著名机构数学教案讲义六年级春季班第19讲：长方体的再认识-教师版-张于

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1、 1 / 17 长方体的再认识是初中数学六年级下学期第 4 章的内容通过本章的学习， 同学们需要掌握长方体的表示方法、 长方体直观图的画法， 理清长方体中棱与棱 的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，并要学会如何检验 直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面 是否平行的方法难点是相关的长方体的表面积和体积的计算 1、 长方体的元素长方体的元素 长方体有六个面面，八个顶点顶点，十二条棱棱 2、 长方体的元素特征长方体的元素特征 （1）长方体的每个面都是长方形 （2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等 （3）长方体的六个面可以分为三

2、组，每组中的两个面的形状和大小相同 3、 正方体是特殊的长方体正方体是特殊的长方体 长方体的再认识 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：长方体的元素 知识知识精讲精讲 2 / 17 【例1】 填空： （1）长方体有_个顶点； （2）长方体有_个面，每个面都是_，相对的两个面的面积_； （3）长方体共有_条棱，按棱的长短可分为_组，每组棱的长度相等，每组 有_条棱 【难度】 【答案】 【解析】 【例2】 判断： （1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（ ） （2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（ ） （3）长方体共有 6 个面；（ ） （4）长方体的六个面，至少有四

3、个面的形状、大小相同；（ ） （5）平面就是水平面；（ ） （6）水平面是平面（ ） 【难度】 【答案】 【解析】 【例3】 在长方体 ABCD EFGH 中，与棱 EF 相等的棱是（ ） A棱 AB、棱 CD、棱 GH B棱 AB、棱 AE、棱 BF C棱 GH、棱 EH、棱 FG D棱 BC、棱 CG、棱 GF 【难度】 【答案】 【解析】 例题解析例题解析 3 / 17 【例4】 用一根长为 100 厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为 5 厘米， 6 厘米和 7 厘米的长 方体架子，应该如何截取？材料够吗？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例5】 棱长总和是 24 厘米的正方体，它的表面积

4、为_，体积为_ 【难度】 【答案】 【解析】 【例6】 长方体的长、宽、高之比为 2 : 1 : 1，棱长总和是 80 厘米，把这个长方体截成两正 方体时，表面积增加了_ 【难度】 【答案】 【解析】 【例7】 要做一个棱长分别为 3 厘米、5 厘米和 7 厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大 的纸？最多需要多大的纸？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例8】 一根长为 36 分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的 长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积 【难度】 【答案】 【解析】 4 / 17 1、 长方体的直观图画法长方体的直观图画法：斜二侧画法

5、斜二侧画法 水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤： 第一步：画平行四边形 ABCD，使 AB 等于长方体的长，AD 等于长方体宽的二分之一， 45DAB（如图 1 所示） 第二步：过 AB 分别画 AB 的垂线 AE、BF，过 C、D 分别画 CD 的垂线 CG、DH，使它 们的长度都等于长方体的高（如图 2 所示） 第三步：顺次联结 E、F、G、H（如图 3 所示） 第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示（如图 4 所示） 图 4 表示的长方体通常表示为 ABCD-EFGH它的六个面通常表示为：平面 ABCD、平 面 ABFE、平面 BCGF 等它的十二条棱通常分别表示为：棱 AB

6、、棱 AE、棱 EF 等 模块二：长方体直观图的画法 知识知识精讲精讲 A B C D A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E F G H 图 1 图 2 图 3 图 4 5 / 17 【例9】 图中长方体正确表示为（ ） A长方体 ABCD B长方体 EFGH C长方体 AB D长方体 ABCD-EFGH 【难度】 【答案】 【解析】 【例10】 要补全一个长方体的直观图，至少需要知道_条棱，这几条棱应该分别是 _ 【难度】 【答案】 【解析】 【例11】 画一个棱长分别是 2 厘米、3 厘米、4 厘米的长方体 【难度】 【答案】 【解析】 【例1

7、2】 画一个棱长总和为 36 厘米的正方体 【难度】 【答案】 【解析】 【例13】 补画下列各图，使它成为长方体（虚线部分表示被遮住的部分） 【难度】 【答案】 【解析】 例题解析例题解析 A B C D E F G H 6 / 17 1、 长方体中长方体中棱与棱的位置关系棱与棱的位置关系 如图所示的长方体 ABCD-EFGH 中： 棱 EH 与棱 EF 所在的直线在同一平面内，它们有唯一的 公共点，我们称这两条棱相交相交 棱 EF 与棱 AB 所在的直线在同一平面内，但它们没有公 共点，我们称这两条棱平行平行 棱 EH 与棱 AB 所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面异面 空间

