江苏省扬州市XX高级中学2020届第二学期高三阶段性学情调研数学试卷（含答案解析）

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1、一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上.1函数y=sin(2x-3)的最小正周期为   2函数f（x）x2+2（a3）x+1在区间（，3）上递减，则实数a的取值范围是   3已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为3x4y0，则双曲线的离心率为   4已知函数f(x)=xex-axex（其中e为自然对数的底数）为偶函数，则实数a的值为   5在ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且ADDB，BE2EC，记AB=a，AC=b，若DE=xa+yb，则x+y的值为   6已知各项均为正数的等比数列an满足

2、a34，S37，则a2的值为   7已知x，y为正数，且12+x+4y=1，则x+y的最小值为   8函数f（x）Asin（x+）（A0，0）的部分图象如图所示若函数yf（x）在区间m，n上的值域为-2，2，则nm的最小值是   9已知函数f（x）x|x|+3x，若f（a）+f（a22）0，则实数a的取值范围为   10已知A，B为平面内的两点，AB2，M是AB的中点，点P在该平面内运动，且满足PA=3PB，则PM的最大值为   11已知1+2x+4xa0对一切x（，1上恒成立，则实数a的取值范围是   12已知椭圆x2a2+y2b2

3、=1（ab0）的上顶点为B，若椭圆上离点B最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率的取值范围为   13已知a，b，cR，且满足a+b+c=2，a2+b2+c2=2，则c的取值范围为   14已知函数f（x）=4x，x2(x-1)3，0x2，若关于x的方程f（x）kx有且仅有1个实根，则实数k的取值范围是   二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设向量a=(sinx，3cosx)，b=(-1，1)，c=(1，1)（其中x0，）（1）若(a+b)c，求实数x的值；（2）若ab=12，求函数sin(

4、x+6)的值16如图，在ABC中，已知B=4，AB3，AD为边BC上的中线，设BAD，若cos=255（1）求AD的长；（2）求sinC的值17在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（2，2），C（1，-3），记ABC外接圆为圆M（1）求圆M的方程；（2）在圆M上是否存在点P，使得PA2PB24？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由18如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，过左焦点F（-3，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky0交椭圆E于C，D两点（1）求椭圆E的方程；（2）求证：点M在直

5、线l上；（3）是否存在实数k，使得SBDM3SACM？若存在，求出k的值若不存在，说明理由19已知函数f（x）2x3ax2+1（aR）（1）若a3，求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，若函数f（x）在1，1上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值20已知常数a0，数列an的前n项和为Sn，a11，且an=Snn+a(n-1)（1）求证：数列an为等差数列；（2）若bn=3n+(-1)nan，且数列bn是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若a=12，数列cn满足：cn=anan+2019，对于任意给定的正整数k，是否存在p，qN*，使ckcpcq？若存在，求p，q的值（只要写出一组即

6、可）；若不存在，说明理由一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上.1函数y=sin(2x-3)，2，T=22=故答案为：2f（x）x2+2（a3）x+1在区间（，3）上递减，3a3，解可得，a6故答案为：a|a63由渐近线方程为3x4y0，即渐近线方程为y34x，设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1（a，b0），则渐近线方程为ybax，即有ba=34，又c2a2+b2a2+916a2=2516a2，即c=54a，可得e=54故答案为：544若函数f（x）是偶函数，则f（1）f（1），即e-ae=-1e+e，则a1，a1，故答案为：15如图，ADDB，

7、BE2EC；DB=12AB，BE=23BC=23(AC-AB)，且AB=a，AC=b；DE=DB+BE=12a+23(b-a)=-16a+23b；又DE=xa+yb；根据平面向量基本定理得，x=-16，y=23；x+y=12故答案为：126a34，S37，则q1，a1q2=4a1(1-q3)1-q=7，整理可得，3q24q40，q0，解可得q2或q=-13（舍）则a2=a3q=2故答案为：27因为12+x+4y=1，则x+y2+x+y2（2+x）+y（12+x+4y）23+y2+x+4(2+x)y3+47故答案为：78函数f（x）Asin（x+）（A0，0）的部分图象如图所示T=2=8，解得=

