著名机构数学教案讲义六年级春季班第11讲：一元一次不等式（组）及其解法-教师版

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1、 1 / 22 一元一次不等式（组）是初中数学六年级下学期第 2 章第 3 节的内容本讲 的重点是理解不等式的概念及其性质，并利用性质解不等式及不等式组 1、 不等式的概念不等式的概念 用不等号“”、“ b，那么 a + m b + m；如果 a b，那么 am bm（或 ab mm ）；如果 a ”或“”） 如果ab，则 2 1ma_ 2 1mb； 如果ab，则 2 1 a m _ 2 1 b m 【难度】 【答案】； 【解析】因为01 2 m，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变；因为01 2 m，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等 号的方向不变

2、 【总结】考察不等式的性质的运用 例题解析例题解析 3 / 22 【例4】 用不等式表示下列语句： （1）x 的 2 倍与 3 的差的相反数是正数； （2）a 与 b 两数和的平方不大于 100； （3）x 的 1 4 与 x 的 5 倍的和是非负数； （4）x 除以 3 的商加上 4，至多等于 8 【难度】 【答案】（1）032x；（2）100 2 ba；（3）05 4 1 xx；（4）84 3 x 【解析】 “不大于”可以转换为“” ； “至多”可以转换为“” 【总结】考察不等式的表示方法，注意对关键字的理解 【例5】 根据不等式的性质，把下列不等式表示为“xa”或“xa”的形式 （1）8

3、72xx； （2） 1 6 3 x ； （3）59x； （4）122x 【难度】 【答案】（1）2x；（2）18x；（3） 5 9 x；（4） 2 1 x 【解析】利用不等式的基本性质进行加减乘除，则可得到答案 【总结】考察不等式的基本性质的运用 【例6】 比较下列各对数的大小 （1）若 m n，比较 2 3 3 m和 2 3 3 n的大小； （3）比较 2 321xx和 2 323xx的大小 【难度】 【答案】（1）mm32；（2）3 3 2 3 3 2 nm；（3） 22 321323xxxx 【解析】 （1）因为32 ，m n，所以 nm 3 2 3 2 ，所以3 3 2 3 3 2 n

4、m； （3）因为31，所以 22 321323xxxx 【总结】考察不等式的基本性质的运用 4 / 22 【例7】 比较ab和ab的大小 【难度】 【答案】见解析 【解析】当bb即0b时，baba； 当bb即0b时，baba； 当bb即0b时，baba 【总结】考察不等式性质的用法，注意分类讨论 1、 不等式的解和解集不等式的解和解集 在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解不等式的解 不等式的解的全体叫做不等式的解集不等式的解集 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如： 不等式 x 3 的解集在数轴上的表示如下： 不等式2x 的解集在数轴上的表示如下： 不等式2

5、3x 的解集在数轴上的表示如下： 模块二：一元一次不等式的解法 知识精讲知识精讲 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 / 22 -5-4-3 -2 -1 54 3 21 0 注：-1上面的点是空心点 01 2 34 5 -1 -2-3 -4-5 注：-1上面的点是空心点 -5-4-3 -2 -1 54 3 21 0 2、 解不等式解不等式 求不等式的解集的过程叫做解不等式解不等式 3、 一元一次不等式及其解法一元一次不等式及其解法 只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号

6、； （3）移项； （4）化成axb（或axb等）的形式（其中0a ）； （5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集 【例8】 检验 3，3是否是不等式3212xx 的解 【难度】 【答案】3 不是不等式的解；-3 是不等式的解 【解析】将 3 代入不等式中，可得不等式不成立，则 3 不是不等式的解；将-3 代入不等式 中不等式成立，则-3 是不等式的解 【总结】考察不等式解的定义 【例9】 把下列不等式的解集在数轴上表示出来 （1）2.5x ； （2）1x ； （3）14x 【难度】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】考察数轴上不等式的表示 例题解析例题解析 6 / 22 【例10

