2018年浙江省绍兴市名校联谊中考数学二模试卷（含详细解答）

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1、 第 1 页（共 32 页） 2018 年浙江省绍兴市名校联谊中考数学二模试卷年浙江省绍兴市名校联谊中考数学二模试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，请选出每小题中一个最符合题意分，请选出每小题中一个最符合题意 的选项，不选、多选、错选均不给分）的选项，不选、多选、错选均不给分） 1 （4 分）5 的相反数是（ ） A B5 C D5 2 （4 分）下列计算正确的是（ ） Aa4+a42a4 Ba2a3a6 C （a4）3a7 Da6a2a3 3 （4 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，

2、 “一 带一路”地区覆盖总人口约为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（ ） A44108 B4.4109 C4.4108 D4.41010 4 （4 分）如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A B C D 5 （4 分）在一个不透明的口袋中装有 6 个红球，2 个绿球，这些球除颜色外无其他差别， 从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A B C D1 6 （4 分） 将抛物线 y2 （x4） 21 先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度， 平移后所得抛物线的解析式为（ ） Ay2x2+1 By2x23

3、Cy2（x8）2+1 Dy2（x8）23 7 （4 分）如图，在ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E若 BF 6，AB5，则 AE 的长为（ ） A4 B6 C8 D10 第 2 页（共 32 页） 8 （4 分） P 是O 外一点， PA、 PB 分别交O 于 C、 D 两点， 已知、的度数别为 88、 32，则P 的度数为（ ） A26 B28 C30 D32 9 （4 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、B 在双曲线 y（ x0）上， BC 与 x 轴交于点 D若点 A 的坐标为（1，2） ，则点 B 的坐标为（ ） A （3，） B

4、（4，） C （，） D （5，） 10 （4 分）甲、乙、丙三位同学围成一圈依序循环报数，规定：甲、乙、丙首次报出的 数依次为 1、2、3，接着甲报 4 乙报 5按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学 报出的数大 1，当报到的数是 2018 时，报数结束；若报出的数为偶数，则报该数的同 学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为（ ） A334 B335 C336 D337 二、填二、填空题（本大题有空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分解因式：9x2y2 12 （5 分）不等式的解集是 13 （5 分）已知一扇形的圆心角为

5、 100，半径为 3，则它的面积为 14 （5 分）如图，正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，FEAB，AF2AE，FC 交 BD 于 O， 则DOC 的度数为 第 3 页（共 32 页） 15 （5 分）在课题学习时，老师布置画一个三角形 ABC，使A30，AB10cm，A 的对边可以在长为 4cm、5cm、6cm、11cm 四条线段中任选，这样的三角形可以画 个 16 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（4，0） 正方形 OEFG 的顶点 F 落在 y 轴的正半轴上，直线 AE 与直线 FG 相交于点 P，若OEP 的其中 两边之比为：1，则点 P

6、 的坐标为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题第小题第 17-20 小题每小题小题每小题 8 分，第分，第 21 小题小题 10 分，第分，第 22，23 小小 题每小题题每小题 8 分，第分，第 24 小题小题 14 分，共分，共 80 分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明 过程）过程） 17 （8 分） （1）计算：3tan30+（） 1（1）0 （2）先化简，再求值：+，其中 m6 18 （8 分）某调查机构将今年绍兴市民最关注的热点话题分为消费、教育、环保、反腐及 其它共五类根据最近一次随机调查的相关数据，绘制的统计图表如

7、下： 第 4 页（共 32 页） 根据以上信息解答下列问题： （1）本次共调查 人，请在答题卡上补全条形统计图并标出相应数据； （2）若绍兴市约有 500 万人口，请你估计最关注教育问题的人数约为多少万人？ （3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人 中随机抽取两人进行座谈，求抽取的两人恰好是甲和乙的概率（画树状图或列表说明） 19 （8 分）图 1 是安装在倾斜屋顶上的热水器，图 2 是安装热水器的侧面示意图已知屋 面 AE 的倾斜角EAD 为 22，长为 2 米的真空管 AB 与水平线 AD 的夹角为 37，安 装热水器的铁架竖直管 CE 的长度为 0.