8、两条直线有三种位置关系：相交相交、平行平行、异面异面 【例14】 在如图所示的长方体中， 哪些棱与棱 AD 平行？哪些棱与 AD 相交？哪些棱与 AD 异面？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例15】 在长方体中，每一条棱与_条棱平行，每一条棱与_条棱相交，每一条 棱与_条棱异面，互相平行的棱有_对，互相异面的棱有_对，相交的 棱有_对 【难度】 【答案】 【解析】 模块三：长方体中棱与棱位置关系的认识 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 A B C D E F G H A B C D E F G H 7 / 17 【例16】 如图，在长方体 ABCDEFGH 中，填写下列各对线段所在直线的位

9、置关系 （1）棱 AD 与 AG：_； （2）棱 DH 与 EG：_； （3）EG 与 BD：_； （4）棱 DC 与 DB：_ 【难度】 【答案】 【解析】 【例17】 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是_ 【难度】 【答案】 【解析】 【例18】 如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线， 那么这两条直线的位置关系是 _ 【难度】 【答案】 【解析】 A B C D E F G H 8 / 17 1、 长方体中长方体中棱与平面的位置关系棱与平面的位置关系 如图 1，直线 PQ 垂直于平面 ABCD，记作：直线 PQ平面 ABCD，读作：直线 PQ 垂 直于平面 ABCD 如图 2，直线

10、 PQ 平行于平面 ABCD，记作：直线 PQ / 平面 ABCD，读作：直线 PQ 平行于平面 ABCD 如图 4 所示的长方体 ABCD-EFGH 中： 棱 EF 与面 BCGF， 棱 FG 与面 ABFE， 棱 BF 与面 ABCD 都给我们以直线与平面垂直的 形象 棱 EF 与面 ABCD，棱 BF 与面 ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象 2、 检验检验直线与平面是否垂直的方法直线与平面是否垂直的方法 “铅垂线”法、 “三角尺法” 、 “合页型折纸”法 3、 检验检验直线与平面是否平行的方法直线与平面是否平行的方法 “铅垂线”法、 “长方形纸片”法 【例19】 教室里的日光灯与

11、地面的位置关系是_，桌腿与桌面的位置关系是_ 【难度】 【答案】 【解析】 模块四：长方体中棱与平面位置关系的认识 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 A B C D P Q A B C D P Q 图 1 图 2 9 / 17 【例20】 如图，在长方体 ABCD-EFGH 中： （1）与棱 DH 垂直的平面是_； （2）与棱 BC 平行的平面是_； （3）与平面 ADHE 垂直的棱是_； （4）与平面 EFGH 平行的棱是_； 【难度】 【答案】 【解析】 【例21】 铅垂线是垂直于_面的直线，用_法可以检验课桌的边沿是否与地面 平行，用_法可以检验细棒是否与地面垂直 【难度】 【答案】

12、【解析】 【例22】 如图，用_法可以检验细棒是否与斜面垂直 【难度】 【答案】 【解析】 【例23】 在长方体中的每一条棱有_个平面和它垂直，每一个面有_条棱与它垂 直，每一条棱有_个平面和它平行，每一个面有_条棱与它平行 【难度】 【答案】 【解析】 【例24】 在长方体 ABCD-EFGH 中，AB = 3 厘米，BF = 5 厘米，与棱 AB 垂直的平面的面 积之和是 32 平方厘米，求这个长方体的表面积 【难度】 【答案】 【解析】 A B C D E F G H 10 / 17 1、 长方体中长方体中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 如下左图，平面垂直于平面，记作平面平面，

13、读作平面垂直于平面 如上右图，平面平行于平面，记作平面/平面，读作平面平行于平面 如图所示的长方体 ABCD-EFGH 中： 面 EFGH，面 ABFE 与面 BCGF 三个面中，任意两个都 给我们以平面与平面垂直的形象 面 ABCD 与面 EFGH，面 BCGF 与面 ADHE，面 ABFE 与面 DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象 2、 检验检验平面与平面是否垂直的方法平面与平面是否垂直的方法 “铅垂线”法、 “合页型折纸”法、 “三角尺”法 3、 检验检验平面与平面是否平面与平面是否平行平行的方法的方法 “长方形纸片”法 【例25】 如图，与平面 ABFE 垂直的平面有_，与平面

14、BCGF 平行的平面有 _ 【难度】 【答案】 【解析】 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 模块五： 长方体中平面与平面位置关系的认识 A B C D E F G H A B C D E F G H 11 / 17 C A B D E F 【例26】 下列结论正确的是（ ） A在长方体中，与其中的一个面垂直的面有 2 个 B在长方体中，与其中的一个面平行的面有 4 个 C长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有 6 条棱的长度相等 D长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行 【难度】 【答案】 【解析】 【例27】 如图，与面 ADHE 垂直的面有_ 【难度】 【答案】 【解析

