2018年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷（含详细解答）

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1、2018 年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列运算正确的是（ ） A3a+2a5a2 B Cx2+x22x2 Dx6x2x3 2 （3 分）若 、 是一元二次方程 x25x20 的两个实数根，则 + 的值为（ ） A5 B5 C2 D 3 （3 分）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下 列四种剪法中，符合要求的是（ ） A B C D 4 （3 分）已知 a，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） Aab Bab0

2、Cba0 Da+b0 5 （3 分）袋中有同样大小的 4 个小球，其中 3 个红色，1 个白色从袋中任意地同时摸出 两个球，这两个球颜色相同的概率是（ ） A B C D 6 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB3，ABC60，则对角线 AC（ ） A12 B9 C6 D3 7 （3 分）如图，AB 是O 直径，AC 是O 的切线，连接 OC 交O 于点 D，连接 BD， 若C42，则ABD 的度数是（ ） 第 2 页（共 25 页） A48 B28 C34 D24 8 （3 分）桌子上摆放了若干碟子，其三视图如图所示，则桌子上共有碟子（ ） A17 个 B12 个 C9 个 D8 个

3、9 （3 分）如图所示，小明同学用纸制作了一个圆锥形漏斗模型，它的底面直径 AB12cm， 高 OC8cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A30cm2 B36cm2 C60cm2 D120cm2 10 （3 分）抛物线 yx29 与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 在函数 y的图象上，若PAB 为直角三角形，则满足条件的点 P 的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D6 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是 12 （3 分）分解因式：a2b4ab+4b 13 （3 分）某射击俱乐部将 11 名

4、成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形 第 3 页（共 25 页） 统计图由图可知，11 名成员射击成绩的中位数是 环 14 （3 分）不等式组的解集为 15 （3 分）如图，在一次测绘活动中，某同学站在点 A 的位置观测停放于 B、C 两处的小 船，测得船 B 在点 A 北偏东 75方向 150 米处，船 C 在点 A 南偏东 15方向 120 米处， 则船 B 与船 C 之间的距离为 米（精确到 0.1m） 16 （3 分）直线 yx2 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，与反比例函数 y（k0）的图 象在第一象限交于点 A，连接 OA，若 SAOB：SBOC1：2，则 k

5、是值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分）分） 17 （9 分）解方程组： 18 （9 分）已知，如图，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD 和 BC 上的点，AECF，求证： BEDF 19 （10 分）已知 a24ab+4b20，ab0，求 （ab）的值 20 （10 分）已知四边形 ABCD 是平行四边形（如图） ，把ABD 沿对角线 BD 翻折 180 得到ABD 第 4 页（共 25 页） （1）利用尺规作出ABD （要求保留作图痕迹，不写作法） ； （2）设 DA与 BC 交于点 E，求证：BAEDCE 21 （12 分）初一（1）

6、班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学 生分别选一个活动项目） ，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图 男、女生所选项目人数统计表 项目 男生（人数） 女生（人数） 机器人 7 9 3D 打印 m 4 航模 2 2 其他 5 n 根据以上信息解决下列问题： （1）m ，n ； （2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 ； （3）从选航模项目的 4 名学生中随机选取 2 名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列 举法（画树状图或列表）求所选取的 2 名学生中恰好有 1 名男生、1 名女生的概率 22 （12 分）为了提升中学生阅读能力，某区各中学开展了“师生共

7、读一本书”活动，经过 一学期的阅读训练， 小周同学发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的 2 倍还多 300 字， 现在读 9100 字的文章与原来读 3500 字的文章所用的时间相同，求小周现在每分钟阅读 的字数 23 （12 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，BAC 角平分线交 BC 于 O，以 OB 为 半径作O 第 5 页（共 25 页） （1）判定直线 AC 是否是O 的切线，并说明理由； （2）连接 AO 交O 于点 E，其延长线交O 于点 D，tanD，求的值； （3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 AC 的长 24 （14 分）如图本题图，在等腰 RtOAB 中

