著名机构数学教案讲义六年级春季班第16讲：线段的相等与和、差、倍-张教师版

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1、 1 / 16 A B 线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第 3 章第 1 节的内容重 点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系， 能用等式表示两条线段的和、 差、 倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线 段的中点的意义另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍， 并学会用作图语言描述画法 1、 线段的表示线段的表示 （1）可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点如图所示： 线段可以用表示端点的两个字母 A、B 表示，记作线段 AB （2）也可以用一个小写英文字母，如图所示： 线段可以用小写英文字母 a 表示，记作线段 a 2、 线段的大

2、小比较线段的大小比较 通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较” 线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法叠合法如下： 将线段 AB 移到线段 CD 的位置，使端点 A 与端点 C 重合，线段 AB 与线段 CD 叠合这时 端点 B 可能的位置情况如下表： 线段的相等与和、差、倍 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：线段的大小的比较 知识精讲知识精讲 a 2 / 16 a A B C 图形 点 B 的位置 符号表示 情况一 点 B 在线段 CD 上（C、 D 之间） 记作：AB AB） 情况二 点 B 与点 D 重合 记作：AB = CD 情况三 点 B 在线段 CD 的延

3、长 线上 记作：AB CD （或 CD CD 【总结】本题主要考察度量法和叠合法比较线段大小 【例11】 已知平面上有 4 个点，无三点共线，请问，这 4 个点可以构成多少条线段？若有 5 个点呢（其他条件不变）？若有 6 个点呢（其他条件不变）？若有 n 个点呢（其他 条件不变）？ 【难度】 【答案】6，10，15， 1 2 n n 【解析】过两点的线段有 1 条，过三点不在同一直线上的 4 点的线段有 4 3 2=6 条； 过任何三点都不在同一直线上的 5 点的线段有 5 4 2=10 条； 过任何三点都不在同一直线上的 6 点的线段有 6 5 2=15 条； 按此规律，由特殊到一般：平面

4、内有 n 个点且任意三点都不在同一直线上，一共可以画 的线段条数为 1 2 n n 【总结】本题主要考察线段的计数，注意不重复不遗漏 【例12】 已知一条直线上有 4 个点，则以这 4 个点为端点的线段有多少条？若有 5 个点呢 （其他条件不变）？若有 6 个点呢（其他条件不变）？若有 n 个点呢（其他条件不 变）？ 【难度】 【答案】6，10，15， 1 2 n n 【解析】当直线上有 4 个不同点，共有线段 6 条； 当直线上有 5 个不同点，共有线段 10 条； 当直线上有 6 个不同点，共有线段 15 条； 所以，一条直线上有 n 个不同的点时共有线段 1 2 n n 条 【总结】本题

5、主要考察线段的计数，综合性较强，要找出其中的规律，注意不重复不遗漏 6 / 16 a b 【例13】 图中共有多少条线段？ 【难度】 【答案】33 【解析】图中共有线段：3 2 2 4+5 4 2 2+1=33（条） 【总结】本题主要考察线段的计数，按照前面总结的规律去计算，注意不要遗漏 1、 线段线段的和的和（或差或差） 两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条 线段的长度的和（或差） 2、 线段线段的中点的中点 将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点 【例14】 如图，已知线段 a、b （1）画出一条线段，使它等于ab； （2）画出一条线段，使

6、它等于ba 【难度】 【答案】略 【解析】（1）如图所示，画线段 AC 使 AC=a，再延长 AC 至 B，使 BC=b，则线段 AB 即 为所求线段； （2）作线段 AM，在线段 AM 上截取 AC=b，在线段 CA 上截取 CB=b，则线段 AB 即 为所求线段 【总结】本题主要考察利用尺规作图作出线段的和差 模块二：画线段的和、差、倍 知识精讲知识精讲 例题解析例题解析 7 / 16 a b A B C D A B C 【例15】 如图，已知线段 a、b （1）画出一条线段，使它等于2a； （2）画出一条线段，使它等于2ab 【难度】 【答案】略 【解析】（1）如图所示，画线段 AB 使

