著名机构初中数学培优讲义轴对称与等腰三角形.第06讲(C级).学生版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 轴对称 了解图形的轴对称， 理解对应 点所连的线段被对称轴垂直 平分性质； 了解物体的镜面对 称 能按要求作出简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形； 掌握简单图形之间的轴对称关系，并 能指出对称轴；掌握基本图形（等腰 三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正 多边形、 圆） 的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行 图案设计 旋转 了解图形的旋转， 理解对应点 到旋转中心的距离相等、 对应 点与旋转中心连线所成的角 彼此相等的性质； 会识别中心 对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的 图形，能依据旋转前、后的图形，指 出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识

2、 解决简单问题； 平移 了解图形平移， 理解平移中对 应点连线平行 （或在同一条直 线上）且相等的性质 能按要求作出简单平面图形平移后的 图形；能依据平移前后的图形，指出 平移的方向和距离 能运用平移的知识 解决简单的计算问 题； 等腰三角形 了解等腰三角形、 等边三角形 的概念，会识别这二种图形， 并理解这二种图形的性质和 判定 能用等腰三角形、等边三角形的性质 和判定解决简单问题 能用等腰三角形、 等边三角形的知识 解决有关问题 1 轴对称及等腰三角形性质的综合应用 2 全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用 版块一 轴对称 垂直平分线类垂直平分线类 例题精讲 中考要求 重难点 轴对

3、称与等腰三角形 垂直平分线： “垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等” ，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对 称有关作图中，应用更为广泛 【例1】 如图ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. 说明BECF的理由； 如果ABa，ACb，求AE，BE的长. G F E D C B A 【例2】 如图，ABAC，ADAE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。 求证：BFFC。 F O ED C B A 双对称轴路程和最短问题双对称轴路程和最短问题 【例3】 如图， 30AOB， 角内有点P， 且5OP ， 在角的两边有两点Q、R（均不同于O点）

4、， 则PQR 的周长的最小值为 O P A B 【巩固】如图，在POQ内部有M点和N点，同时能使MOPNOQ，这时在直线OP上再取A点， 使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和N点的距 离和也最小证明：AMANBMBN Q O N M P B A 多对称轴路程和最短问题多对称轴路程和最短问题 【例4】 如图，当点A与 123 lll、 、连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点A向点B运动时的最短 路程 l3 l2 l1 B A 【例5】 如图，矩形台球桌ABCD上有两个球PQ、，求作一击球路线，使P球顺次撞击球桌四边后再撞 击Q球（球撞击桌边的入射角等于

5、反射角） D CB A Q P 平移路程和最短问题平移路程和最短问题 【例6】 如图，在a上找到M、N两点，且10MN ，M在N的左边，使四边形ABMN的周长最短。 B A a 【巩固】如图，A B，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可 看成平行线，桥是垂直于河岸的） l2 l1 B A 轴对称与轴对称与路程差最大问题路程差最大问题 【例1】 已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|BMAM 最大。 B A l 【巩固】求在直线l上找一点P，使得直线l为APB的角平分线 B A 版块二、等腰三角形 【例7】 已知ABC中，90A，67.5B.

6、请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请 你利用下面给出的备用图，画出两种 不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出 相等两角的度数）. CB A CB A 【例8】 等腰三角形的顶角90，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求 A BCD 【例9】 P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，PEAC于点E，PF BC于点F，ADBC 点D，如图，求证：PEPFAD AB C E D P F 【巩固】 如图， 点P为等腰三角形ABC的底边BA的延长线上的一点，PECA的延长线于点E，PFBC 于点F，ADBC于点DPE、PF、AD之间存在着怎样的数

7、量关系? AB C E D P F 【例10】 如下图，ABC是等边三角形，1 2 2CBFACDBAE，38DEFDFE 求出DEF 的每个内角度数 F E D CB A 【巩固】如图所示，已知ABC，延长CA、AB、BC到D、E、F，连接DE、EF、FD，使得 AEDBFECDF ，若60ABC，50DFE，求BAC及EDF的度数 A B C D E F 【例11】 如图， 六边形ABCDEF中， AB C DEF ， 且AB+BC 11 ，FACD3 求 B C D E FE D C B A 模块三 全等三角形与轴对称 角平分线类角平分线类 “角”是轴对称图形，对称轴为角平分线所在的直线

8、。因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有 下面几个基本解题思路：平分角；角平分线上点到角两边的距离相等；沿角平分线进行翻折。 【例12】 已知ABC中，60A ，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O， 试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明。 OD E CB A 【例13】 如图， 在Rt ABC中，AD是斜边BC上的高，BE是ABC的平分线，AD交BE于O，EFAD 于F，求证：AFOD O F D E CB A 2 1 【例14】 已知在ABC中，90A，B的平分线交AC于E， 交BC边上的高AH于D， 过D作DFBC 交AC于F，求证：AEFC H FE D C