8、，OAOB3，OAOB，P 为线段 AO 上 一点，以 OP 为半径作O 交 OB 于点 Q，连接 BP、PQ，线段 BP、AB、PQ 的中点分别 为 D、M、N （1）试探究DMN 是什么特殊三角形？说明理由； （2） 将OPQ 绕点 O 逆时针方向旋转到图的位置， 上述结论是否成立？并证明结论； （3）若 OPx（0x3） ，把OPQ 绕点 O 在平面内自由旋转，求DMN 的面积 y 的 最大值与最小值的差 25 （14 分）已知：二次函数 yax22ax3（a0） ，当 2x4 时，函数有最大值 5 （1）求此二次函数图象与坐标轴的交点； （2）将函数 yax22ax3（a0）图象 x

9、轴下方部分沿 x 轴向上翻折，得到的新图象 与直线 yn 恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为 A，B，C，D，当以 BC 为直 径的圆与 x 轴相切时，求 n 的值 （3）若点 P（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于 m 的一元 二次方程 m2y0m+k4+y00 恒有实数根时，求实数 k 的最大值 第 6 页（共 25 页） 2018 年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列运算正确的是（ ） A3

10、a+2a5a2 B Cx2+x22x2 Dx6x2x3 【分析】根据合并同类项，可判断 A、C，根据算术平方根的意义，可判断 B，根据同底 数幂的除法，可判断 D 【解答】解：A、系数相加字母部分不变，故 A 错误； B、9 的算术平方根是 3，故 B 错误； C、系数相加字母部分不变，故 C 正确； D、底数不变变指数相减，故 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变指数相减是解题关键 2 （3 分）若 、 是一元二次方程 x25x20 的两个实数根，则 + 的值为（ ） A5 B5 C2 D 【分析】根据根与系数的关系可得出 +5，此题得解 【解答】解：、 是一元二

11、次方程 x25x20 的两个实数根， +5 故选：B 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题 的关键 3 （3 分）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下 列四种剪法中，符合要求的是（ ） A B C D 第 7 页（共 25 页） 【分析】根据多边形的内角和定理即可判断 【解答】解：剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是 360，剪开后的 两个图形是三角形，它们的内角和都是 180； 剪开后的两个图形的内角和相等， 故选：B 【点评】本题考查了三角形内角和、四边形的内角和以及多边形的内角和定理 4 （3 分）已知 a，b 两

12、数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） Aab Bab0 Cba0 Da+b0 【分析】首先得到 ba0，再结合有理数的运算法则进行判断 【解答】解：根据数轴，得 ba0 A、正确； B、两个数相乘，同号得正，错误； C、较小的数减去较大的数，差是负数，错误； D、同号的两个数相加，取原来的符号，错误 故选：A 【点评】根据数轴观察两个数的大小：右边的点表示的数，总比左边的大 本题用字母表示了数，表面上增加了难度，只要学生掌握了规律，很容易解答 5 （3 分）袋中有同样大小的 4 个小球，其中 3 个红色，1 个白色从袋中任意地同时摸出 两个球，这两个球颜色相同的概率是（ ） A

13、B C D 【分析】列举出所有情况，看两个球颜色相同的情况数占总情况数的多少即可 【解答】解：一共有 12 种情况，两个球颜色相同的有 6 种情况， 这两个球颜色相同的概率是，故选 A 【点评】用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 第 8 页（共 25 页） 6 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB3，ABC60，则对角线 AC（ ） A12 B9 C6 D3 【分析】根据菱形的性质及已知可得ABC 为等边三角形，从而得到 ACAB 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABBC， ABC60， ABC 为等边三角形， ACAB3 故选：D 【点评】本题考查了菱形的性质和等边三

14、角形的判定，难度一般，解答本题的关键是掌 握菱形四边相等的性质 7 （3 分）如图，AB 是O 直径，AC 是O 的切线，连接 OC 交O 于点 D，连接 BD， 若C42，则ABD 的度数是（ ） A48 B28 C34 D24 【分析】根据切线的性质求出OAC，结合C42求出AOC，根据等腰三角形性质 求出BBDO，根据三角形外角性质求出即可 【解答】解：AC 是O 的切线， OAC90， C42， AOC48， OBOD， 第 9 页（共 25 页） ABDBDO， ABD+BDOAOC， ABD24， 故选：D 【点评】本题考查了切线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形

