著名机构初中数学培优讲义轴对称.第01讲(A级).教师版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 轴对称 了解图形的轴对称， 理解对应 点所连的线段被对称轴垂直 平分性质； 了解物体的镜面对 称 能按要求作出简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形； 掌握简单图形之间的轴对称关系，并 能指出对称轴；掌握基本图形（等腰 三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正 多边形、 圆） 的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行 图案设计 1 轴对称性质的灵活应用 版块一 轴对称与轴对称图形 轴对称图形的识别轴对称图形的识别 【例1】 下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ） 【难度】1 星 【解析】根据轴对称的性质来判断 【答案】C 【例2】 如图，阴影部分是由 5

2、个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂 黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（ ） 例题精讲 中考要求 重难点 轴对称 A B C D 【难度】1 星 【解析】略 【答案】D 【巩固】如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线 AB 为对称轴，在对角线的下方再画一个 三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ） A B C D 【难度】1 星 【解析】略 【答案】C 【例3】 判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴 【难度】2 星 【解析】根据轴对称性质做判断 【答案】是轴对称图形的有

3、： （2） ， （4） ， （6） ， （7） ， （9） ；分别有1条，1条，4条，1条，2条对称轴 【巩固】下列图形中对称轴最多的是（ ） A圆 B正方形 C等腰三角形 D线段 【难度】2 星 【解析】略 【答案】A 【例4】 在下图，这一组图中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形 【难度】3 星 【解析】本题是一道轴对称的规律型题，要从图中找出规律，然后再根据规律画图注意轴对称图形的性 质 【答案】从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是 17 的数字，所以画一 个轴对称图形且数字为 6 即可故答案为 【例5】 如图，它们都是对称图形，请观

4、察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称. 【难度】2 星 【解析】略 【答案】轴对称图形：1，3，4，6，8，10； 成轴对称的图形有：2，5，7，9 轴对称的性质轴对称的性质 【例6】 如图，ABC 与ABC关于直线 l 对称，则B 的度数为 （ ） A30 B50 C90 D100 【难度】1 星 【解析】主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是 180 度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和 是 180这一条件，得到C=C=30是正确解答本题的关键 【答案】D 【例7】 如图，直线L是四边形ABCD的对称轴，若ABCD，有下面的结论：ABCD ACBD AOOC ABBC，其中正确

5、的结论有_ O D C B A l 【难度】2 星 【解析】主要考查了轴对称的性质轴对称的性质： （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分； （2）对应线段相等，对应 角相等 【答案】 【例8】 如图，ABC和A B C关于直线l对称，且90B，6cmA B ，求B的度数和AB的长。 l C B A C B A 【难度】2 星 【解析】略 【答案】ABC和A B C关于直线l成轴对称 BB ，ABA B；又 90B，6cmA B 90B，6cmAB 轴对称和折叠轴对称和折叠 【例9】 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是 【难度】2 星 【解析】当正方形纸片两次

6、沿对角线对折成为一直角三角形时，因此裁剪后的图形应该是有两条对称轴的 图形，在平行于斜边的位置上打 3 个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损 【答案】D 【巩固】将一个正方形纸片依次按图 1a，b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪，成图 d 样式，将纸展 开铺平，所得到的图形是图 2 中的（ ） 图 1 图 2 【难度】2 星 【解析】依题意，正方形纸片经过两次对折，因此裁剪后的图形应该是有两条对称轴的图形，图 2 中的四 个图形均为有两条轴对称图形， 分别作出它们的两条对称轴， 取图形的 1 4 部分与图 1 中的d匹配， 易知 D 选项符合题意 【答案】D 【例10】 如图 a

7、 是长方形纸带，DEF=20 ，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c 中的 CFE 的度数是（ ） A、110 B、120 C、140 D、150 【难度】2 星 【解析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称根据轴对称的 性质，折叠前后图形的形状和大小不变 【答案】B 【例11】 将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD 为折痕，折叠后 AB 与 EB 在同一条直线上，则CBD 的度数（ ） E A E D C BA A、大于 90 B、小于 90 C、等于 90 D、不能确定 【难度】2 星 【解析】本题考查了轴对称的性质充分利用

