著名机构数学教案讲义六年级春季班第19讲:长方体的再认识-学生版-张于
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1、 1 / 21 长方体的再认识是初中数学六年级下学期第 4 章的内容通过本章的学习, 同学们需要掌握长方体的表示方法、 长方体直观图的画法, 理清长方体中棱与棱 的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系,并要学会如何检验 直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面 是否平行的方法难点是相关的长方体的表面积和体积的计算 1、 长方体的元素长方体的元素 长方体有六个面面,八个顶点顶点,十二条棱棱 2、 长方体的元素特征长方体的元素特征 (1)长方体的每个面都是长方形 (2)长方体的十二条棱可以分为三组,每组中的四条棱的长度相等 (3)长方体的六个面可以分为三
2、组,每组中的两个面的形状和大小相同 3、 正方体是特殊的长方体正方体是特殊的长方体 长方体的再认识 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一:长方体的元素 知识精讲知识精讲 2 / 21 【例1】 填空: (1)长方体有_个顶点; (2)长方体有_个面,每个面都是_,相对的两个面的面积_; (3)长方体共有_条棱,按棱的长短可分为_组,每组棱的长度相等,每组 有_条棱 【难度】 【答案】见解析 【解析】 (1)8; (2)6;长方形;相等; (3)十二;三;四 【总结】考查长方体的相关元素的概念 【例2】 判断: (1)若长方体的十二条棱都相等,这个长方体就是正方体;( ) (2)桌面所在的
3、平面的大小就是桌面的大小;( ) (3)长方体共有 6 个面;( ) (4)长方体的六个面,至少有四个面的形状、大小相同;( ) (5)平面就是水平面;( ) (6)水平面是平面( ) 【难度】 【答案】见解析 【解析】 (1)正确; (2)错误:桌面所在的平面是无穷无尽的,但是桌面的面积是固定的; (3)正确; (4)错误,长方体至少有两个面形状大小相同; (5)错误:平面不一定是水平面(6)正确:水平面就是一个平面 【总结】考查长方体的元素,注意进行辨析 【例3】 在长方体 ABCD EFGH 中,与棱 EF 相等的棱是( ) A棱 AB、棱 CD、棱 GH B棱 AB、棱 AE、棱 BF
4、 C棱 GH、棱 EH、棱 FG D棱 BC、棱 CG、棱 GF 【难度】 【答案】A 【解析】画图即可观察出,与一条棱相等的棱共有三条,分别是棱 AB、棱 CD、棱 GH 【总结】考查长方体的棱的概念 例题解析例题解析 3 / 21 【例4】 用一根长为 100 厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为 5 厘米, 6 厘米和 7 厘米的长 方体架子,应该如何截取?材料够吗? 【难度】 【答案】够,还剩 28cm 材料剩余 【解析】由题意,若按照棱长分别为 5cm、6cm、7cm 来做的话,可以做一个长方体架子, 用掉(5+6+7)4=72cm 材料,还有 28cm 材料剩余 【总结】考查长方体的总
5、棱长的和的概念 【例5】 棱长总和是 24 厘米的正方体,它的表面积为_,体积为_ 【难度】 【答案】24 平方厘米;8 立方厘米 【解析】由题意可知正方体的棱长为:2412=2cm,故表面积为:226=24 平方厘米, 体积为:222=8 立方厘米 【总结】考查正方体的表面积与体积的计算 【例6】 长方体的长、宽、高之比为 2 : 1 : 1,棱长总和是 80 厘米,把这个长方体截成两正 方体时,表面积增加了_ 【难度】 【答案】50 平方厘米 【解析】设长为 2x,宽为 x,高为 x,则有: (2x+x+x)4=80,解得:x=5, 所以长方体的长为:52=10cm;宽为 51=5cm;高
6、为 51=5cm, 当长方体被截成两个正方体时,即增加了两个面, 则增加的面积为:552=50 平方厘米 【总结】考查正方体的表面积问题,注意切割后表面积的变化 4 / 21 【例7】 要做一个棱长分别为 3 厘米、5 厘米和 7 厘米的无盖的长方体纸盒,最少需要多大 的纸?最多需要多大的纸? 【难度】 【答案】最少 107 平方厘米,最多 127 平方厘米 【解析】要使得需要的纸最少:即使得无盖的那一面面积最大,此时需要: (35+37)2+57=107 平方厘米; 要使得需要的纸最大:即使得无盖的那一面面积最小,此时需要: (37+57)2+35=127 平方厘米 【总结】考查长方体的表面