15、性 质的应用，解此题的关键是求出AOC 的度数，题目比较好，难度适中 8 （3 分）桌子上摆放了若干碟子，其三视图如图所示，则桌子上共有碟子（ ） A17 个 B12 个 C9 个 D8 个 【分析】从俯视图中可以看出最底层的碟子个数及形状，从主视图可以看出每一层碟子 的层数和个数，从而算出总的个数 【解答】解：由图可看出，桌子上的碟子可以分成三摞，他们的个数分别是 5，4，3， 因此桌子上碟子的个数应该是 4+5+312 个 故选：B 【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力可从主视图上分清物体的上下 和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数 9

16、（3 分）如图所示，小明同学用纸制作了一个圆锥形漏斗模型，它的底面直径 AB12cm， 高 OC8cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A30cm2 B36cm2 C60cm2 D120cm2 第 10 页（共 25 页） 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式 计算 【解答】解：圆锥的母线长10（cm） ， 所以这个圆锥漏斗的侧面积261060（cm2） 故选：C 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母

17、线长 10 （3 分）抛物线 yx29 与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 在函数 y的图象上，若PAB 为直角三角形，则满足条件的点 P 的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D6 个 【分析】设点 P 的坐标为（x，y） ，分APB90、PAB90和PBA90三种 情况考虑：当APB90时，以 AB 为直径作圆，由圆与双曲线 4 个交点可知此时点 P 有 4 个；当PAB90时，可找出 x3，进而可得出点 P 的坐标；当PBA90 时，可找出 x3，进而可得出点 P 的坐标综上即可得出结论 【解答】解：设点 P 的坐标为（x，y） ， 当APB90时，以 AB 为直径作圆，如图所

18、示， 圆与双曲线 4 个交点， 点 P 有 4 个； 当PAB90时，x3， y， 第 11 页（共 25 页） 点 P 的坐标（3，） ； 当PBA90时，x3， y， 点 P 的坐标为（3，） 综上所述：满足条件的点 P 有 6 个 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及直角三角形，依照题意画出图 形，利用数形结合解决问题是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是 x5 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x50， 解得 x5 故答案为：

19、x5 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 12 （3 分）分解因式：a2b4ab+4b b（a2）2 【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力本题属于基础题，当一个多项式有公因 式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解此题应先提公因式， 再用完全平方公式 【解答】解：a2b4ab+4bb（a24a+4）b（a2）2 【点评】本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止 完全平方公式：a22ab

20、+b2（ab）2 13 （3 分）某射击俱乐部将 11 名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形 统计图由图可知，11 名成员射击成绩的中位数是 8 环 第 12 页（共 25 页） 【分析】11 名成员射击成绩处在第 6 位的是 8，则中位数为 8 【解答】解：按大小排列在中间的射击成绩为 8 环，则中位数为 8 故答案为：8 【点评】本题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新 排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果中位 数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错 14 （3 分）不等式组的解集为 3x1

21、【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可 【解答】解： 解不等式得：x3， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为3x1， 故答案为：3x1 【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，解此题的关键是能求出不等式组 的解集，题目比较好，难度适中 15 （3 分）如图，在一次测绘活动中，某同学站在点 A 的位置观测停放于 B、C 两处的小 船，测得船 B 在点 A 北偏东 75方向 150 米处，船 C 在点 A 南偏东 15方向 120 米处， 则船 B 与船 C 之间的距离为 192.2 米（精确到 0.1m） 【分析】根据已知条件得到BAC90，AB150 米，AC120