8、4，当x2时，A2，所以sin(2+)=1，解得2k（kZ），当k0时0由于函数yf（x）2sin（4x）在区间m，n上的值域为-2，2，所以当n2时取得最大值，当x1时，函数取得最小值，则nm的最小值为2（1）3故答案为：39f（x）x|x|3xx|x|3xf（x），即函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）x2+3x在（0，+）上为增函数，故函数f（x）在R上为增函数，f（a）+f（a22）0等价于a2a2，解得2a1故答案为：（2，1）10以AB所在的直线为x轴，以AB的中点M为原点，建立直角坐标系A（1，0），B（1，0），设P（x，y），点P在该平面内运动，且满足PA=3PB，可得(

9、x+1)2+y2=3(x-1)2+y2，化简可得（x-32）2+y2=54，轨迹为以（32，0）为圆心，52为半径的圆|PM|的最大值：32+52故答案为：3+52111+2x+4xa0可化为a-1+2x4x=-2-2x-2-x，令t2x，由x（，1，得t12，+），则at2t，t2t=-(t+12)2+34在12，+）上递减，当t=12时t2t取得最大值为-34，所以a-34故答案为：（-34，+）12设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，因为x2a2+y2b2=1，则x2a2（1-y2b2），则|PB|2x2+（yb）2a2（1-y2b2）+（yb）2（1-a2b2）y22by+a2+b2当

10、且仅当y=-2b2(1-a2b2)=-b3c2，|PB|2取得最大值=4(1-a2b2)(a2+b2)-4b24(1-a2b2)=a4c2椭圆上离点B最远的点为椭圆的下顶点，-b3c2-b，a4c24b2化为：2c2a2，解得0e22椭圆离心率的取值范围为（0，22故答案为：（0，2213a+b+c=2a2+b2+c2=2，a+b=2-ca2+b2=2-c2，有解，方程组可看作直线a+b2c与圆a2+b22c2有交点，2-c20|2-c|22-c2，解得0c43故答案为：0，4314画出函数f（x）和ykx的图象，如图，点A（2，2），B（2，1）kOB=12，kOA1由题意可得函数f（x）的

11、图象和直线ykx有1个交点，数形结合可得当直线位于图中红线所在的三个位置时，是一个交点；此时直线的斜率k满足k0或者12k1时，所以实数k的取值范围是：（，012，1故答案为：（，012，1二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（1）(a+b)c(sinx-1)-(3cosx+1)=0，sinx-3cosx=22(12sinx-32cosx)=2sin(x-3)=1，又x0，x-3-3，23，x-3=2x=56（2）ab=-sinx+3cosx=122(-12sinx+32cosx)=12，sin(x+23)=14，sin

12、(x+6)=sin(x+23)-2)=-cos(x+23)又x0，且sin(x+23)=140x+23(23，)，cos(x+23)=-154即sin(x+6)=15416（1）在ABD中，已知B=4，AB3，AD为边BC上的中线，设BAD，若cos=255所以sin=55，利用正弦定理ABsin(+4)=BDsin，整理得331010=BD55=AD22，解得BD=2，AD=5，（2）利用（1）的结论，解得BC22，利用余弦定理AC2=AB2+BC2-2ABBCcos4，解得AC=5，利用正弦定理：ABsinC=ACsin4，解得sinC=3101017（1）根据题意，设ABC外接圆圆M的方

13、程为x2+y2+Dx+Ey+F0，ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（2，2），C（1，-3），则有F=02D+2E+8=0D-3E+4=0，解可得：D4，E0，F0，则圆M的方程为x2+y24x0；（2）设P的坐标为（x，y）；因为PA2PB24，所以x2+y2（x2）2（y2）24；化简可得x+y30，即P的轨迹为直线x+y30；圆心M到直线x+y30的距离d=|2-3|1+1=222，则直线x+y30与圆M相交，故满足条件的点P有2个18【解答】（1）解：左焦点F（-3，0），则c=3，离心率为32，则ca=32，即有a2，b1，则椭圆方程x24+y21；（2）证明：设A（x1，y1

