2018年广东省广州市花都区中考数学一模试卷（含详细解答）

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1、2018 年广东省广州市花都区中考数学一模试卷年广东省广州市花都区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）4 的相反数是（ ） A B4 C D4 2 （3 分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A B  C D 3 （3 分）九年级的一个学习小组共有 5 人，他们在一次数学考试中成绩如下：80 分，86 分，70 分，92 分，65 分，那么他们数学成绩的中位数为（ ） A

2、65 分 B70 分 C80 分 D92 分 4 （3 分）为了绿化校园，30 名学生共种 80 棵树苗其中男生每人种 3 棵，女生每人种 2 棵，该班男生有 x 人，女生有 y 人根据题意，所列方程组正确的是（ ） A B  C D 5 （3 分）如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，下列判断中错误的是（ ） AODDC B  CADBD D 6 （3 分）已知 a+b4，ab3，则代数式（a+2） （b+2）的值是（ ） A7 B9 C11 D15 第 2 页（共 26 页） 7 （3 分）如图，按照三视图确定该几何体的侧面积是（单位：cm） （ ） A24

3、cm2 B48cm2 C60cm2 D80cm2 8 （3 分）已知 x20，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A B C D 9 （3 分）若二次函数 yx2+2x+kb+1 图象与 x 轴有两个交点，则一次函数 ykx+b 的大致 图象可能是（ ） A B  C D 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠 后， 使点 D 恰好落在 BC 边上的点 G 处， 若矩形面积为且AFG60， GE2BG， 则折痕 EF 的长为（ ） A4 B C2 D 第 3 页（共 26 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（

4、本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 11 （3 分）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到年 我国移动医疗市场规模将达到 291500 万元，将 291500 用科学记数法表示为   12 （3 分）两个相似三角形的面积比为 1：9，则它们的周长比为   13 （3 分）分式方程的解是   14 （3 分）如图，O 的半径为 6，ABC 是O 的内接三角形，连接 OB、OC若BAC+ BOC180，则弦 BC 的长为   15（3分） 抛物线yax2+bx+c经过点 （3， 0）

5、 ， 若a+b+c0， 则此抛物线的对称轴是    16 （3 分）如图，MON30，点 B1在 OM 边上，OB12，过点 B1作 A1B1OM 交 ON 于点 A1，以 A1B1为边在外侧作等边三角形 A1B1C1，再过点 C1作 A2B2OM，分别 交 OM、ON 于点 B2、A2，再以 A2B2为边在的外侧作等边三角形 A2B2C2按此规律进 行下去，则第 3 个等边三角形 A3B3C3的周长为   ，第 n 个等边三角形 AnBnn的周 长为   （用含 n 的代数式表示） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 1

6、02 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）  17 （9 分）解方程：x26x+50 18 （9 分） 已知： 如图， 在菱形 ABCD 中， E、 F 分别是 AB、 BC 边上的一点， 且 AECF 求 证：DEDF 第 4 页（共 26 页） 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 a 是一次函数 yx3 的图象与 x 轴交 点的横坐标 20 （10 分）九（1）班 48 名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”知识竞赛初赛， 赛后对成绩进行分析，制作如下的频数分布表，请解答下列问题： 分数段 频数（人数） 60x70

7、 a 70x80 16 80x90 24 90x100 4 （1）a   ； （2） 全校共有 600 名学生参加初赛， 估计该校成绩 90x100 范围内的学生有多少人？ （3）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，若在该三位同学中任选两人参加 决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率 21 （12 分）如图，线段 OA 与反比例函数 y在第一象限的图象相交于点 B（4，3） ， 点 B 是 OA 的中点，ACx 轴交图象于点 C求： （1）m 的值； （2）求 AC 的长 22 （12 分）如图，BCAD，斜坡的 AB 长为 10 米，坡度 i1：，在点 B 处测得旗杆 第 5