22、 米，由勾股定理即可 第 13 页（共 25 页） 得到结论 【解答】解：根据题意得：BAC90，AB150 米，AC120 米， 在 RtABC 中，BC192.2 米， 故答案为：192.2 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，会识别方向角是解题的关键 16 （3 分）直线 yx2 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，与反比例函数 y（k0）的图 象在第一象限交于点 A，连接 OA，若 SAOB：SBOC1：2，则 k 是值为 3 【分析】根据题意求出点 B、点 C 的坐标，求出BOC 的面积，根据题意求出AOB 的 面积，根据三角形的面积公式求出点 A 的纵坐标，得到点 A

23、 的横坐标，代入反比例函数 解析式计算即可 【解答】解：yx2，当 x0 时，y2，则点 C 的坐标为（0，2） ， OC2， 当 y0 时，x2，则点 B 的坐标为（2，0） ， OB2， SBOC222， SAOB：SBOC1：2， SAOB1， 又OB2， 点 A 的纵坐标为 1， 把 y1 代入 yx2，得 x3， 点 A 的坐标为（3，1） ， 代入反比例函数 y（k0） ，可得 1， 解得 k3， 故答案为：3 第 14 页（共 25 页） 【点评】本题考查的是反比例函数于一次函数的交点问题，掌握反比例函数和一次函数 图象上点的坐标特征是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（

24、本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分）分） 17 （9 分）解方程组： 【分析】利用加减消元法求解可得 【解答】解：3，得：3x+3y9 ， +，得：5x10， 解得：x2， 将 x2 代入，得：2+y3， 解得：y1， 所以方程组的解为 【点评】此题的关键是考查解二元一次方程组的方法解二元一次方程组时的基本方法： 代入消元法，加减消元法针对具体的方程组，要善于观察，从而选择恰当的方法 18 （9 分）已知，如图，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD 和 BC 上的点，AECF，求证： BEDF 【分析】先求出 BFDE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四 边形

25、 BFDE 为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证 【解答】证明：四边形 ABCD 为矩形， ADBC，ADBC， 又AECF， ADAEBCCF， 第 15 页（共 25 页） 即 EDBF， 而 EDBF， 四边形 BFDE 为平行四边形， BEDF（平行四边形对边相等） 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质， 主要利用了矩形的对边相等的性质，四个角都是直角的性质 19 （10 分）已知 a24ab+4b20，ab0，求 （ab）的值 【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据 a24ab+4b20，ab 0，可以求得 a、

26、b 的关系，从而可以解答本题 【解答】解： （ab） ， a24ab+4b20，ab0， （a2b）20， a2b， 原式 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 20 （10 分）已知四边形 ABCD 是平行四边形（如图） ，把ABD 沿对角线 BD 翻折 180 得到ABD （1）利用尺规作出ABD （要求保留作图痕迹，不写作法） ； （2）设 DA与 BC 交于点 E，求证：BAEDCE 【分析】 （1）首先作ABDABD，然后以 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 BA 于点 A，连接 BA，DA，即可作出ABD 第 16 页（共 25 页） （2） 由

27、四边形 ABCD 是平行四边形与折叠的性质， 易证得： BADC， ABCD， 然后由 AAS 即可判定：BAEDCE 【解答】解： （1）如图：作ABDABD， 以 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 BA于点 A， 连接 BA，DA， 则ABD 即为所求； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，BADC， 由折叠的性质可得：BADBAD，ABAB， BADC，ABCD， 在BAE 和DCE 中， ， BAEDCE（AAS） 【点评】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质此 题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用 21 （

28、12 分）初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学 生分别选一个活动项目） ，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图 男、女生所选项目人数统计表 项目 男生（人数） 女生（人数） 机器人 7 9 3D 打印 m 4 航模 2 2 其他 5 n 根据以上信息解决下列问题： 第 17 页（共 25 页） （1）m 8 ，n 3 ； （2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 144 ； （3）从选航模项目的 4 名学生中随机选取 2 名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列 举法（画树状图或列表）求所选取的 2 名学生中恰好有 1 名男生、1 名女生的概率