8、5 米 （1）真空管上端 B 到水平线 AD 的距离 （2）求安装热水器的铁架水平横管 BC 的长度（结果精确到 0.1 米） 参考数据： sin37， cos37， tan37， sin22， cos22， tan22 20 （8 分） “低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自 行车作为出行工具小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以 150 米/分的速度 骑行一段时间，休息了 5 分钟，再以 m 米/分的速度到达图书馆小军始终以同一速度骑 行，两人行驶的路程 y（米）与时间 x（分钟）的关系如图请结合图象，解答下列问题： 第 5 页（共 32 页） （1）

9、a ；b ；m ； （2）若小军的速度是 120 米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离 21 （10 分）国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m） ， 现在其中修建一条观花道（阴影所示） ，供游人赏花设改造后剩余油菜花地所占面积为 ym2 （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）若改造后观花道的面积为 13m2，求 x 的值； （3）若要求 0.5x1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值 22 （12 分）在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，那么就称这个三角 形为“智慧三角形” （1）如图 1，已知 A、B 是O 上两点，请在

10、圆上画出满足条件的点 C，使ABC 为“智 慧三角形”并说明理由； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CFCD，试 判断AEF 是否为“智慧三角形” ，并说明理由； 运用： （3）如图 3，在平面直角坐标系中，O 的半径为 1，点 Q 是直线 x3 上的一点，若在 O 上存在一点 P，使得OPQ 为“智慧三角形” ，当其面积取得最小值时，求出此时点 第 6 页（共 32 页） P 的坐标 23 （12 分）在四边形 ABCD 中，B+D180，对角线 AC 平分BAD （1）问题发现： 如图 1，若DAB120，且B90，求证：AD+ABA

11、C； （2）思考探究： 如图 2，若将（1）中的条件“B90”去掉，则（1）中的结论是否仍成立？请说明 理由； （3）拓展应用： 如图 3，若DAB90，AD2，AB3，求线段 AC 的长度 24 （14 分）如图，已知矩形 ABCD 中，AB4，ADm，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上 以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，连接 CP，作点 D 关于直线 PC 的对称点 E，设点 P 的运动时间为 t（s） （1）若 m6，在点 P 的运动过程中， 求当 P，E，B 三点在同一直线上时对应的 t 的值 求当点 A 与点 E 距离最近时 t 的值，并求出该最近距离 （2）已知 m 满

12、足：在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t，使 点 E 到直线 BC 的距离等于 1，求符合条件的 m 的取值范围 第 7 页（共 32 页） 第 8 页（共 32 页） 2018 年浙江省绍兴市名校联谊中考数学二模试卷年浙江省绍兴市名校联谊中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，请选出每小题中一个最符合题意分，请选出每小题中一个最符合题意 的选项，不选、多选、错选均不给分）的选项，不选、多选、错选均不给分） 1 （4 分）5 的相反数是（ ）

13、A B5 C D5 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可 【解答】解：5 的相反数是 5， 故选：B 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号： 一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的 意义与倒数的意义混淆 2 （4 分）下列计算正确的是（ ） Aa4+a42a4 Ba2a3a6 C （a4）3a7 Da6a2a3 【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可作出判断； B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断； C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式利用

14、同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式2a4，正确； B、原式a5，错误； C、原式a12，错误； D、原式a4，错误， 故选：A 【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练 掌握运算法则是解本题的关键 3 （4 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划， “一 带一路”地区覆盖总人口约为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（ ） A44108 B4.4109 C4.4108 D4.41010 第 9 页（共 32 页） 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a

15、|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：4 400 000 0004.4109， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （4 分）如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】由已知条件可知，主视图有 3 列，每列小正方数形数目分别为 2，1，1，据此可 得出图

16、形，从而求解 【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图是 故选：A 【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图由几何体的俯视图及小 正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视 图中该列小正方形数字中的最大数字左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正 方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字 5 （4 分）在一个不透明的口袋中装有 6 个红球，2 个绿球，这些球除颜色外无其他差别， 从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A B C D1 【分析】先求出总的球的个数，再根据概率公式即可得出摸到红球的概率 【解答】解：袋中装有

17、6 个红球，2 个绿球， 共有 8 个球， 摸到红球的概率为； 第 10 页（共 32 页） 故选：A 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 6 （4 分） 将抛物线 y2 （x4） 21 先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度， 平移后所得抛物线的解析式为（ ） Ay2x2+1 By2x23 Cy2（x8）2+1 Dy2（x8）23 【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式 【解答】解：抛物线 y2（x4）21 先向左平移 4 个单位长度，得到的抛物线解析式 为 y2（x4+4）21，即 y2x21，再向上平移 2 个单位长度得到的抛