8、 页（共 26 页） 顶端的仰角为 70，点 B 到旗杆底部 C 的距离为 7 米 （1）求斜坡 AB 的坡角 的度数； （2）求旗杆顶端离地面的高度 ED 的长 （结果精确到 0.1 米） 23 （12 分）如图，O 是ABC 的外接圆 （1）尺规作图：作出C 的角平分线 CD，与O 交于点 D，与 AB 交于点 E； （不写作 法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 BD 求证：BDECDB； 若 BD，DEEC3，求 DE 的长 24 （14 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的图象经过 A（2，5） ，B（1，0） ，与 x 轴交于 点 C （1）求这个二次函数的解析式；

9、（2）点 P 直线 AC 下方抛物线上的一动点，求PAC 面积的最大值； （3）在抛物线对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 是直角三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 25 （14 分）已知，如图 1，正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在边 AB、AD 的延长 线上，且 BEDF，连接 EF （1）证明：EFAC； （2）将AEF 绕点 A 顺时针方向旋转，当旋转角 满足 045时，设 EF 与射 线 AB 交于点 G，与 AC 交于点 H，如图所示，试判断线段 FH、HG、GE 的数量关系， 并说明理由 第 6 页（共 26 页） （3）若将AEF 绕点

10、A 旋转一周，连接 DF、BE，并延长 EB 交直线 DF 于点 P，连接 PC，试说明点 P 的运动路径并求线段 PC 的取值范围 第 7 页（共 26 页） 2018 年广东省广州市花都区中考数学一模试卷年广东省广州市花都区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）4 的相反数是（ ） A B4 C D4 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案 【解

11、答】解：4 的相反数是：4 故选：B 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键 2 （3 分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A B  C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 3 （3 分）九年级的一个学习小组共有 5 人，他们在一次数学考试中成绩如下：80 分，86 分，70 分，92

12、分，65 分，那么他们数学成绩的中位数为（ ） A65 分 B70 分 C80 分 D92 分 【分析】根据中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数 第 8 页（共 26 页） 据的平均数）叫做中位数，进行求解即可 【解答】解：将 5 人的成绩重新排列为 65、70、80、86、92， 所以其中位数为 80 分， 故选：C 【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数 和偶数个来确定中位数 4 （3 分）为了绿化校园，30 名学生共种 80 棵树苗其中男生每人种 3 棵，女生每人种 2 棵，该班男生有 x 人，女生有 y 人根据题意，所列

13、方程组正确的是（ ） A B  C D 【分析】根据题意可得等量关系：男生人数+女生人数30；男生种树的总棵树+女 生种树的总棵树80 棵，根据等量关系列出方程组即可 【解答】解：该班男生有 x 人，女生有 y 人根据题意得：， 故选：C 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题 关键 5 （3 分）如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，下列判断中错误的是（ ） AODDC B  CADBD D 【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可 【解答】解：AB 是O 的弦，半径 OCAB， ，ADBD，AOCBOCAOB，

14、B、C、D 正确，不符合题意， OD 与 DC 不一定相等，A 错误，符合题意， 故选：A 第 9 页（共 26 页） 【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等 的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解题的关键 6 （3 分）已知 a+b4，ab3，则代数式（a+2） （b+2）的值是（ ） A7 B9 C11 D15 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式法则变形，再将 a+b、ab 的值代入计算可得 【解答】解： （a+2） （b+2） ab+2a+2b+4 ab+2（a+b）+4 当 a+b4、ab3 时， 原式3+24+4 3+8+4 15

15、， 故选：D 【点评】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则及整体 代入思想的运用 7 （3 分）如图，按照三视图确定该几何体的侧面积是（单位：cm） （ ） A24cm2 B48cm2 C60cm2 D80cm2 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确 定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其侧面积 【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个 几何体应该是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为 6cm，底面半径为 824cm， 故侧面积rl6424cm2 故选：A 第 10 页（共 26 页） 【点评

16、】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能 力方面的考查 8 （3 分）已知 x20，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案 【解答】解：x20， 2x0，x11，x31，x42， 0， 故选：B 【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的 条件，本题属于基础题型 9 （3 分）若二次函数 yx2+2x+kb+1 图象与 x 轴有两个交点，则一次函数 ykx+b 的大致 图象可能是（ ） A B  C D 【分析】由抛物线与 x 轴有两个交点结合根的判别式，即可得出