8、几个角的和为平角是解题的关键 【答案】故选 C 【例12】 如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠， 点A落在点 A 处，且点 A 在ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm A D E C B A 【难度】2 星 【解析】略 【答案】3 【巩固】如图 1 所示为三角形纸片 ABC，AB 上有一点 P已知将 A，B，C 往内折至 P 时，出现折线 SR、 TQ、QR，其中 Q、R、S、T 四点会分别在 BC、AC、AP、BP 上，如图 2 所示若ABC、四边 形 PTQR 的面积分别为 16、5，则PRS的面积为（ ） 图1 P A CB 图2 Q

9、 T R S B C A P A1 B2 C3 D4 【难度】2 星 【解析】根据题意，得BTQ的面积和PTQ的面积相等，CQR和PQR的面积相等，ASR的面积和 PSR的面积相等又ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5， PRS面积等于(165 2)23 【答案】C 版块二 垂直平分线的性质及判定 垂直平分线的性质垂直平分线的性质 【例13】 如图，若 P 是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点，则 （1）PAC_； （2）PA_； （3）APC_； （4）A_ B C A P 【难度】1 星 【解析】线段垂线平分线定理 【答案】 （1）PBC； （2）PB； （3）BPC； （4）B

10、【巩固】如图，ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，5BE 厘米，BCE的周长 是 18 厘米，则BC E DC B A 【难度】2 星 【解析】线段的垂直平分线 ED垂直平分BC EBEC BEC的周长为18cm 8cmBC 。 【答案】8cm 【例14】 如图，已知40AOB，CD为OA的垂直平分线，求ACB的度数 O D CB A 【难度】2 星 【解析】CD垂直平分OA COCA OA 40O 40A 80ACBAO 。 【答案】80 【例15】 如图所示，在ABC 中，BAC=106 ，EF、MN 分别是 AB、AC 的垂直平分线，点 E、M 在 BC 上，则EAM

11、= N M F ECB A 【难度】3 星 【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出 74BCBAECAM 是解答此题的关键 【答案】32 垂直平分线的垂直平分线的判定判定 B D C A 【例16】 如图，ACAD，BCBD，则有（ ） AAB垂直平分CD BCD垂直平分AB CAB与CD互相垂直平分 DCD平分ACB 【难度】2星 【解析】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确 定一条直线分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键 【答案】ACAD、BCBD点A、B在线段CD的垂直平分线上

12、AB垂直平分CD故选A 【例17】 已知：如图，ABC 中，ACB=90 ，D 是 BC 延长线上一点，E 是 AB 上一点，且在 BD 的垂直 平分线 EG 上，DE 交 AC 于 F，求证：E 在 AF 的垂直平分线上 2 4 3 1 F E D G C B A 【难度】2星 【解析】线段垂直平分线的逆定理 【答案】E在BD垂直平分线EG上，EBED，1B 90ACB，1390 ，290B 3=2 3=4， 4=2，EAEF， E在AF的垂直平分线上 垂直平分线的画法垂直平分线的画法 【例18】 求作线段AB的垂直平分线 B A N M A B 【难度】2 星 【解析】考查了线段垂直平分线

13、的作法，分别以点A，B为圆心，大于 2 AB 的长为半径作弧两弧相交于点 N和M，作直线MN 【答案】如图 【例19】 已知：如图，ABC及两点M、N。求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的 直线的距离相等。 N M C B A P N M C B A P N M C B A 【难度】3 星 【解析】本题考查了，线段的垂直平分线，角平分线的性质及判定，几何操作与尺规作图 【答案】因为是两边所在的直线，所以有两个答案。 答案一：ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点 答案二：ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点 画轴对称图形和对称轴画轴对称图形和对称轴 【例20】 作出

14、下图所示的图形的对称轴： 【难度】2 星 【解析】轴对称和轴对称图形 【答案】答案如图 【例21】 作出下图所示的成轴对称图形的对称轴： 【难度】2 星 【解析】轴对称和轴对称图形 【答案】答案如图 【例22】 下列为边长为 1 的小正方形组成的网格图 请画出ABC 关于直线 a 对称的图形（不要求写作法） ； 求ABC 的面积（直接写出即可） C B A a C1 B1 A1 C B A a 【难度】2 星 【解析】考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，及利用网格求图形的面积的能力作此题时，三角形 的底和高都不太好计算，可以利用图中图形的面积关系计算 【答案】 （1）如图： （2） 11 2

15、 版块三、轴对称与线段和差最值问题 单对称轴 【例23】 如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离 和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？ B A aB B P A a 【难度】2 星 【解析】略 【答案】答案见右上图。 【巩固】如图，在等腰Rt ABC中，3CACB，E的BC上一点，满足2BE ，在斜边AB上求作一点 P使得PCPE长度之和最小。 E P CB A E E P CB A 【难度】3 星 【解析】略 【答案】如下图。 双对称轴双对称轴 【例24】 如图，45AOB，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作