18、物线解析式为 y2x21+2，即 y2x2+1； 故选：A 【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上 加下减并用规律求函数解析式是解题的关键 7 （4 分）如图，在ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E若 BF 6，AB5，则 AE 的长为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】由基本作图得到 ABAF，加上 AO 平分BAD，则根据等腰三角形的性质得到 AOBF，BOFOBF3，再根据平行四边形的性质得 AFBE，所以13，于 是得到23， 根据等腰三角形的判定得 ABEB， 然后再根据等腰三角形的性质得到 AOOE，最后

19、利用勾股定理计算出 AO，从而得到 AE 的长 【解答】解：连结 EF，AE 与 BF 交于点 O，如图， ABAF，AO 平分BAD， AOBF，BOFOBF3， 四边形 ABCD 为平行四边形， AFBE， 第 11 页（共 32 页） 13， 23， ABEB， 而 BOAE， AOOE， 在 RtAOB 中，AO4， AE2AO8 故选：C 【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相 等；平行四边形的对角线互相平分也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图 8 （4 分） P 是O 外一点， PA、 PB 分别交O 于 C、 D 两点， 已知、的度数别为

20、 88、 32，则P 的度数为（ ） A26 B28 C30 D32 【分析】先由圆周角定理求出A 与ADB 的度数，然后根据三角形外角的性质即可求 出P 的度数即可 【解答】解：和所对的圆心角分别为 88和 32， A3216，ADB8844， P+AADB， PADBA441628 故选：B 第 12 页（共 32 页） 【点评】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形外角的性质，解题的关键是：熟 记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题 9 （4 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、B 在双曲线 y（ x0）上， BC 与 x 轴交于点 D若点 A 的坐标为（1，

21、2） ，则点 B 的坐标为（ ） A （3，） B （4，） C （，） D （5，） 【分析】由矩形 OABC 的顶点 A、B 在双曲线 y （ x0）上，BC 与 x 轴交于点 D若 点 A 的坐标为（1，2） ，利用待定系数法即可求得反比例函数与直线 OA 的解析式，又由 OAAB，可得直线 AB 的系数为：，继而可求得直线 AB 的解析式，将直线 AB 与反比 例函数联立，即可求得点 B 的坐标 【解答】解：矩形 OABC 的顶点 A、B 在双曲线 y（ x0）上，点 A 的坐标为（1， 2） ， 2， 解得：k2， 双曲线的解析式为：y，直线 OA 的解析式为：y2x， OAAB，

22、设直线 AB 的解析式为：yx+b， 21+b， 解得：b， 直线 AB 的解析式为：yx+， 将直线 AB 与反比例函数联立得出： 第 13 页（共 32 页） ， 解得：或， 点 B（4，） 故选：B 【点评】题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和反比例函数 解析式此题难度适中，注意掌握垂直直线的系数的关系，注意掌握数形结合思想与方 程思想的应用 10 （4 分）甲、乙、丙三位同学围成一圈依序循环报数，规定：甲、乙、丙首次报出的 数依次为 1、2、3，接着甲报 4 乙报 5按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学 报出的数大 1，当报到的数是 2018 时，报数结束；若

23、报出的数为偶数，则报该数的同 学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为（ ） A334 B335 C336 D337 【分析】设甲第 n 次报的数为 an（n 为正整数） ，根据报数的规律可找出 an3n+1 且甲 报的数奇偶交替出现，再结合 20186723+2、6722336，即可找出结论 【解答】解：设甲第 n 次报的数为 an（n 为正整数） ， 根据题意得：a11，a24，a37，a410，a513， an3n+1 甲报的数奇偶交替出现 20186723+2，6722336， 甲同学需要拍手的次数为 336 故选：C 【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据报数的规律找出

24、甲报的数奇偶交替出 现是解题的关键 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分解因式：9x2y2 （3x+y） （3xy） 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【解答】解：原式（3x+y） （3xy） ， 第 14 页（共 32 页） 故答案为： （3x+y） （3xy） 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2b2（a+b） （a b） 12 （5 分）不等式的解集是 x4 【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成 1 即可 【解答】解：去分母，得 3（x2）2（7x） ， 去

25、括号，得 3x6142x， 移项，得 3x+2x14+6， 合并同类项，得 5x20， 系数化为 1，得 x4 故答案为 x4 【点评】本题考查了解一元一次不等式，一般步骤是：去分母；去括号；移项； 合并同类项；化系数为 1以上步骤中，只有去分母和化系数为 1 可能用到性 质 3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向 13 （5 分）已知一扇形的圆心角为 100，半径为 3，则它的面积为 【分析】利用 S扇形R2计算即可； 【解答】解：S扇形R232， 故答案为 【点评】本题考查扇形的面积公式，解题的关键是记住：S扇形R2或 S扇形lR （其中 l 为扇形的弧长） 14 （5 分）如图