7、 AB=a，再延长 AB 至 C，使 BC=a，则线段 AC 即为 所求线段； （2）作射线 AM，在射线 AM 上截取 AB=BC=a，在线段 CA 上截取 CD=b，则线段 AD 即为所求线段 【总结】 本题主要考察利用尺规作图作出线段的和差 【例16】 根据图形填空： （1）AD =_+ BC +_= AC + _= AB + _； （2）AB = AD -_； （3）AC = AD -_= BC +_ 【难度】 【答案】（1）AB，CD，CD，BD；（2）BD；（3）CD，AB 【解析】由图形可知，（1）AB，CD，CD，BD；（2）BD；（3）CD，AB 【总结】本题主要考察线段的和

8、差 【例17】 如图，已知点 C 是线段 AB 的中点，则 AC =_AB，AB = 2_= 2_， 1 2 AB _=_ 【难度】 【答案】 1 2 ，AC，BC，AC，BC 【解析】因为点 C 是线段 AB 的中点，所以 AC= 1 2 2AB，AB=2AC=2BC， 1 2 ABACBC 【总结】本题主要考察线段的中点的性质，注意找出线段间的数量关系 8 / 16 A B C D A B C D Q PBA 【例18】 如图， 已知点C是线段AB的中点， AC = 20， BD = 29， 则AB =_， DC = _ 【难度】 【答案】40，9 【解析】因为点 C 是线段 AB 的中点

9、，AC=20， 所以 AC=BC=20 AB=2AC=40 ，CD=BD-BC=29-20=9 【总结】本题主要考察线段的和差计算 【例19】 线段 AB = 2 厘米，延长线段 AB 至点 C，使得 BC = 2AB，则 AC =_厘米 【难度】 【答案】6 【解析】因为 AB = 2 厘米，BC = 2AB， 所以 BC=4 厘米， AC=AB+ BC=6 厘米 【总结】本题主要考察线段的和差计算，注意根据图新判断线段间的关系 【例20】 线段 AB = 2 厘米， 反向延长线段 AB 至点 C， 使得 BC = 3AB， 则 AC =_厘米 【难度】 【答案】4 【解析】因为 AB =

10、2 厘米，BC = 3AB，所以 BC = 6 厘米，AC = 2 AB，所以 AC = 4 厘米 【总结】本题主要考察线段的和差计算 【例21】 线段 AB = 2005 厘米，P、Q 是线段 AB 上的两个点，线段 AQ = 1200 厘米，线段 BP = 1050 厘米，那么线段 PQ =_厘米 【难度】 【答案】245 【解析】因为 AB = 2005，AQ = 1200，BP = 1050， 所以1200 10502005245PQAQBPAB厘米 【总结】本题主要考察线段的和、差，注意根据题意判定 P、Q 的相对位置 【例22】 如图， 线段AD = 90厘米， B、 C是这条线段

11、上的两点， AC = 70 厘米， 且 1 3 CDBC， 则 AB 的长为_ 【难度】 【答案】10 厘米 【解析】因为 AD = 90 厘米，AC = 70 厘米， 所以 CD = AD-AC = 20 厘米， 因为 1 3 CDBC，所以 BC = 60 厘米， 因为 AC = AB +BC，所以 AB = 10 厘米 9 / 16 A B A B C D E A B C D E 【例23】 如图，已知 D 为线段 AB 的中点，E 为线段 BC 的中点，若 AC = 12，EC = 4， 求线段 AD 的长度 【难度】 【答案】2 【解析】因为 E 为线段 BC 的中点， 所以 EC

12、=EB， 因为 EC = 4，所以 BC=2EC=8， 因为 AC = 12， 所以 AB = AC -BC = 12- 8=4， 因为 D 为线段 AB 的中点，所以 AD= 1 2 AB=2 【总结】本题主要考察线段的和差计算，注意判定线段间的数量关系 【例24】 如图点 A、B、C、D、E 在同一条直线上，已知 AB = a，AD = b，CD = c，CE = d， 用含 a、b、c、d 的式子表示 BC、DE 的长 【难度】 【答案】BCbac；DEdc 【解析】由条件知，BCADABCDbac；DECECDdc 【总结】本题主要考察线段的和差计算 【例25】 两条长度不等的线段，它