17、 kb0，分 k0、b0 及 k0、b0 两种情况寻找一次函数 ykx+b 的图象，此题得解 【解答】解：二次函数 yx2+2x+kb+1 图象与 x 轴有两个交点， 2241（kb+1）0， 解得：kb0 当 k0，b0 时，一次函数 ykx+b 的图象经过第一、三、四象限； 当 k0，b0 时，一次函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限 第 11 页（共 26 页） 故选：A 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及一次函数的图象，牢记“当b24ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点”是解题的关键 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在

18、 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠 后， 使点 D 恰好落在 BC 边上的点 G 处， 若矩形面积为且AFG60， GE2BG， 则折痕 EF 的长为（ ） A4 B C2 D 【分析】由折叠的性质可知，DFGF、HECE、GHDC、DFEGFE，结合 AFG60即可得出GFE60，进而可得出GEF 为等边三角形，在 RtGHE 中， 通过解含 30 度角的直角三角形及勾股定理即可得出 GE2EC、DCEC，再由 GE 2BG 结合矩形面积为 8，即可求出 EC 的长度，根据 EFGE2EC 即可求出结论 【解答】解：由折叠的性质可知，DFGF，HECE，GHDC，DFEGFE GFE+DF

19、E180AFG120， GFE60 AFGE，AFG60， FGEAFG60， GEF 为等边三角形， EFGE FGE60，FGE+HGE90， HGE30 在 RtGHE 中，HGE30， GE2HE2CE， GHHECE GE2BG， BCBG+GE+EC4EC 第 12 页（共 26 页） 矩形 ABCD 的面积为 8， 4ECEC8， EC，EFGE2 故选：D 【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定及性质以及解含 30 度角 的直角三角形， 根据边角关系及解直角三角形找出 BC4EC、 DCEC 是解题的关键  二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共

20、6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 11 （3 分）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到年 我国移动医疗市场规模将达到 291500 万元，将 291500 用科学记数法表示为 2.915 105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：2915002.915105， 故答案为：2.915105 【点评】此题考查科学

21、记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12 （3 分）两个相似三角形的面积比为 1：9，则它们的周长比为 1：3 【分析】相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方 【解答】解：由其面积比等于周长比的平方， 所以其周长比为 1：3 故填：1：3 【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进 行考查的，难度不大 13 （3 分）分式方程的解是 x9 第 13 页（共 26 页） 【分析】观察可得最简公分母是 x（x3） ，方程两边乘最简公分母，可

22、以把分式方程转 化为整式方程求解 【解答】解：方程的两边同乘 x（x3） ，得 3x92x， 解得 x9 检验：把 x9 代入 x（x3）540 原方程的解为：x9 故答案为：x9 【点评】本题考查了解分式方程，注： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根 14 （3 分）如图，O 的半径为 6，ABC 是O 的内接三角形，连接 OB、OC若BAC+ BOC180，则弦 BC 的长为 6 【分析】作 OHBC 于 H，如图，利用垂径定理得到 BHCH，再根据圆周角定理可计 算出BOC120，则B30，然后利用含 30 度的直角三

23、角形三边的关系求解 【解答】解：作 OHBC 于 H，如图，则 BHCH， BAC+BOC180， 而BACBOC， BOC+BOC180，解得BOC120， OBOC， OBC30， OHOB3， BHOH3， BC2BH6 第 14 页（共 26 页） 故答案为：6 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形 的外接圆三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心  15 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点（3，0） ，若 a+b+c0，则此抛物线的对称轴是 x 1 【分析】结合抛物线的解析式以及 a+b+c0，可知

24、抛物线经过点（1，0） ，由抛物线与 x 轴的两交点坐标结合抛物线的对称性即可得出结论 【解答】解：a+b+c0， 抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ， 抛物线与 x 轴的两交点分别为（3，0）和（1，0） ， 此抛物线的对称轴是 x1 故答案为：x1 【点评】 本题考查了二次函数的性质， 解题的关键是找出抛物线与 x 轴两交点的坐标 本 题属于基础题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性求对称轴解析式  16 （3 分）如图，MON30，点 B1在 OM 边上，OB12，过点 B1作 A1B1OM 交 ON 于点 A1，以 A1B1为边在外侧作等边三角形 A