29、【分析】（1） 由航模的人数和其所占的百分比可求出总人数， 进而可求出 3D 打印的人数， 则 m 的值可求出，从而 n 的值也可求出； （2）由机器人项目的人数所占总人数的百分比即可求出所对应扇形的圆心角度数； （3）应用列表法的方法，求出恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率是多少即可 【解答】解： （1）由两种统计表可知：总人数410%40 人， 3D 打印项目占 30%， 3D 打印项目人数4030%12 人， m1248， n401612453， 故答案为：8，3； （2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数360144， 故答案为：144； （3）列表得： 男 1 男 2

30、 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 女 2 女 1 第 18 页（共 25 页） 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 女 2 由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1 名男生、1 名女生”有 8 种可能 所以 P（ 1 名男生、1 名女生） 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要 熟练掌握 22 （12 分）为了提升中学生阅读能力，某区各中学开展了“师生共读一本书”活动，经过 一学

31、期的阅读训练， 小周同学发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的 2 倍还多 300 字， 现在读 9100 字的文章与原来读 3500 字的文章所用的时间相同，求小周现在每分钟阅读 的字数 【分析】设小周原来每分钟阅读 x 个字，则现在每分钟阅读（2x+300）个字，根据现在 读 9100 字的文章与原来读 3500 字的文章所用的时间相同，即可得出关于 x 的分式方程， 解之经检验即可得出结论 【解答】解：设小周原来每分钟阅读 x 个字，则现在每分钟阅读（2x+300）个字， 根据题意得：， 解得：x500， 经检验，x500 是原方程的解，且符合题意， 2x+3001300 答：小周现在每分

32、钟阅读 1300 个字 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 23 （12 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，BAC 角平分线交 BC 于 O，以 OB 为 半径作O （1）判定直线 AC 是否是O 的切线，并说明理由； （2）连接 AO 交O 于点 E，其延长线交O 于点 D，tanD，求的值； （3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 AC 的长 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （1）先判断出 OBAB，再利用角平分线定理即可得出结论； （2）先判断出13，进而判断出1D，得出ABEADB 即可得出结论； （3）先由三角函数得出

33、，建立方程求解即可得出 结论 【解答】解： （1）AC 是O 的切线， 理由：ABC90， OBAB， 如图，作 OFAC 于 F， AO 是BAC 的角平分线， OFOB， AC 是O 的切线， （2）如图，连接 BE， DE 是O 的直径， DBE90，即2+390 1+290， 13 OBOD， 3D， 1D， 又BAEDAB（同角） ， ABEADB， ， 第 20 页（共 25 页） （3）由（2）知， AB2AE， OAAE+OEAE+3， 在 RtAOB 中，根据勾股定理得， （2AE）2+9（AE+3）2， AE2， AB4， 设 FCn，OCm 在 RtABC 和 RtABC

34、 中， 由三角函数定义有：， 得： 解之得：， ， 即 AC 的长为 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了角平分线定理，切线的性质，相似三角形的判 定和性质，锐角三角函数，判断出ABEADB 是解本题的关键 24 （14 分）如图本题图，在等腰 RtOAB 中，OAOB3，OAOB，P 为线段 AO 上 第 21 页（共 25 页） 一点，以 OP 为半径作O 交 OB 于点 Q，连接 BP、PQ，线段 BP、AB、PQ 的中点分别 为 D、M、N （1）试探究DMN 是什么特殊三角形？说明理由； （2） 将OPQ 绕点 O 逆时针方向旋转到图的位置， 上述结论是否成立？并证明结论； （3）若

35、 OPx（0x3） ，把OPQ 绕点 O 在平面内自由旋转，求DMN 的面积 y 的 最大值与最小值的差 【分析】 （1）先利用三角形的中位线定理得出 DMAP，DNBQ，再判断出 AP BQ 即可得出结论； （2）先判断出AOPBOQ，得出 APBQ，15，利用三角形中位线得出 DM AP，DNBQ，再判断出MDN 是直角即可得出结论； （3）先判断出DMN 的面积时点 P 的位置，利用三角形的三边关系即可得出结论 【解答】解： （1）DMN 为等腰直角三角形， 理由：D、M 分别为 PB、AB 的中点， DMAP，且 同理：， OAOB，OPOQ， APBQ 又APBQ， DMDN，DMD

