 设，则AO2r，AD3r ODAOADr2r3r123 故选A【例6】周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【解析】设它们的周长为，则正三角形的边长是，正四边形的边长为，正六边形

12、的边长为 【答案】B 练习12. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证： （1）； （2） 【答案】证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则 BEA36 （2） 又公共角ABMEBA ABMEBA 练习13. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。 【解析】本题的关键是正六边形的边长等于半径。【答案】解：正六边形的半径等于边长 正六边形的边长 正六边形的周长 正六边形的面积 练习14. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。【解析】本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。【答案】解：

13、正方形的边长为2cm 正方形的外接圆半径为cm 外接圆的外切正三角形一边上的高为cm 正三角形的边长为 正三角形的面积为1 三角形的外心是（ ）【答案】BA. 三条中线的交点B. 三条中垂线的交点C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点2.正多边形一定是（ ）【答案】AA. 轴对称图形B. 中心对称图形C. 既是中心对称图形又是轴对称图形D. 都不对 3如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若ADB=100，则ACB的度数为（ ）【答案】B A.35B.40C.50D.804. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为（ ）【

14、答案】C A9B9（-1）C9（-1）D95.在ABC中，若C=90，A=30，AC=3，则内切圆半径为_。【答案】6. 若正多边形的内角和是720，则这个多边形是正_边形。【答案】六 7. 已知正多边形的中心角为120，边长为3，则其半径长为_。【答案】 8. 若正三角形和正六边形的面积相等，则它们的边长之比为_。【答案】:19. 如图，PA、PB分别切圆O于 A、B，C为优弧AB上的一点，若P=50，则ACB= 。D为劣弧AB上的一点，若P=50，则ADB= 。【答案】65，115变式：上题中，PA、PB分别切O于A、B，C为优弧AB上一点，若ACB=a，则APB=（ ）A180-a B9

15、0-a C90+a D180-2a【答案】D10.ABC的内切圆半径为R，ABC的周长为L，则ABC的面积为 。变式：如图，RtABC中，C=90，AB、BC、CA的长分别为c 、a、b，则ABC的内切圆半径为 。【答案】RL，变式： 11.边长为a的正三角形的内切圆的半径为 。【答案】12. EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A.D是O上两点，如果E=46，DCF=32，求A的度数【答案】9913.已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和O 分别相切于L、M、N、P求证：AB+CD=AD+BC 【答案】证明:连接OP,OD,ON.AD,CD分别切圆O于P,N.OPAD,O

16、NCD.OP=ON;OD=OD;OPD=OND=90.RtOPDRtOND(HL),PD=ND.同理可证:CN=CM,BM=BL,AL=AP.AL+BL+CN+ND=AP+PD+CM+BM.(AL+BL)+(CN+ND)=(AP+PD)+(CM+BM).即AB+CD=AD+BC._1. 在圆内接四边形ABCD中，则ABC234，则D 度【答案】902. 一个直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm，则其外接圆的半径为 cm，内切圆的半径为 cm。【答案】5cm，2cm3.圆O内切RtABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_ _【答案】正方形4. (2014甘肃定西一模)如图，在AB

17、C中，cosB如果O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO= cm【答案】（提示：连接OB，易得：ABC=AOB cosAOB=cos=） 5.（2014湖南怀化期末）如图，、分别切于点、，点是上一点，且，则_ _度【答案】606.（2014安徽一模）ABC中，ABAC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆圆心，则AIB的度数是（ ）【答案】CA120 B125 C135 D1507.（2014四川绵阳一中期末）一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心如果钢管的半径为25 cm，MPN = 60，则OP =( ) 【答案】A（提示：MPN=600可得OPM=300

18、可得OP=2OM=50）A50 cm B25cm Ccm D50cm8. 同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（ ）【答案】DA. 1B.21C.12D.1 9.下列说法中，不正确的是( ) 【答案】C A三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C垂直于半径的直线是圆的切线 D三角形的内心到三角形的三边的距离相等10给出下列说法： 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； 任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； 任意一个圆一定有一个外切三角形，并且

19、只有一个外切三角形 其中正确的有( ) 【答案】B (提示：错误) A1个 B2个 C3个 D4个11. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) 【答案】D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF 周长=8） A21 B20 C19 D1812如图，I是ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若DEF=52o，则A的度为_ 【答案】760 （提示：连接ID,IF DEF=520 DIF=1040 D、F是切点 DIAB,IFAC ADI=AFI=900 A=1800-1040=760）13如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为_【答案】52 (提示：AB+CD=AD+BC)14如图，已知O是ABC的内切圆，BAC=50o，则BOC为_度【答案】1150 (提示：A=500 ABC+ACB=1300 OB,OC分别平分ABC,ACB OBC+OCB=650BOC=1800-650=1150)15. 如图，AE、AD、BC分别切O于点E、D、F，若AD=20，求ABC的周长 【答案】 解：AD,AE切于O于D,EAD=AE=20 AD,BF切于O于D,F BD=BF 同理：CF=CECABC=AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=4015