26、，正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，FEAB，AF2AE，FC 交 BD 于 O， 则DOC 的度数为 60 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AFE 的度数，再利用正方形的性质结合等边 三角形的判定与性质得出答案 第 15 页（共 32 页） 【解答】解：连接 FB， FEAB，AF2AE， sinAFE， AFE30， FAE60， E 是 AB 的中点，EFAB， AFBF， AFB 是等边三角形， ABF60，ABFBBC， CFBBFC15， DCO901575， 四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线， BDC45， DOC180457560 故答案为：60 【点评

27、】此题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的判定与性质，正确得出AFB 是等边三角形是解题关键 15 （5 分）在课题学习时，老师布置画一个三角形 ABC，使A30，AB10cm，A 的对边可以在长为 4cm、 5cm、 6cm、 11cm 四条线段中任选， 这样的三角形可以画 4 个 【分析】根据 30所对的直角边是斜边的一半，知A 的对边应大于等于 5cm，从中选 择符合条件的即可 【解答】解：根据 30所对的直角边是斜边的一半，知A 的对边应大于等于 5cm， 所以在长为 4cm、5cm、6cm、11cm 四条线段中，有 3 条线段符合条件，其中A 的对边 为 6 时，可以作两个三角形

28、故这样的三角形可以画 4 个 第 16 页（共 32 页） 【点评】此题考查了直角三角形的性质：30所对的直角边是斜边的一半 16 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（4，0） 正方形 OEFG 的顶点 F 落在 y 轴的正半轴上，直线 AE 与直线 FG 相交于点 P，若OEP 的其中 两边之比为：1，则点 P 的坐标为 P（0，4）或 P（4，12）或 P（12，24） 【分析】根据题意分类讨论直线 AE 与直线 FG 相交的各种情况，应用勾股定理、三角形 相似解决问题 【解答】解：如图 1，当 P 与 F 重合时，满足 OP：OE：1， 四边形 OEFG

29、 是正方形， OFE45， AOF90， OAFOFE45， OAOF4， F（0，4） ，即 P（0，4） ； 如图 2，当 AEx 轴时，满足 PEOE， 第 17 页（共 32 页） 则 EPOF，OEPG， 四边形 PEOF 是平行四边形， EPOFOE， RtAOE 中，OAAE4， OEEF4， 同理得：EPEF8， P（4，12） ； 如图 3，过 P 作 PMx 轴于 M，直线 FG 交 x 轴于 N，满足 OPPE 成立； 设 OEa，PFb，则 EFFGOGGNa 当 OPPE 时，则有 OP22PE2 OG2+PG22（EF2+PF2） 即：a2+（a+b）22（a2+b

30、2） 化简可得 b2a PN4a，即 而 OEPN 第 18 页（共 32 页） AOEANP 而 OA4，ON12 OGGN6，PN24 PMMN24 而 ON12，OM12 点 M 的坐标为（12，0） ，点 P 的坐标为（12，24） 故答案为：P（0，4）或 P（4，12）或 P（12，24） 【点评】本题是几何综合题，考查了正方形性质、勾股定理及三角形相似的先关知识， 解答关键是数形结合 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题第小题第 17-20 小题每小题小题每小题 8 分，第分，第 21 小题小题 10 分，第分，第 22，23 小小 题每小题题每小题 8 分，第分，

31、第 24 小题小题 14 分，共分，共 80 分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明 过程）过程） 17 （8 分） （1）计算：3tan30+（） 1（1）0 （2）先化简，再求值：+，其中 m6 【分析】 （1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题； （2） 根据分式的加法可以化简题目中的式子， 然后将 m 的值代入化简后的式子即可解答 本题 【解答】解： （1）3tan30+（） 1（1）0 33+31 +31 2+2； （2）+ ， 第 19 页（共 32 页） 当 m6 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值、特殊