25、1B1C1，再过点 C1作 A2B2OM，分别 交 OM、ON 于点 B2、A2，再以 A2B2为边在的外侧作等边三角形 A2B2C2按此规律进 行下去，则第 3 个等边三角形 A3B3C3的周长为 ，第 n 个等边三角形 AnBnn的周 长为 （用含 n 的代数式表示） 第 15 页（共 26 页） 【分析】通过解直角三角形可求出 A1B1的值，根据等边三角形的性质可求出 B1B2的值， 进而可得出 OB2的值，通过解直角三角形可求出 A2B2的值，同理，可求出 A3B3的值， 利用等边三角形的周长公式即可得出第 3 个等边三角形 A3B3C3的周长， 分析 A1B1、 A2B2、 A3B3

26、、A4B4之间的关系，找出变化规律，依此即可得出 AnBn的值，再利用等边三角形的 周长公式即可得出第 n 个等边三角形 AnBnn的周长 【解答】解：OB12，MON30， A1B1OB12， B1B2A1B1， OB2OB1+B1B23， A2B23 同理：OB3，A3B3， 三角形 A3B3C3的周长为 3A3B3 A1B1OB12， A2B2 （1+）A1B13， A3B3 （1+）A2B2， A4B4（1+）A3B3， AnBnOB12， 第 n 个等边三角形 AnBnn的周长为 3AnBn6 故答案为：； 【点评】本题考查了等边三角形的性质、解含 30 度角的直角三角形以及规律型中

27、图形的 变化类，根据等边三角形边的变化找出变化规律是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）  第 16 页（共 26 页） 17 （9 分）解方程：x26x+50 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：分解因式得： （x1） （x5）0， x10，x50， x11，x25 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成 一元一次方程 18 （9 分） 已知： 如图， 在菱形 A

28、BCD 中， E、 F 分别是 AB、 BC 边上的一点， 且 AECF 求 证：DEDF 【分析】欲证明 DEDF，只要证明DAEDCF 即可； 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， DADC，AC， 在DAE 和DCF 中， ， DAEDCF， DEDF 【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运 用所学知识解决问题，属于中考常考题型 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 a 是一次函数 yx3 的图象与 x 轴交 点的横坐标 【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，求出 a 的值代入计 算即可求出值 【解答】解：原式， 第 1

29、7 页（共 26 页） 一次函数 yx3，令 y0，得到 x3，即 a3， 则原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握运 算法则是解本题的关键 20 （10 分）九（1）班 48 名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”知识竞赛初赛， 赛后对成绩进行分析，制作如下的频数分布表，请解答下列问题： 分数段 频数（人数） 60x70 a 70x80 16 80x90 24 90x100 4 （1）a 4 ； （2） 全校共有 600 名学生参加初赛， 估计该校成绩 90x100 范围内的学生有多少人？ （3）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，若在该

30、三位同学中任选两人参加 决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率 【分析】 （1）根据总人数频数之和，计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式计算即可； 【解答】解： （1）a48162444 故答案为 4 （2）60050（人） （3）根据题意，画出树状图： 所有可能有 6 种，其中甲、乙被选中的有 2 种情形， 选中甲、乙两位同学的概率为 【点评】本题考查读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图获取 第 18 页（共 26 页） 信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查 列表法或画树状图法求概率 21 （12 分）如图，线段 OA 与反比例函

31、数 y在第一象限的图象相交于点 B（4，3） ， 点 B 是 OA 的中点，ACx 轴交图象于点 C求： （1）m 的值； （2）求 AC 的长 【分析】 （1）将 B（4，3）代入 y，即可求出 m 的值； （2）根据点 B 是 OA 的中点以及 B（4，3） ，得出 A（8，6） 由 ACx 轴，得出 C 点纵 坐标为 6，再将 y6 代入 y，求出 x2，进而求出 AC 的长 【解答】解： （1）反比例函数 y的图象过点 B（4，3） ， m143， m13； （2）点 B 是 OA 的中点，B（4，3） ， A（8，6） ACx 轴， C、A 两点纵坐标相同，都为 6， 将 y6 代入

