小升初数学讲义：第七讲 立体图形的特征及计算（二）

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1、第七讲 立体图形的特征及计算（二）圆柱与圆锥一、知识梳理1、圆柱的认识圆柱的上、下两个面叫做底面，它们是面积相等的两个圆两底面之间的距离叫做高圆柱的两个底面面积相等，圆柱有无数条高2、圆柱的侧面积和计算公式（1）、圆柱的侧面积圆柱的侧面积底面的周长高字母表示：（2） 、侧面积公式的应用例1：一段圆柱形的钢材，底面周长是0.28米，高是2.4米它的侧面积是多少平方米？（得数保留两位小数）SCh0.282.40.6720.67（平方米）答：它的侧面积大约是0.67平方米 3、圆柱的表面积圆柱的侧面积与两个底面积的和，就是圆柱的表面积公式：但是实际生活中往往只求侧面和一个底面的面积的总和，具体问题具

2、体分析例2：一个没有盖的圆柱形状的铁皮水桶，高是45厘米，底面直径是34厘米做这个水桶需要多少铁皮？（得数保留整数）（1）水桶的侧面积：343.1445106.76454804.2（平方厘米）（2）水桶的底面积：（342）23.142893.14907.46（平方厘米）（3）做水桶需要的铁皮：4804.2907.465711.665712（平方厘米）答：做这个水桶需要铁皮5712平方厘米例3：一个圆柱的高增加4厘米，表面积增加50.24平方厘米，求圆柱体的底面积分析：圆柱的高增加4厘米，表面积增加50.24平方厘米，50.24平方厘米就是高是4厘米的圆柱的侧面积，根据这两个条件可以求出圆柱的底

3、面周长，从而求出圆柱的底面积50.24412.56（厘米）12.563.1422（厘米）223.1412.56（平方厘米）答：圆柱体的底面积是12.56平方厘米4、圆柱的体积圆柱的体积底面积高用字母表示： 例4：有一根圆柱形状的塑料棒，它的横截面的面积是24平方厘米，长是0.9米这根塑料棒的体积是多少立方厘米？0.9米90厘米24902160（立方厘米）答：这根塑料棒的体积是2160立方厘米例5：如图所示，一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分刚好做一个油桶（接头处忽略不计）求这个油桶的容积分析：长方形铁皮的宽相当于两个底面直径，所以只能做油桶的高，长方形铁皮的长是16.56分米，正好是直径的（3

4、.14+1）倍，从而可以求出直径的长，进而求出油桶的容积16.56（3.14+1）4（分米）422（分米）428（分米）3.1422 8100.48（立方分米）答：这个油桶的容积是100.48立方分米例6：一只装水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面现有水深多少厘米?分析：圆柱形玻璃杯底面积是80平方厘米，水深8厘米，根据这两个条件可以求出水的体积，如果将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面，那么相当于容器的底面积减少16平方厘米，也就是还剩下80-1664平方厘米，把原

5、来的水放进底面积是64平方厘米的容器中，水深就很容易求出来了808640（立方厘米）80-1664（平方厘米）6406410（厘米）答：现有水深10厘米变式1：把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块削成一个最大的圆柱体积木，这个圆柱体积木的体积是多少立方厘米？分析：在一个长方体里面削成一个最大的圆柱，那么要使圆柱体积最大，则圆柱的半径以及高要尽可能的大，由题意可知圆柱的半径最大等于长方体的宽，那么高只能为长方体的高，已知这些圆柱的体积就容易求出来了. 答：这个圆柱体积木的体积是113.04立方厘米变式2：一个饮料瓶的瓶身呈圆柱形，容积为250毫升。当瓶子正放时饮料高16厘米；当瓶子倒放

6、时空余部分高4厘米（如右图）。请你算一算瓶内饮料为多少毫升？分析：通过题意可知瓶子的容积等于饮料的体积加空白部分的体积，瓶子倒放前后饮料的体积和空白部分的体积没有改变，对应相等，正方时，饮料的体积等于底面积乘以饮料的高，倒放时空白部分的体积等于底面积乘以倒放时空余部分的高，由这三者关系即可求出饮料的体积.答：瓶内饮料的体积为200毫升。5、圆锥的认识圆锥下面的一个面叫做圆锥的底面，顶点到底面之间的距离叫做圆锥的高。圆柱有一条高，圆锥的侧面是一个曲面。 6、圆锥的体积圆锥体的体积用字母表示： 例7：一个圆锥形状的零件，底面积是12.3平方厘米，高是5厘米这个零件的体积是多少立方厘米？12.356

7、1.520.5（立方厘米） 答：这个零件的体积是20.5立方厘米变式1： 一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高1.5米。每立方米沙大约重1.7吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 答：这堆沙约重11吨.变式2：如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水有多高？（单位：厘米）答：这时乙容器中的水的高度为4厘米.7、圆柱与圆锥的关系（1）等底等高的圆柱与圆锥，体积比为（3:1）；（2）等底等体积的圆柱与圆锥，高比为（1:3）；（3）等高等体积的圆柱与圆锥，底面积比为（1:3）；（4）一个圆柱里削出一个最大的圆锥，消去部分的体积与圆锥的体积比为（2:1）3、 课堂总结圆

8、柱和圆柱部分内容的学习难度较高，对学生把握公式灵活运用的要求也高，所以必须加强专题训练，提高解题应答能力。四、课后作业1、 甲乙两个圆柱，底半径比是3：2,相等，它们的体积比是（9:4）2、 一个圆柱体和一个圆锥体的体积相等，它们底面积的比是3：5，圆柱的高8厘米，圆锥的高是（ 14.4）厘米。3、甲乙两个圆柱，底面积相等，高是比是4：5,它们的体积比是（4:5）4、一个直角三角形，两条直角边分别是6厘米和9厘米，沿一条直角边旋转一周后，得到一个圆锥体，求圆锥体的体积是多少？ 答：圆锥体的体积为84.78立方厘米或127.17立方厘米.5、一个圆柱高为15厘米，把它的高增加2厘米后表面积增加2

9、5.12平方厘米，求原来圆柱的体积。 答：原来圆柱的体积为188.4立方厘米.6、一根长4米,底面直径4厘米的圆柱形钢材,把它锯成同样长的3段,表面积比原来增加了多少平方厘米? 答：表面积比原来增加了50.24平方厘米.7、把一个高为5厘米的圆柱从直径处沿高剖成两上半圆柱，这两个半圆柱的表面积比原来增加80平方厘米，求原来圆柱的表面积。答：原来圆柱的表面积为226.08平方厘米.8、把一个圆柱底面平均分成若干个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体，这个长方体的宽是4厘米，高是5厘米，求它的体积。答：它的体积为251.2立方厘米.9、把一个底半径为5厘米的圆柱铁块放入一个底半径10厘米，高14厘米的

10、圆柱体容器里，水面上升了3厘米，求这个圆柱铁块的体积。 答：这个圆柱体铁块的体积是942立方厘米.10、一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？ 答：这个圆锥体的高是2厘米.思考题：一个直角三角形（如下图），分别以两条直角边所在的直线为轴，旋转成两个圆锥体，哪个圆锥体的体积大？为什么？（单位：厘米）A：以3厘米直角边所在的直线为轴：523.14378.5（立方厘米） B：以5厘米直角边所在的直线为轴：323.14547.1（立方厘米）（523.143）：（323.145）5：3结论：以3厘米直角边所在的直线为轴旋转成的圆锥体体积大因为它们的体积的比就是它们底面半径的比，谁的底面半径大，谁的体积就大