36、N， 即DMN 为等腰直角三角形， （2）如图，DMN 仍然为等腰直角三角形， 证明：由旋转的性质，AOPBOQ 第 22 页（共 25 页） OAOB，OPOQ， AOPBOQ， APBQ，15 D、M 分别为 PB、AB 的中点， DMAP，且 同理：， DMDN， 在等腰 RtOAB 中，OABOBA45 2451，3+445 DMAP， DMB2， 同理：NDP4+5， MDNPDM+PDN（DMB+3）+4+52+3+4+5（45 1）+（45+5）90 DMDN DMN 为等腰直角三角形， （3）如图，设O 交 AO 于点 P0，交 AO 延长线于点 P1， 连接 P0P，P1P，

37、OP1 AP+OPAOAP0+OP0，而 OP0OPx， APAP03x，同理，APAP13+x， 由题意， y 的最小值为 同理，y 最大值为， y 的最大值与最小值的差为： 第 23 页（共 25 页） 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形的中位 线定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的性质，三角形面积公式，判断出 MDN 是直角是解本题的关键 25 （14 分）已知：二次函数 yax22ax3（a0） ，当 2x4 时，函数有最大值 5 （1）求此二次函数图象与坐标轴的交点； （2）将函数 yax22ax3（a0）图象 x 轴下方部分沿 x 轴向

38、上翻折，得到的新图象 与直线 yn 恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为 A，B，C，D，当以 BC 为直 径的圆与 x 轴相切时，求 n 的值 （3）若点 P（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于 m 的一元 二次方程 m2y0m+k4+y00 恒有实数根时，求实数 k 的最大值 【分析】 （1）根据函数解析式作出大致图象，结合函数图象的增减性和对称性质解答； （2）其折叠得到的部分对应的解析式为：y（x1） 2+4（1x3） ，其顶点为（1， 4） 结合函数图象得到 n 的取值范围为 0n4根据函数与直线的交点方程求得 ，易得 BC 的长度当以 BC 为直径的

39、圆与 x 轴相切时，BC2n由此求得 n 的值； （3） 由根的判别式知，恒成立， 即恒 成立，即恒成立根据点 P（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧 部分上任意一点，则 0y04，由二次函数函数值的取值范围求得实数 k 的最大值 【解答】解： （1）抛物线 yax22ax3（a0）的对称轴为： a0，抛物线开口向上，大致图象如图所示 当 x1 时，y 随 x 增大而增大； 由已知：当 2x4 时，函数有最大值 5 当 x4 时，y5， 第 24 页（共 25 页） 16a8a35，得：a1 yx22x3 令 x0，得 y3，令 y0，得 x1 或 x3， 抛物线与 y 轴交于（0，3）

40、 ， 抛物线与 x 轴交于（1，0） 、 （3，0） ； （2）yx22x3（x1）24， 其折叠得到的部分对应的解析式为：y（x1）2+4（1x3） ，其顶点为（1，4） 图象与直线 yn 恒有四个交点， 0n4 由（x1）2+4n，解得， ， 当以 BC 为直径的圆与 x 轴相切时，BC2n 即：， ， n24n， 得， 0n4， （另法：BC 直径，且F 与 x 轴相切， FCyn， 对称轴为直线 x1， F（1，n） ，则 C（1+n，n） ， 又C 在 y（x1）2+4（1x3）上， n（1+n1）2+4， 得， 0n4， ） 第 25 页（共 25 页） （ 3 ） 若 关 于 m 的 一 元 二 次 方 程 m2 y0m+k 4+y0 0 恒 有 实 数 根 ， 则 须 恒 成 立 ， 即恒 成 立 ， 即 恒成立 点 P（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点， 0y04， （ k 取 值之下限） 实数 k 的最大值为 3 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及新定义和一元二次方程根的判别式等知识， 利用分段函数讨论得出 n 的取值范围是解题关键