7、】 根据数轴上表示的不等式的解集，写出满足条件的不等式 （1） （2） 【难度】 【答案】（1）答案有无数个，例如42x； （2）答案有无数个，例如224x 【解析】 （1）由数轴可知解集为2x，则可写成不等式为42x； （2）由数轴可得解集为12x，则可写出不等式为224x 【总结】考察不等式的解集的定义 【例11】 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A21xy B720 C323xx D 2 4 x 【难度】 【答案】C 【解析】A 答案中有两个未知数；B 答案中没有未知数；D 答案中有分式所以均不是一元 一次不等式 【总结】考察一元一次不等式的概念 【例12】 填空： （1）满足

8、不等式5x 的最大整数解是_； （2）满足不等式4x 的非负整数解是_ 【难度】 【答案】（1）4；（2）0，1，2，3，4 【解析】 （1）满足不等式5x 的最大整数解是 4； （2）满足不等式4x 的解集为44x，其中非负整数解为 0，1，2，3，4 【总结】考察不等式整数解的求法，注意看清题目的要求 【例13】 填空：不等式315x 的解集是_； 不等式315x 的解集是_ 【难度】 【答案】5x；5x 【解析】不等式315x 的两边同时除以 3 可得解集为5x； 不等式315x 的两边同时除以-3 可得解集为5x 【总结】考察不等式的解集的确定 0 1 0 1 7 / 22 【例14】

9、 解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： （1）33 2 x ； （2）2540.5xx ； （3）32 1 251xxx 【难度】 【答案】（1）0x；（2） 2 7 x； （3） 2 7 x；数轴上的表示见解析 【解析】 （1）移项可得：0 2 x ，解得：0x； （2）去括号可得：2452xx，移项可得72 x，解得： 2 7 x； （3）去括号可得：55423xxx，移项可得72 x，解得： 2 7 x 【总结】考察不等式的解法和数轴上解集的表示方法 【例15】 解下列不等式： （1） 21 3 26 x x ； （2） 121 18 0.50.25 xx ； （3） 0.

10、020.030.50.1 0.020.3 xx 【难度】 【答案】（1）6x； （2） 5 8 x； （3） 19 4 x -5-4-3 -2 -1 54 3 21 0 注：-3.5上面的点是空心点 01 2 34 5 -1 -2-3 -4-5 -5-4-3 -2-1 5 4 3 210 8 / 22 【解析】（1）两边同时乘以 6 可得：xx2318， 去括号可得：xx6318，移项可得：244 x，解得：6x 不等式的解集为6x； （2）两边同时乘以 0.5 可得：91221xx 去括号可得：9241xx，移项可得：85 x，解得： 5 8 x 不等式的解集为 5 8 x； （3）不等式可

11、变形为 3 15 2 32 xx ，两边同时乘以 6 可得：152323xx 去括号可得：21096xx，移项可得：419x，解得： 19 4 x 不等式的解集为 19 4 x 【总结】考察不等式的解法 【例16】 求满足不等式 11 1 36 yy 的非负整数解 【难度】 【答案】0、1、2、3 【解析】不等式两边同时乘以 6 可得： 6112yy， 去括号可得：6122yy，移项可得：3y， 则满足不等式的非负整数解为 0、1、2、3 【总结】考察不等式的解法，注意最终求得是非负整数解 【例17】 已知不等式52186117xx的最小整数解是方程24xax的解，求 a 的值 【难度】 【答

12、案】4a 【解析】不等式去括号可得：176618105xx，移项可得：3x，解得：3x， 则不等式的最小整数解为2x， 所以-2 是方程24xax的解，则424a，解得：4a 【总结】考察不等式的解法和方程解的定义，综合性较强，认真分析 9 / 22 【例18】 解不等式： 11 3151 11 xx xx 【难度】 【答案】1x且1x 【解析】两边同时减去 1 1 x 可得：1513xx，移项整理可得：22 x，解得：1x， 而01x，所以1x，所以不等式的解集为1x且1x 【总结】考察不等式的解法注意要考虑分母不能为 0 1、 一元一次不等式组一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一次

13、不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组一元一次不等式组 2、 不等式组的解集不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分公共部分叫做这个不等式组的解集不等式组的解集 3、 解不等式组解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组解不等式组 4、 解一元一次不等式组的一般步骤解一元一次不等式组的一般步骤 （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集； （3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集 模块三：一元一次不等式组 知识精讲知识精讲 10 / 22 【例19】 利用数轴确定下列不等式组的解集： （1） 2 2 x x ； （2） 2