7、积的运算,注意对无盖的理解 【例8】 一根长为 36 分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子,这个长方体架子的 长、宽、高的长度均为整数分米,且互不相等,求这个长方体的体积 【难度】 【答案】12 立方分米或立方分米 15 或 24 立方分米 【解析】由题意可得,长宽高的和为 364=9,由题意有以下三种情况: 长、宽、高分别为:1、2、6,此时体积为:12 立方分米 长、宽、高分别为:1、3、5,此时体积为:15 立方分米 长、宽、高分别为:2、3、4,此时体积为:24 立方分米 【总结】考查长方体的体积,注意分类讨论 1、 长方体的直观图画法长方体的直观图画法:斜二侧画法斜二侧画法 水
8、平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤: 第一步: 画平行四边形 ABCD, 使 AB 等于长方体的长, AD 等于长方体宽的二分之一, 45DAB(如图 1 所示) 第二步:过 AB 分别画 AB 的垂线 AE、BF,过 C、D 分别画 CD 的垂线 CG、DH,使它 们的长度都等于长方体的高(如图 2 所示) 模块二:长方体直观图的画法 知识精讲知识精讲 5 / 21 第三步:顺次联结 E、F、G、H(如图 3 所示) 第四步:将被遮住的线段改用虚线(隐藏线)表示(如图 4 所示) 图 4 表示的长方体通常表示为 ABCD-EFGH它的六个面通常表示为:平面 ABCD、平 面 ABFE、平
9、面 BCGF 等它的十二条棱通常分别表示为:棱 AB、棱 AE、棱 EF 等 【例9】 图中长方体正确表示为( ) A长方体 ABCD B长方体 EFGH C长方体 AB D长方体 ABCD-EFGH 【难度】 【答案】D 【解析】长方体的表示方法必须表示出每一个点,并且按照一定的顺序来表示 【总结】考查长方体的表示方法 【例10】 要补全一个长方体的直观图,至少需要知道_条棱,这几条棱应该分别是 _ 【难度】 【答案】3;长、宽、高 【解析】知道长、宽、高,便能画出长方体的直观图 【总结】考查长方体的画法 例题解析例题解析 A B C D A B C D E F G H A B C D E
10、F G H A B C D E F G H 图 1 图 2 图 3 图 4 A B C D E F G H 6 / 21 【例11】 画一个棱长分别是 2 厘米、3 厘米、4 厘米的长方体 【难度】 【答案】见解析 【解析】画平行四边形 ABCD,使 AB 等于 4,AD 等于长方体宽的二分之一,即 1.5, 作45DAB(如图 1 所示); 过 AB 分别画 AB 的垂线 AE、BF,过 C、D 分别画 CD 的垂线 CG、DH,使它们的长 度都等于长方体的高(如图 2); 顺次联结 E、F、G、H,(如图 3 所示); 将被遮住的线段改用虚线(隐藏线)表示(如图 4) 图 4 即为所求的长
11、方体 ABCD-EFGH 【总结】考查长方体的斜二测画法,注意对画图语言的准确表示 【例12】 画一个棱长总和为 36 厘米的正方体 【难度】 【答案】见解析 【解析】由题可确定正方体棱长为 3612=3cm,根据斜二测画法要求即可 【总结】考查长方体的画法 A B C D A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E F G H 图 1 图 2 图 3 图 4 7 / 21 【例13】 补画下列各图,使它成为长方体(虚线部分表示被遮住的部分) 【难度】 【答案】见解析 【解析】如下图所示:原图中给的三条线一定分别是长宽高,按照图示补全即可 (1) (2)
12、 (3) (4) 【总结】考查长方体的画法,注意对所给的棱的准确分析 1、 长方体中长方体中棱与棱的位置关系棱与棱的位置关系 如图所示的长方体 ABCD-EFGH 中: 棱 EH 与棱 EF 所在的直线在同一平面内,它们有唯一的 公共点,我们称这两条棱相交相交 棱 EF 与棱 AB 所在的直线在同一平面内,但它们没有公 共点,我们称这两条棱平行平行 棱 EH 与棱 AB 所在的直线既不平行,也不相交,我们称这两条棱异面异面 空间两条直线有三种位置关系:相交相交、平行平行、异面异面 模块三:长方体中棱与棱位置关系的认识 知识精讲知识精讲 A B C D E F G H 8 / 21 【例14】