9、 B A 构造等腰三角形类构造等腰三角形类 构造等腰三角形类的主要方法有两种：是将直角三角形沿着某一直角边翻折；是截取等长线段 【例15】 如图，在ABC中，46ABC，D是BC边上一点，DCAB，21DAB，试确定CAD 的度数 A BC D 构造等边三角形类构造等边三角形类 构造等边三角形类的方式主要有两种： 直接以某一线段长为边， 直接构造等边三角形； 作等腰三角形， 然后利用题目给出的特殊角，如60，证明此等腰三角形为等边三角形 【例16】 如图，BD是ABC的角平分线，60A ，2ADCDAB ,判断ABC的度数并说明理由。 答：ABC= 证明： D C B A 【巩固】如图，在等腰

10、ABC中，ABAC，顶角20A ，在边AB上取点D，使ADBC， 求BDC的度数。 D C B A 【例17】 如图，在ABC中，40ABC，40ACB，P为三角形内的一点，且20PCA， 20PAB，求PBC的度数。 P C B A 模块四 全等三角形与旋转 倍长中线类倍长中线类 倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法，其实此作法最主要是通过旋转的方式，构造出一对“8” 字型全等三角形，从而转化线段与角的数量关系 【例18】 在后面的学习中，我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质： “直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半” ，用数学语言改编如下： 已知：在Rt ABC中，90C，D为斜

11、边AB的中点，证明: 1 2 CDAB D CB A 【巩固】两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一 条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由 AE C B M D 一般等腰三角形旋转 一般等腰三角形旋转的问题主要有：通过对等腰三角形旋转，构造全等三角形；通过对一般三角形旋 转构造等腰三角形 【例19】 如图，ABC是边长为 1 的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形， 以D为顶点作一个60 的MDN，点,M N分别在,AB AC上，则AMN的周长是 N M D CB A 等腰直角三角形旋转等腰直角

12、三角形旋转 等腰直角三角形旋转有关问题要充分考虑到： “边相等” “角相等” ，还有斜边上的中线，这条特殊的线段， 尤其是涉及到斜边中点的时候，基本上都会连接这条中线 【例20】 已知： 在Rt ABC中，ABBC， 在R t A D E中，ADDE， 连结EC， 取EC的中点M， 连结DM 和BM 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给 予证明； 如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的结论是否仍成 立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 A B C D E M A B C D E M 等边三角形旋转等边三角形旋转 【例

13、21】 如图，已知四边形ABCD中，,60ABADBAD，120BCD，证明：BCDCAC D C B A 三垂直全等及三垂直的变形三垂直全等及三垂直的变形 三垂直模型及其变形最主要的是转化角度之间的关系 【例22】 在 ABC 中， 90ACB，ACBC ，直线MN经过C点，且AD MN 于D，BE MN 于E 当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DEADBE； 当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DEADBE； 当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出 这个等量关系，并加以证明 图 N M E D C BA AB C D E M N 图 图

14、N M E D C BA 【巩固】如图，CD是经过BCA顶点C的一条直线，CACB，E、F分别是直线CD上两点，且 BECCFA （1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题： 如图，若90BCA，90，则BE CF；EF BEAF （填“” 、 “” 、 “” ） ； 如图，若0180BCA，请添加一个关于与BCA关系的条件 ，使 中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论 （2）如图，若直线CD经过BCA的外部，BCA ，请提出EF、BE、AF三条线段数 量关系的合理猜想（不要求证明） 图图 图 D F A E C B F E D B AC F E D C B A

15、 【巩固】如图，在等边ABC中，点DE，分别在边BCAB，上，BDAE，AD与CE交于点F (1)求证：ADCE；(2)求DFC的度数 F E D CB A 模块五 全等三角形与平移 平移的基本思路是通过平移，将有关系但又不在一起的量集中起来，且对应边平行且相等 【例23】如图所示，在ABC的边BC上取两点D、E，且BDCE 求证：ABACADAE A BCDE 【巩固】如图所示，在ABC中，90B，M为AB上的一点，且AMBC；N为BC上的一点，且 CNBM连接AN、CM交于点P，求证：45APM P N M C BA 【例24】 在ABC中，ABAC，CA,AB的延长线上截取E，D，有EDDAECBC 求证：100BAC E D CB A 1. 如图，ABC中，ABAC，点P、Q分别在AC、AB边上，且APPQQBBC，则A的大 小是 课堂检测 Q P CB A 2. 如图所示，一个六边形的六个内角都是120，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长 是多少？ 2 1 3 3D F E C B A 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 1. 如图，在ABC中，90C，30CAD，ACBCAD求证：CDBD 课后作业 总结复习 C A B D