14、 2 x x ； （3） 2 2 x x ； （4） 2 2 x x ； （5） 2 1 2 x x x 【难度】 【答案】（1）2x；（2）2x；（3）22x；（4）无解；（5）21 x 【解析】由数轴可得解集 【总结】不等式组的解集规律是： “同大取大，同小取小，一大一小取中间” 【例20】 若 a 3，则 a 的取值范围是_ 【难度】 【答案】3a 【解析】根据“同大取大”的原则可知3a 【总结】考察不等式组的解法及其不等式组的解集的运用 【例25】 解不等式组： （1） 35 311 52 0.50.40.41.5 x xx xx ； （2） 37173 4 1025 7 364 17

15、1153 xxx xxx ； （3） 2131 13 33 11 54 45 xx x xx 【难度】 【答案】（1） 4 5 x； （2）无解； （3） 2 1 2 3 x 【解析】 （1）不等式左右两边同时乘以 10 可得：102532130xxx， 移项整理可得：467x，解得： 7 46 x， 不等式两边同时乘以 10 可得：15445xx， 移项整理可得：108 x，解得： 4 5 x， 所以不等式组的解集为 4 5 x； 13 / 22 （2）不等式左右两边同时乘以 10 可得：xxx372401573， 移项整理可得：184 x，解得： 2 9 x， 不等式去括号可得：15511

16、4684221xxx， 移项整理可得：022 x，解得：0x，所以不等式组无解； （3）不等式左右两边同时乘以 3 可得：129313xxx， 移项整理可得：64 x，解得： 2 3 x， 不等式两边同时乘以 20 可得： 4 14 5 15 xx ， 去括号移项整理可得：12 x，解得： 2 1 x， 所以不等式组的解集为 2 1 2 3 x 【总结】考察不等式组的解法，注意对不等式组的解集的准确理解 【例26】 解不等式组： （1） 3541 121 4 23 22 xx x xx ； （2） 27 3 3 218 3 131 2 x x xx x x ； （3） 31212 1 14 2

17、 13 45 xx xx xx 【难度】 【答案】（1）6 3 5 x； （2）61 x； （3）17x 【解析】 （1）不等式可得：6x， 不等式可变为： 2 2 21 324 1324 2 1 xx x x ，由（1）可得： 3 5 x；由（2）可得： 5 24 x， 所以不等式组的解集为6 3 5 x； （2）解不等式可得：1x，解不等式可得6x，解不等式可得1x， 所以原不等式组的解集为61 x； （3）解不等式可得：3x，解不等式可得10x，解不等式可得17x， 所以原不等式组的解集为17x 【总结】考察不等式组的解法，注意不等式组的解集是各个不等式的解集的公共部分 14 / 22

18、【例27】 求使方程组 2 4563 xym xym 的解 x、y 都是正数的 m 的取值范围 【难度】 【答案】 5 7 2 m 【解析】将第一个方程乘以 4 与第二个方程相减可得：52 my， 代入第一个方程可得：mx 7， 因为 x、y 都是正数，所以 052 07 m m ，解得：7 2 5 m 【总结】考察方程组和不等式组的解法，注意对题意的正确理解 【例28】 若不等式组 22 24 xa xa 无解，求 a 的取值范围 【难度】 【答案】2a 【解析】不等式可得：22 ax；不等式可得：24 ax， 因为不等式组无解，所以2224aa，解得：2a 【总结】考察不等式组的解法以及对

19、不等式组无解的理解 【例29】 不等式组 2 1 xab xab 的解集是32x ，求 2017 ab的值 【难度】 【答案】-1 【解析】不等式可得：2bax；不等式可得：1bax， 因为不等式组的解集是32x ，所以 21 32 ba ba ，解得： 1 0 b a ， 所以 20172017 11ab 【总结】考察不等式组的解法及对不等式组的解集的理解和运用 15 / 22 【例30】 当37a，59b时，下列各不等式是否成立？为什么？ （1）816ab； （2）62ab ； （3）1563ab； （4） 5 3 7 b a 【难度】 【答案】都成立理由见解析 【解析】 （1）因为73