32、 y，解得 x2， C（2，6） ， AC826 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数函数图象上点的坐 标特点，线段的中点坐标公式，平行于 x 轴的直线上点的坐标特征等知识，正确求出 m 的值是解题的关键 第 19 页（共 26 页） 22 （12 分）如图，BCAD，斜坡的 AB 长为 10 米，坡度 i1：，在点 B 处测得旗杆 顶端的仰角为 70，点 B 到旗杆底部 C 的距离为 7 米 （1）求斜坡 AB 的坡角 的度数； （2）求旗杆顶端离地面的高度 ED 的长 （结果精确到 0.1 米） 【分析】 （1）过点 B 作 BFAD 于点 F，由 itanBAF可

33、得BAF30；  （2） 由BAF30、 AB10知CDBFAB5米， 再由ECBCtanEBC7tan70 19.2 可得答案 【解答】解： （1）如图所示，过点 B 作 BFAD 于点 F， itanBAF， BAF30，即 30； （2）BAF30、AB10， CDBFAB5 米， 在 RtBCE 中，EBC70、BC7， ECBCtanEBC7tan7019.2， 则 EDEC+CD5+19.224.2（米） ， 答：旗杆顶端离地面的高度 ED 的长约为 24.2 米 【点评】此题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角 俯角的概念和坡度坡角的概念、熟记

34、锐角三角函数的定义是解题的关键 第 20 页（共 26 页） 23 （12 分）如图，O 是ABC 的外接圆 （1）尺规作图：作出C 的角平分线 CD，与O 交于点 D，与 AB 交于点 E； （不写作 法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 BD 求证：BDECDB； 若 BD，DEEC3，求 DE 的长 【分析】 （1）利用尺规作出ACB 的平分线即可； （2）根据 AA 即可证明； 利用相似三角形的性质， 可得： BD2DEDC7， 推出 DE （DE+EC） 7， 即 DE2+DE EC7，因为 DEEC3，可得 DE24 由此即可解决问题； 【解答】 （1）解：C 的角平分

35、线 CD，如图所示： （2）证明：DBEACD，ACDDCB， DBEDCB，BDECDB， BDECDB 解：BDECDB， BD2DEDC7， DE（DE+EC）7， DE2+DEEC7，DEEC3， DE24， DE2 第 21 页（共 26 页） 【点评】本题考查作图基本作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟 练掌握五种基本作图，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 24 （14 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的图象经过 A（2，5） ，B（1，0） ，与 x 轴交于 点 C （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 P 直线 AC 下方抛物线上的一动点，求P

36、AC 面积的最大值； （3）在抛物线对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 是直角三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）直接把点 A（2，5） ，B（1，0）代入 yx2+bx+c，求出 b、c 的值即可 得出抛物线的解析式； （2）先求出点 C 的坐标，利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，然后判断出平行于 AC 的直线与二次函数图象只有一个交点时PAC 的面积最大， 再联立直线与二次函数的 解析式，消去 y，利用根的判别式0 时方程只有一个根求解即可； （3） 设点 Q 的坐标为 （1， y） ， 然后分三种情况讨论： QAC90； QCA90； CQA

37、90由勾股定理得到关于 y 的方程，解方程求出 y 的值即可 【解答】解： （1）二次函数 yx2+bx+c 的图象经过 A（2，5） ，B（1，0） ， ，解得： 这个二次函数的表达式为：yx22x3； （2）yx22x3， y0 时，x22x30， 解得 x11，x23， 点 C（3，0） ， 设直线 AC 的解析式为 ykx+m（k0） ， 则， 解得， 直线 AC 的解析式为 yx+3， 由三角形的面积可知，平行于 AC 的直线与二次函数图象只有一个交点时PAC 的面积 最大， 第 22 页（共 26 页） 此时设过点 P 的直线为 yx+n， 联立， 消去 y 得 x22x3x+n，