13、在如图所示的长方体中, 哪些棱与棱 AD 平行?哪些棱与 AD 相交?哪些棱与 AD 异面? 【难度】 【答案】见解析 【解析】与棱 AD 平行的棱有:棱 BC、棱 FG、棱 EH; 与棱 AD 相交的棱有:棱 AB、棱 AE、棱 DH、棱 DC; 与棱 AD 异面的棱有:棱 EF、棱 HG、棱 BF、棱 CG 【总结】考查棱与棱的位置关系 【例15】 在长方体中,每一条棱与_条棱平行,每一条棱与_条棱相交,每一条 棱与_条棱异面,互相平行的棱有_对,互相异面的棱有_对,相交的 棱有_对 【难度】 【答案】3;4;4;18;48;24 【解析】每一条棱与 3 条棱平行;每条棱与 4 条棱相交;
14、每条棱与 4 条棱异面; 每组互相平行的 4 条棱中,同一平面内互相平行的共有 4 对,异面平行的有 2 对; 因此共有: (4+2)3=18 对棱平行;与每一条棱异面的有 4 对,那么共有:124=48 对棱互相异面;因为每条棱与 4 条棱相交,剔除重复的部分,所以相交的棱共有: 4122=24 对 【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系,这些都是不变的,可以要求学生记住 【例16】 如图,在长方体 ABCDEFGH 中,填写下列各对线段所在直线的位置关系 (1)棱 AD 与 AG:_; (2)棱 DH 与 EG:_; (3)EG 与 BD:_; (4)棱 DC 与 DB:_ 【难度】 【
15、答案】见解析 【解析】 (1)相交; (2)异面; (3)异面; (4)相交 【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系 例题解析例题解析 A B C D E F G H A B C D E F G H 9 / 21 【例17】 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是_ 【难度】 【答案】平行或异面或垂直 【解析】在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行; 若没有强调同一平面,则垂直于同一直线的两直线可能异面,也可能垂直 【总结】考查直线的位置关系 【例18】 如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线, 那么这两条直线的位置关系是 _ 【难度】 【答案】见解析 【解析】平行或异面,由于是投影,
16、那么原两条直线未必在同一平面内,可能异面,只要满 足投影平行即可,可以让学生自己拿着笔,打开手电筒演示一下 【总结】考查两直线的位置关系 1、 长方体中长方体中棱与平面的位置关系棱与平面的位置关系 如图 1,直线 PQ 垂直于平面 ABCD,记作:直线 PQ平面 ABCD,读作:直线 PQ 垂 直于平面 ABCD 如图 2,直线 PQ 平行于平面 ABCD,记作:直线 PQ / 平面 ABCD,读作:直线 PQ 平行于平面 ABCD 模块四:长方体中棱与平面位置关系的认识 知识精讲知识精讲 A B C D P Q A B C D P Q 图 1 图 2 10 / 21 如图 4 所示的长方体
17、ABCD-EFGH 中: 棱 EF 与面 BCGF, 棱 FG 与面 ABFE, 棱 BF 与面 ABCD 都给我们以直线与平面垂直的 形象 棱 EF 与面 ABCD,棱 BF 与面 ADHE,都给我们以直线与平面平行的形象 2、 检验检验直线与平面是否垂直的方法直线与平面是否垂直的方法 “铅垂线”法、 “三角尺法” 、 “合页型折纸”法 3、 检验检验直线与平面是否平行的方法直线与平面是否平行的方法 “铅垂线”法、 “长方形纸片”法 【例19】 教室里的日光灯与地面的位置关系是_,桌腿与桌面的位置关系是_ 【难度】 【答案】见解析 【解析】 (1)平行; (2)垂直 【总结】考查直线与平面的
18、位置关系 【例20】 如图,在长方体 ABCD-EFGH 中: (1)与棱 DH 垂直的平面是_; (2)与棱 BC 平行的平面是_; (3)与平面 ADHE 垂直的棱是_; (4)与平面 EFGH 平行的棱是_; 【难度】 【答案】见解析 【解析】 (1)平面 ABCD、平面 EFGH; (2)平面 EFGH、平面 AEHD; (3)棱 AB、棱 EF、棱 HG、棱 DC; (4)棱 AB、棱 BC、棱 CD、棱 AD 【总结】考查直线与平面的位置关系,注意进行辨析 例题解析例题解析 A B C D E F G H 11 / 21 【例21】 铅垂线是垂直于_面的直线,用_法可以检验课桌的边
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