14、），B（x2，y2），M（x0，y0）设直线AB：yk（x+3），y=k(x+3)x2+4y2=4消去y，得（1+4k2）x2+83k2x+12k240，所以x1+x2=-83k21+4k2，x0=x1+x22=-43k21+4k2，y0k（x0+3）=3k1+4k2，因为-43k21+4k2+4k3k1+4k2=0，所以点M在直线l上；（3）解：由（2）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，因BDM的面积是ACM面积的3倍，所以DM3CM，又|OD|OC|，于是M是OC的中点，设点C的坐标为（x3，y3） 则y0=y32，因为x=-4kyx2+4y2=4，解得y3=11+4k2，

15、于是121+4k2=3k1+4k2，解得k2=18，所以k=2419（1）当a3时，f（x）2x33x2+1，xR，f'（x）6x26x6x（x1），令f'（x）0得，x0或x1；令f'（x）0得，0x1，函数f（x）的的单调增区间为（，0）和（1，+），单调递减区间为（0，1），（2）函数f（x）2x3ax2+1，a0，f'（x）6x22ax2x（3xa），令f'（x）0得，x0或a3，列表： x （，0） 0 （0，a3） a3 （a3，+） f'（x）+ 0 0+ f（x） 递增 极大值 递减 极小值递增当0a2时，0a31，函数f（x）在

16、1，0上单调递增，在0，a3上单调递减，在a3，1上单调递增，又f（1）1a，f（0）1，f（1）3a1，f（a3）1-a327，且0f（a3）1，f（x）maxf（1）3a，f（x）minf（1）1a，（3a）+（1a）1，a=12，当2a3时，0a31，函数f（x）在1，0上单调递增，在0，a3上单调递减，在a3，1上单调递增，又f（1）1a，f（0）1，f（1）3a，f（a3）1-a327，且0f（a3）1，0f（1）1，f（x）maxf（0）1，f（x）minf（1）1a，1+（1a）1，a1，不符合题意，舍去，当a3时，a31，函数f（x）在1，0上单调递增，在0，1上单调递减，f（

17、x）maxf（0）1，又f（1）1a，f（1）3a，f（x）minf（1）1a，1+（1a）1，a1，不符合题意，舍去，综上所述，若函数f（x）在1，1上的最大值和最小值的和为1，实数a的值为1220【解答】证明：（1）数列an的前n项和为Sn，a11，且an=Snn+a(n-1)所以：Snnanan（n1），Sn+1（n+1）an+1an（n+1），则：an+1Sn+1Sn（n+1）an+1a（n+1）nnanan（n1），整理得：an+1an2a（常数）所以：数列an为等差数列；（2）由（1）得：an1+2a（n1），由于bn=3n+(-1)nan，且数列bn是单调递增数列，故bn+1bn

18、，所以3n+(-1)nan3n+1+(-1)n+1an+1，整理得（1）n1+（2n1）a3n当n为奇数时，1+（2n1）a3n，所以a-3n+12n-1（n1，3，5，）令f(n)=-3n+12n-1，所以af（n）max，由于f（n+2）f（n）=-3n+2+12n+3+3n+12n-1=-4(4n-3)3n+4(2n-1)(2n+3)0，所以f（1）f（3）f（5）f（n），且f（1）4所以a4当n为偶数时，由于1+（2n1）a3n，所以a3n-12n-1，（n2，4，6，）令g（n）=3n-12n-1，所以ag（n）min，g（n+2）g（n）=3n+2-12n+33n-12n-1=4(4n-3)3n+4(2n-1)(2n+3)0，且g（2）=83，所以ag(2)=83即a的取值范围为a-4或a83（3）由于a=12，所以an+1-an=212=1，整理得ann由于cn=anan+2019，整理得：cn=n2019+n，设对于任意的正整数k，都存在正整数p，q，使得ckcpcq，所以kk+2019=pp+2019qq+2019，所以p=k(q+2011)q-k，令qk+1，则pk（k+2012），所以ckck（k+2012）ck+112