13、们的长度和为 a，一条线段的 2 倍等于另一条线段的 3 倍，求这两条线段的长度差（结果用 a 表示） 【难度】 【答案】 1 5 a 【解析】设长线段长度为 3x，则短线段长度为 2x； 由题意得，3x+2x=a， 解得：x= 1 5 a； 则这两条线段的长度差为 1 32 5 xxxa 【总结】本题主要考察线段的和差，注意利用方程的思想去求解 【例26】 已知线段 AB，用直尺、圆规作出它的中点 C 【难度】 【答案】略 【解析】以端点 A 为圆心，大于线段 AB 的二分之一长度为半径，画弧；然后以 B 为圆心， 相同长度为半径画弧，两弧交点的连线与已知线段的交点就是线段中点 C 【总结】

14、本题主要考察利用尺规画图作出线段的中点 10 / 16 A B C D 【例27】 两条线段的长度分别为 6 和 8， 使这两条线段在同一直线上， 并有一个端点重合， 求这两条线段的中点所确定的线段的长度 【难度】 【答案】1 或 7 【解析】当两条线段的端点在重合端点的同一侧时，所求线段的长度为（8-6） 2=1； 当两条线段的端点在重合端点的两侧时，所求线段的长度为（8+6） 2=7 【总结】本题主要考察线段的和差，注意分类讨论 【例28】 如图， 点 A、 B、 C、 D 在同一条直线上， 已知 2 1 AC CD ， 3 5 AB BD ， 求 AB : BC : CD 【难度】 【答

15、案】AB : BC : CD=9:7:8 【解析】因为 3 5 AB BD , 所以设 AB=3x，则 BD=5x，AB=8x； 因为 2 1 AC CD ， 所以 18 33 CDADx， 216 33 ACADx， 所以 167 3 33 BCACABxxx， 所以 AB : BC : CD= 78 3 :9:7:8 33 xxx 【总结】本题主要考察线段的和与差，注意利用比例的关系进行求解 【例29】 在直线上顺次排列的四个点 A、B、C、D 满足 AB : BC : CD = 2 : 3 : 4，AB 的中 点 M 点与 CD 的中点 N 点的距离是 3 厘米，求 BC 的长 【难度】

16、 【答案】1.5 厘米 【解析】根据题意，设 AB=2x，则 BC=3x，CD=4x， 因为点 M 是 AB 的中点，点 N 是 CD 的中点， 所以 BM=x，CN=2x， 因为 MN=MB+BC+CN， 所以 MN=6x， 因为 MN=3， 所以 6x=3，x=0.5， 即 BC =1.5 厘米 【总结】本题主要考察线段的和差，注意利用方程的思想去解决 11 / 16 A B C D E 【例30】 如图，线段 AB = BC = CD = DE = 1 厘米，那么图中所有线段的长度之和等于多 少？ 【难度】 【答案】20 厘米 【解析】图中共有 10 条线段，其中 AB = BC = C

17、D = DE = 1 厘米，AC = BD = CE= 2 厘米， AD = BE= 3 厘米，AE= 5 厘米，所以所有线段的长度之和等于 20 厘米 【总结】本题主要考察线段的和差倍，注意找出所有的线段来 【习题1】 用叠合法比较线段 AB 与线段 CD 的大小，把点 A 与点 C 重合，当点 B 在线段 CD 上，则 AB_CD；若点 B 在线段 CD 的延长线上，则 AB_CD；如点 B 与 点 D 重合，则 AB_CD 【难度】 【答案】，= 【解析】利用叠合法比较线段大小 【总结】本题主要考察叠合法比较线段大小 【习题2】 把一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是_ 【难度