38、 整理得 x2x3n0， （1）241（3n）0， 解得 n， 此时 x1x2，y， 点 P（，）时，PAC 的面积最大是； （3）yx22x3（x1）24， 对称轴是直线 x1 A（2，5） ，C（3，0） ， AC2（3+2）2+（05）250 设点 Q 的坐标为（1，y） ，分三种情况： 如果QAC90，那么 QA2+AC2QC2， 则（1+2）2+（y5）2+50（13）2+（y0）2，解得 y8， 所以点 Q1的坐标为（1，8） ； 如果QCA90，那么 QC2+AC2QA2， 则（13）2+（y0）2+50（1+2）2+（y5）2，解得 y2， 所以点 Q2的坐标为（1，2） ；

39、如果CQA90，那么 QC2+QA2AC2， 则（13）2+（y0）2+（1+2）2+（y5）250，解得 y1 或 6， 所以点 Q 的坐标为 Q3（1，1）或 Q4（1，6） 综上所述，所求点 Q 的坐标为（1，8）或（1，2）或（1，1）或（1，6） 第 23 页（共 26 页） 【点评】本题是二次函数的综合题，主要利用了待定系数法求二次函数、一次函数的解 析式，三角形的面积，二次函数的性质，勾股定理等知识正确求出 b、c 的值是解（1） 的关键，判断出与 AC 平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是 解（2）的关键，进行分类讨论是解（3）的关键 25 （14 分）已知

40、，如图 1，正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在边 AB、AD 的延长 线上，且 BEDF，连接 EF （1）证明：EFAC； （2）将AEF 绕点 A 顺时针方向旋转，当旋转角 满足 045时，设 EF 与射 线 AB 交于点 G，与 AC 交于点 H，如图所示，试判断线段 FH、HG、GE 的数量关系， 并说明理由 （3）若将AEF 绕点 A 旋转一周，连接 DF、BE，并延长 EB 交直线 DF 于点 P，连接 PC，试说明点 P 的运动路径并求线段 PC 的取值范围 【分析】 （1）先证明 AEAF，根据等腰三角形三线合一的性质可得结论； （2）如图 2，作辅助线，构建全

41、等三角形，先证明AGHAGK，得 GHGK，由 AFHAEK，得AEKAFH45，FHEK，利用勾股定理得：KG2EG2+EK2， 根据相等关系线段等量代换可得结论：FH2+GE2HG2； 第 24 页（共 26 页） （3）如图 3，先证明FPEFAE90，根据 90的圆周角所对的弦是直径可得： 点 P 的运动路径是：以 BD 为直径的圆，如图 4，可得 PC 的取值范围 【解答】 （1）证明：如图 1，四边形 ABCD 是正方形， ADAB，DACBAC， BEDF， AD+DFAB+BE，即 AFAE， ACEF； （2）解：FH2+GE2HG2，理由是： 如图 2，过 A 作 AKAC

42、，截取 AKAH，连接 GK、EK， CAB45， CABKAB45， AGAG， AGHAGK， GHGK， 由旋转得：FAE90，AFAE， HAE90， FAHKAE， AFHAEK， AEKAFH45，FHEK， AEH45， KEG45+4590， RtGKE 中，KG2EG2+EK2， 即：FH2+GE2HG2； （3）解：如图 3，ADAB，DAFBAE，AEAF， DAFBAE， DFABEA， PNFANE， FPEFAE90， 将AEF 绕点 A 旋转一周，总存在直线 EB 与直线 DF 垂直， 点 P 的运动路径是：以 BD 为直径的圆，如图 4， 第 25 页（共 26 页） 当 P 与 C 重合时，PC 最小，PC0， 当 P 与 A 重合时，PC 最大为 5， 线段 PC 的取值范围是：0PC5 【点评】本题是四边形和几何变换的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形的判定和 性质，通过作辅助线构建全等三角形得出边相等和角相等，因此本题辅助线的作法是关 键；故在几何证明中，恰当的作辅助线可以把四边形的问题转化为三角形的问题，使问 第 26 页（共 26 页） 题得以解决