15、】 【例28】 可以用_检验教室的墙面与地面是否垂直 可以用_检验衣橱里横向的两块隔板是否平行 【难度】 【答案】 【解析】 【例29】 如图， 是一个正方体的展开图， 在原正方体中， 与平面 C 垂直的平面是_ （用图中的字母表示） 【难度】 【答案】 【解析】 A B C D E F G H 12 / 17 【例30】 如图，在长方体 ABCD-EFGH 中，找出与平面 BCHE 垂直的平面，并找出现成的 合页型折纸，在图上用阴影部分表示 【难度】 【答案】 【解析】 【习题1】 正方体的棱长扩大 2 倍后，体积增大到原来的_倍 【难度】 【答案】 【解析】 【习题2】 在图中的长方体中：

16、 （1）从正面看，看不见的棱有_； （2）与棱 EH 相等的棱有_； （3）与平面 ADHE 相对的平面有_； （4）位于水平位置的平面有_ 【难度】 【答案】 【解析】 【习题3】 在长方体中，若两条棱没有公共点，则这两条棱的位置关系是_ 【难度】 【答案】 【解析】 随堂检测随堂检测 A B C D E F G H A B C D E F G H 13 / 17 A B C D E F G H 1 4 5 3 2 1 5 ? 3 【习题4】 下列说法正确的是（ ） A平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面 B长方体中棱与平面不是垂直就是平行 C若两条直线都平行于同一个平面，那么这两条

17、直线也平行 D长方体中任何一条棱都与两个平面平行 【难度】 【答案】 【解析】 【习题5】 如图所示的六面体中， AEFB 和 DHGC 是相同的直角梯形， 其余都是长方形， 则： （1）其中有_条棱与平面 ADHE 垂直； （2）其中有_条棱与平面 AEFB 垂直； （3）其中有_条棱与平面 ABCD 垂直； （4）其中有_条棱与平面 BFGC 垂直 【难度】 【答案】 【解析】 【习题6】 一个正方体的每个面上都标有数字 1、2、3、4、5、6，根据图中该正方体 A、B、 C 三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是（ ） A1 B2 C4 D6 【难度】 【答案】 【解析】 14 /

18、 17 【习题7】 长方体的总棱长是 72 厘米，它的长 : 宽 = 2 : 1，宽 : 高 = 2 : 3，这个长方体的 体积是_ 【难度】 【答案】 【解析】 【习题8】 把一块长是 50 厘米的长方体分成 2 : 3 两部分后，它的表面积增加了 300 平方厘 米，则分成的两块长方体木块的体积分别为_ 【难度】 【答案】 【解析】 【习题9】 小方制作了一个无盖的长方体木盒， 木盒的棱长分别为 3 厘米、 5 厘米和 8 厘米， 求这个木盒的表面积 【难度】 【答案】 【解析】 【习题10】 一个长方体的表面积是 88 平方厘米，这个长方体可以被分割为 5 个完全相同 的正方体，求这个长

19、方体的体积 【难度】 【答案】 【解析】 15 / 17 A B C D E F 【作业1】 长方体中经过同一顶点的面的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】 【解析】 【作业2】 如图，在一张长方形纸片 ABCD 对折后翻开所成的图形中： （1）与直线 DF 平行的直线是_； （2）与直线 EF 平行的直线是_； 与直线 EF 相交的直线是_； （3）与直线 AE 异面的直线是_； 与直线 BC 异面的直线是_ 【难度】 【答案】 【解析】 【作业3】 在长方体中，若两条棱异面，则与这两条棱都相交的棱（ ） A不一定存在 B有且只有一条 C可能有一条，也可能

20、有两条 D不止两条 【难度】 【答案】 【解析】 【作业4】 补画长方体： 【难度】 【答案】 【解析】 课后作业课后作业 16 / 17 A B C D E F G H 【作业5】 下列图形中，不能围成长方体的是（ ） A B C D 【难度】 【答案】 【解析】 【作业6】 如图，桌面上放着一本打开的书， （1）与桌面垂直的平面有哪几个？ （2）平面 ABFE 与平面 ABHG 是否垂直？ 【难度】 【答案】 【解析】 【作业7】 将一个长、宽、高分别为 2 厘米、2.5 厘米、3 厘米的长方体切割成一个体积最大 的正方体，则切割剩余部分的体积是_ 【难度】 【答案】 【解析】 【作业8】 将两个长是 5 厘米、宽是 4 厘米、高是 3 厘米的长方体重叠放置，它的表面积是 _ 【难度】 【答案】 【解析】 17 / 17 A B C D O E F P N M G H 【作业9】 12 个棱长为 1 厘米的正方体叠在一起， 成为一个长方体， 求这个长方体的表面积 【难度】 【答案】 【解析】 【作业10】 如图， 把一块长是108厘米的长方体木块的棱AE分成3 : 1的两段， 分点为M， 过点 M 按平行于面 ABCD 的方向把长方体分成两块后，表面积增加了 800 平方厘米， 这两块长方体的体积分别是多少？ 【难度】 【答案】 【解析】