18、】 【答案】两点之间线段最短 【解析】两点之间线段最短 【总结】本题主要考察线段的性质 【习题3】 判断下列语句是否正确： （1）点 A 与点 B 的距离就是线段 AB；（ ） （2）若线段 AM 与线段 BM 相等，则 M 是线段 AB 的中点（ ） 【难度】 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）线段 AB 的长度是点 A 与点 B 之间的距离； （2）当点 M 在线段 AB 上时，且线段 AM 与线段 BM 相等，则 M 是线段 AB 的中点 【总结】本题主要考察线段的性质及线段的中点 随堂检测随堂检测 12 / 16 A B C D E F 【习题4】 如果点 M 在线段 AB 上，

19、 那么下列各式中不能说明点 M 为线段 AB 中点的语句是 （ ） A 1 2 AMAB B2ABBM CAMBM DAMMBAB 【难度】 【答案】D 【解析】因为 1 2 AMAB， 2ABBM，AMBM，均能说明点 M 为线段 AB 中点， 而AMMBAB，则不能，故选 D 【总结】本题主要考察两点间的距离，掌握线段中点的概念是关键 【习题5】 找出图中的所有线段，并将它们表示出来 【难度】 【答案】线段 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF 【解析】图中的线段有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，

20、DE， DF，EF，共有线段 15 条 【总结】本题主要考察线段的含义，注意不要遗漏 【习题6】 已知 M 是线段 AB 上的一点，点 C 是线段 AM 的中点，点 D 是线段 MB 的中点， AM = 8 厘米，MD = 2 厘米，则 BC =_厘米 【难度】 【答案】8 【解析】由条件知：AM=2AC=2CM， BM=2DM=2BD， 因为 AM = 8 厘米，MD = 2 厘米， 所以 CM =4 厘米，BM =4 厘米，BC =8 厘米 【总结】本题主要考察线段的和差倍，注意掌握线段间的数量关系 13 / 16 a c b 【习题7】 已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，

21、使 1 2 BCAB，反向延长 AB 到 D， 使 1 4 ADBD，则线段 CD = _cm 【难度】 【答案】11 【解析】因为 1 2 BCAB, 1 4 ADBD, AB = 6 cm， 所以 BC=3 cm，AD=2 cm，所以 CD =11 cm 【总结】本题主要考察线段的和差倍，关键是正确画图，准确找出线段间的关系 【习题8】 已知线段 a、b、c，画出线段 AB 使 1 2 2 ABabc 【难度】 【答案】略 【解析】 如图所示，画线段 AC 使 AC=CD=a，再延长 AD 至 E，使 DE=b；在线段 AE 上截 取 1 2 EBc，则线段 AB 即为所求线段； 【总结】

22、本题主要考察线段的和差倍 【习题9】 已知在平面上有 10 个点，无三点共线，请问这 10 个点可以构成多少条线段？ 【难度】 【答案】45 条 【解析】可以构成线段 10 9 2=45（条） 【总结】本题主要考察线段的计数，注意不重复不遗漏，找出相应的规律 【习题10】 在直线上有两点 A、B，它们的距离等于 10，在该直线上另有一点 P，P 到 A、 B 的距离之和为 12，请判断点 P 与点 A 的位置关系 【难度】 【答案】点 P 在线段 AB 延长线上时，AP=11；点 P 在线段 BA 延长线上时，AP=1 【解析】由条件知，AB=10，AP+BP=12， 当点 P 在线段 AB

23、延长线上时， AP=11； 当点 P 在线段 BA 延长线上时， AP=1 【总结】本题主要考察两点间的距离，综合性较强，注意分类讨论，正确画图很重要 14 / 16 A B C D A B C 【作业1】 下列语句错误的是（ ） A线段 AB 和线段 BA 是同一条线段 B射线 AB 和射线 BA 不是同一条射线 C“延长线段 AB 到点 C”与“延长线段 BA 到点 C”意义相同 D直线不能比较大小 【难度】 【答案】C 【解析】“延长线段 AB 到点 C”与“延长线段 BA 到点 C”方向不同，意义也不一样； 故选 C 【总结】本题主要考察直线、射线、线段的特征 【作业2】 比较下列各图