32、角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂， 解答本题的关键是明确它们各自的计算方法 18 （8 分）某调查机构将今年绍兴市民最关注的热点话题分为消费、教育、环保、反腐及 其它共五类根据最近一次随机调查的相关数据，绘制的统计图表如下： 根据以上信息解答下列问题： （1）本次共调查 1400 人，请在答题卡上补全条形统计图并标出相应数据； （2）若绍兴市约有 500 万人口，请你估计最关注教育问题的人数约为多少万人？ （3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人 中随机抽取两人进行座谈，求抽取的两人恰好是甲和乙的概率（画树状图或列表说明） 【分析】 （1）根据关注消

33、费的人数是 420 人，所占的比例式是 30%，即可求得总人数， 然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数，进而可补全条形统计图并标 出相应数据； （2）利用总人数乘以对应的百分比即可； （3）利用列举法即可求解即可 【解答】解： （1）调查的总人数是：42030%1400（人） ， 关注教育的人数是：140025%350（人） 第 20 页（共 32 页） ； （2）500125（万） 答：估计最关注教育问题的人数约为 125 万人 （3）画树形图得： 则 P（抽取的两人恰好是甲和乙） 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信

34、息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 19 （8 分）图 1 是安装在倾斜屋顶上的热水器，图 2 是安装热水器的侧面示意图已知屋 面 AE 的倾斜角EAD 为 22，长为 2 米的真空管 AB 与水平线 AD 的夹角为 37，安 装热水器的铁架竖直管 CE 的长度为 0.5 米 （1）真空管上端 B 到水平线 AD 的距离 （2）求安装热水器的铁架水平横管 BC 的长度（结果精确到 0.1 米） 第 21 页（共 32 页） 参考数据： sin37， cos37， tan37， sin22， cos22， tan22 【分析】

35、（1）过 B 作 BFAD 于 F构建 RtABF 中，根据三角函数的定义与三角函数 值即可求出答案 （2）根据 BF 的长可求出 AF 的长，再判定出四边形 BFDC 是矩形，可求出 AD，根据 BCDFADAF 计算即可 【解答】解： （1）过 B 作 BFAD 于 F 在 RtABF 中， sinBAF， BFABsinBAF2sin371.2 真空管上端 B 到 AD 的距离约为 1.2 米 （2）在 RtABF 中， cosBAF， AFABcosBAF2cos371.6， BFAD，CDAD，又 BCFD， 四边形 BFDC 是矩形 BFCD，BCFD， EC0.5 米， DECD

36、CE0.7 米， 在 RtEAD 中， tanEAD， ， AD1.75 米， BCDFADAF1.751.60.150.2 安装热水器的铁架水平横管 BC 的长度约为 0.2 米 第 22 页（共 32 页） 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，培养学生运用三角函数知识解决实际问题的 能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用 20 （8 分） “低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自 行车作为出行工具小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以 150 米/分的速度 骑行一段时间，休息了 5 分钟，再以 m 米/分的速度到达图书馆小军

37、始终以同一速度骑 行，两人行驶的路程 y（米）与时间 x（分钟）的关系如图请结合图象，解答下列问题： （1）a 10 ；b 15 ；m 200 ； （2）若小军的速度是 120 米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离 【分析】 （1）根据时间路程速度，即可求出 a 值，结合休息的时间为 5 分钟，即可 得出 b 值，再根据速度路程时间，即可求出 c 的值； （2）根据数量关系找出线段 BC、OD 所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程 组，通过解方程组求出交点的坐标，再用 3000 去减交点的纵坐标，即可得出结论 【解答】解： （1）a150015010（分钟） ， b1

38、0+515（分钟） ， c（30001500）（22.515）200（米/分） （2）线段 BC 所在直线的函数解析式为 y1500+200（x15）200x1500； 线段 OD 所在的直线的函数解析式为 y120x 第 23 页（共 32 页） 联立两函数解析式成方程组， 解得：， 则 30002250750（米） 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是 750 米 故答案为：10；15；200 【点评】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次 方程组，解题的关键是： （1）根据数量关系，列式计算； （2）根据数量关系找出线段 BC、 OD 所在直线

39、的函数解析式 21 （10 分）国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m） ， 现在其中修建一条观花道（阴影所示） ，供游人赏花设改造后剩余油菜花地所占面积为 ym2 （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）若改造后观花道的面积为 13m2，求 x 的值； （3）若要求 0.5x1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值 【分析】 （1）直接利用直角三角形面积求法得出答案； （2）利用已知得出 y35，进而解方程得出答案； （3）利用配方法得出函数顶点式，再利用二次函数增减性得出答案 【解答】解： （1）由题意可得：y（8x） （6x） x214x+48（0x6）