20、a，所以bbab73， 因为95b，所以1238b，16712b，所以816ab； （2）因为73 a，所以bbab73， 因为95b，所以59b， 所以236b，272b，所以62ab ； （3）因为73 a，0b，所以babb73， 因为95b，所以27315 b，63735 b，所以1563ab； （4）因为59b，0a，所以 aa b a 95 ， 因为37a，所以 111 73a ，所以 555 73a ， 99 3 7a ，所以 5 3 7 b a 【总结】考察不等式的性质的综合运用 【习题1】 已知1a ，在下列各式中错误的是（ ） A10a B0a C21aa D32aa 【难

21、度】 【答案】D 【解析】D 答案可得：0a，不符合1a 【总结】考察不等式的解集 随堂检测随堂检测 16 / 22 【习题2】 如图，数轴表示的解集是不等式组（ ） A 2 3 x x B 2 3 x x C 2 3 x x D 2 3 x x 【难度】 【答案】D 【解析】注意左边的是实心点，右边的是空心点 【总结】考察不等式组的解法 【习题3】 用不等式表示： （1）x 与 y 的一半的和是非负数； （2）a 的 3 倍与 b 的 10 倍的和不等于 6； （3）比 b 的 18%少 19 的数比 19 小 【难度】 【答案】（1）0 2 y x；（2）6103ba；（3）191918b

22、 【解析】考察不等式的表示 【习题4】 满足不等式5213x 的所有整数解的和等于_ 【难度】 【答案】2 【解析】不等式变形为 312 512 x x ，解得：22x ， 则不等式的整数解为21 0 1、 、，则其和为2 【总结】考查不等式的解法，注意对整数解的理解 【习题5】 已知关于 x 的不等式组 2x xa 的解集是2ax，则 a 的取值范围是（ ） A2a B2a C2a D2a 【难度】 【答案】B 【解析】考察对等式组的解集的理解 17 / 22 【习题6】 解不等式： （1） 212567 234 xxx ； （2） 11 4350 23 xx 【难度】 【答案】（1） 14

23、 5 x； （2） 14 11 x 【解析】 （1）不等式两边同时乘以 12 可得：763524126xxx， 去括号移项可得：514 x，解得： 14 5 x， 所以不等式组的解集为 14 5 x； （2）不等式两边同时乘以-2 可得：05 3 1 34xx， 去括号移项可得：11 14 33 x ，解得： 14 11 x ， 所以不等式组的解集为 14 11 x 【总结】考察不等式的解法，注意对性质的准确运用 【习题7】 解不等式组： （1） 51263 2 14 52 33 xx xx ； （2） 2211 2 3 224 2 x x xx 【难度】 【答案】（1）5x； （2）010x

24、 【解析】 （1）解不等式可得： 4 3 x， 解不等式两边乘以 3 可得：xx126154， 去括号移项整理可得：153 x，解得：5x， 所以不等式组的解集为5x； （2）解不等式可得：10x，解不等式可得：0x， 所以不等式组的解集为010x 【总结】考察不等式组的解法，注意对不等式组的解集的准确理解 18 / 22 【习题8】 a 取什么负整数时，关于 x 的方程28xa的解是正整数 【难度】 【答案】246、 【解析】解方程可得： 2 8a x 方程的解为正整数，所以0 2 8 a ，解得：8a， 因为 a 取负整数，且方程的解为正整数， 所以 a 的值可取246、 【总结】考察一元

25、一次方程的解法和整数解的讨论方法 【习题9】 如果不等式 20.5 32 xa 与5 120xa的解集完全相同，求 a 及不等式的解 集 【难度】 【答案】5a；不等式的解集为4x 【解析】不等式两边同时乘以 6 可得：ax35 . 022， 去括号移项可得134 ax，解得： 4 13 a x， 不等式去括号移项可得：255ax，解得： 5 25 a x， 因为不等式的解集相同，所以 5 25 4 13 aa ， 解得：5a，不等式的解集为4x 【总结】考察对不等式的解集的运用及理解 【习题10】 如果关于 x 的不等式30xa的正整数解是 1、 2， 那么 a 的取值范围是多少？ 【难度】