24、中线段 AB 与 CD 的大小 【难度】 【答案】ABCD，ABCD 【解析】分别将线段 AB 移到线段 CD 的位置， 使端点 A 与端点 C 重合，线段 AB 与线段 CD 叠合； 这时端点 B 都在的线段 AB 延长线上，所以 ABCD 【总结】本题主要考察线段的比较大小，度量法和叠合法 【作业3】 如图，直线上有 A、B、C 三点，图中共有_条射线，_条线段 【难度】 【答案】6，3 【解析】由图可知，图中共有 6 条射线：以 A、B、C 为端点的射线分别有 2 条，共 6 条； 图中共有 3 条线段分别是：AB，AC，BC 【总结】本题主要考察射线、线段的定义，注意不重复，不遗漏 课

25、后作业课后作业 A B C D 15 / 16 【作业4】 线段 AB = 1 8 2 厘米，点 C 是线段 AB 的中点，则线段 BC =_厘米 【难度】 【答案】 17 4 【解析】因为点 C 是线段 AB 的中点，AB = 1 8 2 厘米， 所以 117 = 24 BCAB厘米 【总结】本题主要考察线段的中点所具有的性质，注意分数的计算 【作业5】 延长线段AB至点C， 使 1 3 B CA B， D是AC的中点， 若DC = 2厘米， 则AB =_ 厘米 【难度】 【答案】3 【解析】因为 D 是 AC 的中点，DC = 2 厘米， 所以 AC = 2DC = 4 厘米， 因为 1

26、3 BCAB, 所以 3 3 4 ABAC厘米 【总结】本题主要考察线段的倍分运算，注意找出线段间的数量关系来 【作业6】 已知线段 AB，点 D 为线段 AB 的中点，延长线段 AB 到 C，使点 B 为线段 AC 的 中点，反向延长线段 AB 到 E，使得点 A 为线段 DE 的中点，则 BC =_AE 【难度】 【答案】2 【解析】因为点 A 为线段 DE 的中点， 所以 DE=2AE 因为点 D 为线段 AB 的中点，B 为线段 AC 的中点， 所以 BC =AB=DE，即 BC=2AE 【总结】本题主要考察线段的中点，关键是正确画图 【作业7】 延长线段 AB 到 C，使 AC =

27、3AB，在 AB 反向延长线上取一点 D，使 AD = AB， 若点 E 是 AB 的中点，DE = 7.2 cm，求 CD 的长 【难度】 【答案】19.2 cm 【解析】因为点 E 是 AB 的中点，AD = AB，所以 AB=AD =2AE，所以 DE=3AE， 因为 DE = 7.2 cm， 所以 AE = 2.4 cm， AB= 4.8 cm， 因为 AC = 3AB， 所以 CD =4AB = 19.2 cm 【总结】本题主要考察线段的和差倍的相关计算，注意进行分析 16 / 16 A B C D E 【作业8】 如图，已知 AE = 14 cm，B 为 AE 上一点，且 AB :

28、 BE = 3 : 4，C 为 AE 中点，D 为 BE 中点，求线段 CD 的长 【难度】 【答案】3 cm 【解析】因为 AB : BE = 3 : 4，所以设 AB=3x，则 BE=4x，AE=7x， 因为 AE = 14 cm， 所以 x =2 cm，所以 AB=6 cm， BE=8 cm， 因为 C 为 AE 中点，D 为 BE 中点， 所以 CE= 1 2 AE=7 cm， DE= 1 2 BE=4 cm， 所以743CDCEDEcm 【总结】本题主要考察线段的和差计算，注意找出线段间的关系 【作业9】 已知 A、B、C 为一直线上三点，且 AB = 10 cm，BC = 20 cm，则 AC 的长度为多 少？ 【难度】 【答案】30 cm 或 10 cm 【解析】当点 A、C 在点 B 两侧时，AC=AB+BC=30 cm； 当点 A、C 在点 B 同侧时，AC=BC - AB=10 cm 【总结】本题主要考察线段的和差，注意分类讨论，综合性较强 【作业10】 在直线 l 上有 100 个点，以这 100 个点为端点的线段有多少条？ 【难度】 【答案】4950 【解析】以这 100 个点为端点的线段有：100 99 2 = 4950（条） 【总结】本题主要考察线段的计数，注意不重复，不遗漏