北师大版初三（下）数学第91讲：与圆有关的计算（教师版）（著名机构讲义）

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1、与圆有关的计算_1.掌握弧长、扇形面积、圆锥的体积和表面积的计算公式；2.掌握弧长、扇形面积、圆锥的体积和表面积的应用.1相关名词弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。扇形：_所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为

2、圆锥底面的周长母线2；没展开时是一个曲面。圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。2.圆中有关计算：（1）圆的面积公式：，周长C2R（2）弧长：圆心角为n、半径为R， _（3）扇形的面积：圆心角为n，半径为R，弧长为l，_（4）弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算需根据不同的情况作出不同的处理： 当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S 当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S 当弓形所含弧为半圆时，S弓=S圆 （5）圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2Rl，全面积为（6）圆锥的侧面展开图为扇形，

3、底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为Rl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有参考答案：1. 一条弧和经过这条弧两端的两条半径2.(2) (3) S1.弧长的有关计算【例1】已知扇形的圆心角为120，半径为6，则扇形的弧长是（ ） A3B4C5 D6【解析】根据弧长公式带公式计算即可。【答案】B练习1. 在半径为5的中，弦AB=5，则的长为（）ABCD【答案】B练习2.弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是 （ ）ABCD60【答案】B2.扇形面积的有关计算【例2】如图，ABC中，BC4，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是A上一点，且EP

4、F=40，则圆中阴影部分的面积是( )ABCD【解析】阴影部分的面积可用三角形的面积减去扇形的面积即可求。【答案】B 练习3已知：如图，在边长为a的正ABC中，分别以A，B，C点为圆心，长为半径作，求阴影部分的面积【答案】练习4已知：如图，RtABC中，C=90，B=30，以A点为圆心，AC长为半径作，求B与围成的阴影部分的面积【答案】3.圆锥的有关计算【例3】用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（）A.3B.2.5C.2D.1.5【解析】设底面半径为R，圆锥的底面圆周长等于半圆的周长可求底面圆半径。【答案】解：设底面半径为R，则底面周长=2R，半圆的弧长=26=2R，R=

5、3故选A练习5. 已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（）A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm【答案】B练习6. 用半径为3cm，圆心角是120的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A. 2cm B. 1.5cm C. cm D. 1cm【答案】D4.弓形面积【例4】如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6cm,的长为10cm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。 【解析】本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。阴影面积等于两个扇形面积之差。【答案】解：设O=，由弧长公式得6=, 10=, OA=, OB=. 又 A

6、B=OB-OA, 12=-, =60, OA=18, OB=30. 阴影部分的面积为：-=96 练习7. 已知如图O1为含120弧的弓形的直径最大的内切圆，求证：这个内切圆的周长等于弧长的。 【解析】欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系，需求出：内切圆O1的周长2r，及弓形的弧AB的长，找到r与O的半径R的关系，结论易证。 【答案】证明：设O1切弓形于C、D，OA=R，O1C=r， AOB=120， 的长=R， 又 OAB=(180-120)=30， OC=OA=R, r=(OD-OC)=(R-R)=R, 又O1的周长=2r=2R=R, O1的周长等于弧长的. 练习8. 如图，扇形纸

7、扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为( )8题图ABCD【答案】D5.阴影部分的面积【例5】已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,AOB=120,求阴影部分面积S阴影ABC. 【解析】求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差，以上为例，S阴影可以折分为S扇形OAB与SDAOC的差，也可以折分为SDABC与S弓形AB的和，但因为这两个面积，求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或

8、差，观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-SACO,故可求得. 【答案】解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-SACO, 而S扇形OAB=12(cm2), SACO=63sin60=(cm2), S阴影ABC=(12-)cm2. 练习9如图,PA,PB分别切圆O于A、B,并且AOB是钝角,如果四边形PAOB的周长和面积分别为8(1+)和16,求劣弧AB与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积) 【解析】求阴影部分的面积,首先要观察它的构成,是由四边形AOBP的面积去掉扇形AOB的面积.具体求它们的值时,尚须连结OP,构造直角三角形.【答案】解:连结OP， PA、PB分别切O于A、B, OAP=OBP=