26、 【答案】96 a 【解析】不等式的解集为 3 a x ，因为不等式的正整数解是 1、2，所以3 3 2 a ， 解得：96 a 【总结】考察不等式的解法及对正整数解得准确理解及运用 19 / 22 【作业1】 由 x ay，则 a 应满足（ ） A0a B0a C0a D0a 【难度】 【答案】A 【解析】不等号方向改变，则 a 为负数 【总结】考察不等式的性质 【作业2】 满足不等式337xx的最小整数为_ 【难度】 【答案】-1 【解析】解不等式可得：2x，则其最小的整数为-1 【总结】考察不等式的解法和整数解 【作业3】 （1）不等式组 2 3 x x 的解集是_； （2）不等式组 2

27、 2 x x 的解集是_ 【难度】 【答案】（1）3x；（2）22x 【解析】考察不等式组的解集的求法 【作业4】 用不等式表示： （1）比 m 的 30%少 11 的数是负数； （2）a 与 b 的平方和的相反数不为正数； （3）a 的 40%与 b 的 70%的差至少为 1000 【难度】 【答案】（1）01130m；（2）0 22 ba；（3）10007040ba 【解析】 “不为正数”可以转换为“0” ； “至少为 1000”可以转换为“1000” 【总结】考察不等式的表示方法 课后作业课后作业 20 / 22 【作业5】 已知01a，则下列各式中正确的是（ ） A 1 1a a B

28、1 1a a C 1 1a a D 1 1a a 【难度】 【答案】C 【解析】取 2 1 a，则 2 1 a，2 1 a ，所以 a a 1 1 【总结】比较有理数的大小 【作业6】 解不等式： （1） 31121 1 423 xxx ； （2） 41.550.51.2 0.50.20.1 xxx 【难度】 【答案】（1） 11 23 x；（2） 14 25 x 【解析】 （1）不等式左右两边乘以 12 可得：124161219xxx 去括号移项可得：2311 x，解得： 11 23 x，所以不等式的解集为 11 23 x； （2）方程两边同时乘以 1 可得：xxx2 . 1105 . 05

29、55 . 142 去括号移项可得：5 .127 x，解得： 14 25 x，所以不等式的解集为 14 25 x 【总结】考察不等式的解法，注意性质的准确运用 【作业7】 求不等式组 350 17 743 3 x xx 的整数解 【难度】 【答案】2、3、4、5 【解析】解不等式可得： 3 5 x，解不等式可得：6x， 所以不等式组的解集为6 3 5 x，则整数解为 2、3、4、5 【总结】考察不等式组的解法，注意题目中求的是不等式组的整数解 21 / 22 【作业8】 解不等式组： （1） 1631 143 422 x xx ； （2） 11 14 1010 37 2 x xx x x 【难度

30、】 【答案】（1）13x； （2）8x且10x 【解析】 （1）不等式组可转换为： 163 1 42 631 43 22 x x x x 不等式两边同时乘以 4 可得：3624xx 去括号移项整理可得：1011 x，解得： 11 10 x 不等式两边同时乘以 2 可得：13836xx 去括号移项整理可得：262 x，解得：13x 所以不等式组的解集为13x （2）不等式可转换为：41x且010 x，解得：5x且10x， 不等式解得：8x， 所以不等式组的解集为8x且10x 【总结】考察不等式组的解法，注意第二个不等式组中要强调分母不为零 【作业9】 求不等式组 2 0x xa 的解集 【难度】 【答案】见解析 【解析】因为0 2 a，所以当 0a时，不等式组可化为： 0 0 x x ，则其解集为0x， 当0a时，0 2 a，则不等式组的解集为 2 ax 【总结】考察不等式组的解法，注意分类讨论 22 / 22 【作业10】 已知2a ，2b ，试比较ab与ab的大小 【难度】 【答案】baab 【解析】因为baab 1111111111babbabaabbaab， 且2a ，2b ，所以111ba，所以0111ba，即0baab， 所以baab 【总结】考察有理数比较大小，注意利用因式分解的思路去解题