40、； （2）由题意可得：y481335， 则 x214x+4835， 即（x1） （x13）0， 第 24 页（共 32 页） 解得：x11，x213， 经检验得：x13 不合题意，舍去， 答：x 的值为 1； （3）yx214x+48 （x7）21 当 0.5x1 时，y 随 x 的增大而减小， 故当 x0.5 时，y 最大，ym2 【点评】此题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用，正确得出函数关系式是解 题关键 22 （12 分）在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，那么就称这个三角 形为“智慧三角形” （1）如图 1，已知 A、B 是O 上两点，请在圆上画出满足条件的点

41、C，使ABC 为“智 慧三角形”并说明理由； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CFCD，试 判断AEF 是否为“智慧三角形” ，并说明理由； 运用： （3）如图 3，在平面直角坐标系中，O 的半径为 1，点 Q 是直线 x3 上的一点，若在 O 上存在一点 P，使得OPQ 为“智慧三角形” ，当其面积取得最小值时，求出此时点 P 的坐标 【分析】 （1）连结 AO 并且延长交圆于 C1，连结 BO 并且延长交圆于 C2，即可求解； （2）设正方形的边长为 4a，表示出 DF、CF 以及 EC、BE 的长，然后根据勾股定理列 式表示出 AF

42、2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定AEF 是直角三角形，由直角三 角形的性质可得AEF 为“智慧三角形” ； （3）根据“智慧三角形”的定义可得OPQ 为直角三角形，根据题意可得一条直角边 第 25 页（共 32 页） 为 1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最 短为 3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点 P 的 横坐标，再根据勾股定理可求点 P 的纵坐标，从而求解 【解答】解： （1）如图 1 所示：点 C1和 C2均为所求； 理由：连接 BO，AO 并延长，分别交O 于点 C1、C2， 连接 AB，AC1， B

43、C1是O 的直径， AOBC1， ABC1是“智慧三角形” ， 同理可得：ABC2也是“智慧三角形” ， （2）AEF 是“智慧三角形” ， 理由如下：如图 2，设正方形的边长为 4a， E 是 BC 的中点， BEEC2a， CD：FC4：1， FCa，DF4aa3a， 在 RtABE 中，AE2（4a）2+（2a）220a2， 在 RtECF 中，EF2（2a）2+a25a2， 在 RtADF 中，AF2（4a）2+（3a）225a2， AE2+EF2AF2， AEF 是直角三角形， 斜边 AF 上的中线等于 AF 的一半， AEF 为“智慧三角形” ； （3）如图 3 所示： 由“智慧三

44、角形”的定义可得OPQ 为直角三角形， 根据题意可得一条直角边 OP1， PQ 最小时，POQ 的面积最小， 第 26 页（共 32 页） 即：OQ 最小， 由垂线段最短可得斜边最小为 3， 由勾股定理可得 PQ2， 根据面积得，OQPMOPPQ， PM123， 由勾股定理可求得 OM， 故点 P 的坐标（，）或（，） 【点评】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的 应用，用正方形的边长表示出AEF 的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是 解题的关键 23 （12 分）在四边形 ABCD 中，B+D180，对角线 AC 平分BAD （1）问题发现： 如图 1

45、，若DAB120，且B90，求证：AD+ABAC； （2）思考探究： 如图 2，若将（1）中的条件“B90”去掉，则（1）中的结论是否仍成立？请说明 理由； （3）拓展应用： 第 27 页（共 32 页） 如图 3，若DAB90，AD2，AB3，求线段 AC 的长度 【分析】 （1）结论：ACAD+AB，只要证明 ADAC，ABAC 即可解决问题； （2） （1）中的结论成立以 C 为顶点，AC 为一边作ACE60，ACE 的另一边交 AB 延长线于点 E，只要证明DACBEC 即可解决问题； （3）先证明ACE 是等腰直角三角形，DACBEC，进而得出即可 解决问题 【解答】解： （1）ACAD+AB 理由如下：如图 1 中， 在四边形 ABCD 中，D+B180，B90， D90， DAB120，AC 平分DAB， DACBAC60， B90， ，同理 ACAD+AB （2） （1）中的结论成立， 理由如下：以 C 为顶点，AC 为一边作ACE60，ACE 的另一边交 AB 延长线于点 第 28 页（共 32 页） E， BAC60， AEC 为等边三角形， ACAECE， D+ABC180，DAB120， DCB60， DCABCE， D+ABC180，ABC+EBC180， DCBE，CACE， DACBEC， A