9、90, 又PA=PB,AO=BO, RtPAORtPBO, RtPAO的面积=四边形PAOB的面积=8. 又RtPAO的面积=AOPA, OAPA=16. 已知OA+PA=8(1+)=4(1+). OA、PA为方程x2-4(1+)x+16=0的两根， 解得x1=4，x2=4，但AOB是钝角， PAOA, PA=4,OA=4. 在RtPAO中,tanPOA=. POA=60,AOB=120, 扇形OAB的面积=42=. 劣弧AB与两切线所夹部分的面积为16-. 练习10.如图,AOB=90,ACOB,OA=1,是以O为圆心的弧,是以A为圆心的弧,求图中阴影部分ABC的面积. 【答案】解:连结AB

10、, AOB为等腰直角三角形, AB=, O=90,OA=OB=1, S扇形OAB=R2=, S扇形ABC=()2=, S弓形AmB=S扇形OAB-SAOB=-AOBO=-. S阴影=S扇形ABC-S弓形AmB =-(-) =【例6】（2014广东广州一模）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB.CD分别是两底面的直径，AD.BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短D路线的长度是 (结果保留根式) 【解析】把圆锥体展开，两点之间线段最短，求对角线的长度即可。【答案】解.小虫爬行的最短路线的长度是= =2 练习11. AB是O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、

11、BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ）A.B.C.D.【解析】解. A=ABC=600 ABC是等边三角形 又 AB是O的直径 AEB=900 即 BEAE，AC=2CE=4=AB S阴=S扇形OBE SABE=【答案】A练习12. 已知矩形ABCD的一边AB=5cm,另一边AD=2cm，求：以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的表面积【答案】解：C=2AD=4(cm)S=2AD2+CAB=28(cm2)1.一条弧所对的圆心角是，半径是，则这条弧的长是【答案】2.在半径为1的圆中，弦AB=1，则的长为 。【答案】3. 若的长为所对的圆的直径长，则所对的圆周角的度数为【答

12、案】4.如图所示，OA=30B，则的长是的长的_倍【答案】35.一圆弧的圆心角为300，它所对的弧长等于半径为6cm的圆周长，求这弧所在圆的半径【答案】7.2cm6.在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长l=_【答案】7如图，RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，两等圆A，B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )【答案】A7题图ABCD8_和_所围成的图形叫做扇形在半径为R的圆中，圆心角为n的扇形面积S扇形=_；若l为扇形的弧长，则S扇形=_【答案】由组成圆心角的两条半径，圆心角所对的弧，9如图，在半径为R的O中，弦AB与所围成的图形叫做弓形【答案】SOAB，S扇形 当为

13、劣弧时，S弓形=S扇形_；当为优弧时，S弓形=_SOAB10半径为8cm的圆中，72的圆心角所对的弧长为_；弧长为8cm的圆心角约为_(精确到1)【答案】11半径为5cm的圆中，若扇形面积为，则它的圆心角为_若扇形面积为15pcm2，则它的圆心角为_【答案】120，21612若半径为6cm的圆中，扇形面积为9pcm2，则它的弧长为_【答案】3cm_1.（2014辽宁旅顺一中期末）若圆锥的底面周长为20，侧面展开后所得扇形的圆心角为120，则圆锥的侧面积为【答案】3602.（2014海南中考）正方形ABCD的边长为2cm，以B点为圆心，AB长为半径作，则图中阴影部分的面积为（ ）【答案】AA.（

14、4 ）cm2 B.（8 ）cm2 C .（2 4）cm2D.（ 2）cm23.（2014山西太谷中考）要在面积为1256m2的三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径应是 m（取3.14）【答案】204.（2014陕西西安中考）已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（ ）【答案】A A.48 B.48C.24D.245.钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）【答案】AA.B.C.D.6.如图，在ABC 中，BC 4，以点A为圆心.2为半径的A与BC相切于点D，交AB于E，交 AC

15、于F，点P是A上的一点，且EPF40，则图中阴影部分的面积是（ ）【答案】BA4B4C8 D87.已知圆锥侧面展开图的圆心角为90，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）【答案】CA1：2 B2：1C1：4D4：18.圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积为（ ）【答案】DA. 60cm2B. 45cm2C. 30cm2D.15cm2.9.如图1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD24 cm，AB25 cm若的长为底面周长的，如图2所示(1)求O的半径； (2)求这个圆柱形木块的表面积(结果可保留根号)【答案】（1） 连接0A，过点O作OHAD 的长是底面圆周长的 AOD=1200 在RtAHO中，AO=8 （2）S表=2AOAB+2AO2=（400+384）11