16、Q、R，使 得PQR的周长的最小。 P O B A R Q P P P O B A 【难度】3 星 【解析】单对称轴的变形 【答案】如图。 【巩固】 如图，30AOB， 角内有点P， 且5OP ， 在角的两边有两点Q、R（均不同于O点） ， 则PQR 的周长的最小值为 O P A B R Q P P P B A O 【难度】3 星 【解析】作点P关于OA的对称点 P ，作点P关于OB的对称点 P ，连接P P ，交OA OB ， 于Q R，两点， 则Q R， 即 为 所 求 易 知5O PO PO P ，AOPAOPBOPBOP， ， 260P OPAOB ， P OP为等边三角形 5P P

17、， 进而PQR的周长最小值为 5 【答案】5 平移 【例25】 如图，A B，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可 看成平行线，桥是垂直于河岸的） l2 l1 B A l2 l1 B A A C D a 【难度】3 星 【解析】这种题是过河类题形（建桥问题） 。这类题与河的宽度有关，不可忽略。而且在这类题里河的所 有部分都视为宽度相等。作法如下如图： （1）设河的宽度为a，过A作河岸 1 l的垂线 AA，长度为河的宽度a （2）连接A B，交 2 l于C （3）过C作 1 CDl于D，连接AD 则CD即为桥的位置，两村人走的路线为ADDCCB，总长度为 AB

18、CD 下面来证明这种作法的正确性： N M a D C A A B l1 l2 在河上任取异于CD两点的MN，MN垂直于河的两岸如图，连接AM， AN，NB。因为 AA与 MN平行且相等，所以四边行 AMNA为平行四边形，同理 ADCA也为平行四边形。这样就有 AMAN ADAC MNCD， 在A NB中，A NNBA B，即AMMNNBADDCCB。这样就证明了桥建在CD位 置两村来往的距离最近。 【答案】见解析。 路程差最大问题 【例26】 已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|BMAM 最大。 B A l B A l M 【难度】3 星 【解析】略 【答案】如图。 【巩

19、固】求在直线l上找一点P，使得直线l为APB的角平分线 B A P B B A 【难度】3 星 【解析】作出对称点，然后利用轴对称与等腰三角形 【答案】如图 1. 尺规作图：把右图补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、 保留作图痕迹） l l 【难度】3 星 【解析】轴对称和轴对称图形 【答案】答案见右上图 课堂检测 2. 已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的 边的距离和最小。 M O B A P 【难度】3 星 【解析】略 【答案】如图 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 1 如图，

20、A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离1kmAC ，B村到公 路l的距离2kmBD，B村在A村的南偏东45方向上 （1） 求出A，B两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺 规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，简明书写作法） 课后作业 总结复习 北 东 D B C A l 【难度】3 星 【解析】线段的垂直平分线，几何操作与尺规作图 【答案】 （1） 方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得45AB ACO和BDO都是等腰直角三角形 2AO ，2 2BO AB，两村的距离为22 23 2 k

21、mABAOBO 方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E易证四边形CDBE是矩形， 2CEBD 在Rt AEB中，由45A ，可得3BEEA 32 333 2 kmAB AB，两村的距离为3 2km （2） 作图正确，痕迹清晰 N M l A C B D 作法：分别以点AB，为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径作弧， 两弧交于两点M，N，作直线MN； 直线MN交l于点P，点P即为所求 2 已知：如图，在ABC中，2ABBC，120ABC，BC平行于x轴，点B的坐标是( 3,1) （1）画出ABC关于y轴对称的A B C； （2）求以点A、B、B、A为顶点的四边形的面积 O C B A y x 【难度】3 星 【解析】略 【答案】 （1）如图 C B A O C B A y x （2）过A点作ADBC，交BC的延长线于点D， 则18060ABDABC, 在Rt ABD中, 1 c o s21 2 B DA BA B D 3 s i n23 2 A DA BA B D 又知点B的坐标为3 1 ， 点A的坐标为 4 13， AAy轴，BBy轴 AABB AB与A B不平行 以点A B BA， ， ，为顶点的四边形是等腰梯形 由点A B，的坐标可求得 248236A AB B， 梯形ABB A的面积 11 8637 3 22 AABBAD CB A y x O DCB A