著名机构初中数学培优讲义轴对称与等腰三角形.第04讲(B级).学生版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 轴对称 了解图形的轴对称， 理解对应 点所连的线段被对 称轴垂直平分性质； 了解物体的镜面对 称 能按要求作出简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形； 掌握简单图形之间的轴对称关系，并 能指出对称轴；掌握基本图 形（等腰三角形、矩形、菱 形、等腰梯形、正多边形、 圆） 的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行 图案设计 1 轴对称与等腰三角形性质的综合应用 版块一 轴对称与轴对称图形 轴对称图形的识别轴对称图形的识别 【例1】 如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称. 例题精讲 中考要求 重难点 轴对称与等腰三角形 【巩

2、固】通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形 轴对称和折叠轴对称和折叠 【例2】 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是 【巩固】将一个正方形纸片依次按图 1a，b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪，成图 d 样式，将纸展 开铺平，所得到的图形是图 2 中的（ ） 图 1 图 2 版块二 垂直平分线的性质及判定 垂直平分线的性质垂直平分线的性质 【例3】 如图所示，在ABC 中，BAC=106 ，EF、MN 分别是 AB、AC 的垂直平分线，点 E、M 在 BC 上，则EAM= N M F ECB A 垂直平分线的垂直平分线的

3、判定判定 【例4】 已知：如图，ABC 中，ACB=90 ，D 是 BC 延长线上一点，E 是 AB 上一点，且在 BD 的垂直 平分线 EG 上，DE 交 AC 于 F，求证：E 在 AF 的垂直平分线上 G F E D C B A 垂直平分线的画法垂直平分线的画法 【例5】 已知：如图，ABC及两点M、N。求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的 直线的距离相等。 N M C B A 版块三、轴对称与线段和差最值问题 单对称轴 【例6】 如图，在等腰Rt ABC 中， 3CACB ，E的BC上一点，满足2BE ，在斜边AB上求作一点 P使得PC PE 长度之和最小。 E P CB

4、 A 双对称轴 【例7】 如图，30AOB， 角内有点P， 且5OP ， 在角的两边有两点Q、R（均不同于O点） ， 则PQR 的周长的最小值为 O P A B 多对称轴 【例8】 如图， ，当点A与 123 lll、 、连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点A向点B运动时的最 短路程 l3 l2 l1 B A 【例9】 如图，矩形台球桌ABCD上有两个球PQ、，求作一击球路线，使P球顺次撞击球桌四边后再撞 击Q球（球撞击桌边的入射角等于反射角） D CB A Q P 平移 【例10】 如图，在a上找到M、N两点，且10MN （以1cm代表 10 个单位） ，M在N的左边，使四边 形ABM

5、N的周长最短。 B A a 【巩固】如图，A B，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可 看成平行线，桥是垂直于河岸的） l2 l1 B A 【巩固】求在直线l上找一点P，使得直线l为APB的角平分线 B A 版块四 等腰三角形 等腰三角形的边长 【例11】 从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角 形的( ) A两腰长的和 周长一半 周长 一腰长与底边长的和 【例12】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 9 和 12 两部分，求腰长和底长 【巩固】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 12 和 15

6、 两部分，求腰长和底长 【例13】 已知等腰三角形的周长为 12，腰长为x，求x的取值范围 【巩固】已知等腰三角形的周长为 20，腰长为x，求x的取值范围 求角度 【例14】 ABC的一个内角的大小是 0 40，且 AB ，那么C的外角的大小是( ) A140 B80或100 C 100或140 D 80或140 【巩固】已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A20 B120 C20或120 D36 【巩固】若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为( ) A32.5 B57.5 C65或57.5 D32.5或57.5 利用利用

7、方程方程求角度求角度 【例15】 如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD， 求：ABC各角的度数 A B D C 【巩固】 如图， 在ABC中，BC ，D在BC上，50BAD， 在AC上取一点E， 使得ADEAED， 求EDC的度数 A BCD E 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 【例16】 如图（1） ，A B A C ，BD，CD分别平分ABC，ACB问： （1）图中有几个等腰三角形？ （2） 过D点作EFBC，如图 （2） ，交AB于E，交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图（3） ，若将题中的ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？

8、 线段EF与BE、CF有什么关系？ （4）如图（4） ，BD平分ABC，CD平分外角ACGDEBC交AB于E，交AC于F线 段EF与BE、CF有什么关系？ （5）如图（5） ，BD、CD为外角CBM、BCN的平分线，DEBC交AB延长线于E，交 AC 延长线于F，线段EF与BE、CF有什么关系？ (1) C D B A (5)(4)(3)(2)(1) M D D D DC CC C B BB B A A A 1 2 3 A A BC D E E E E F F FF G M N N 等边三角形等边三角形 【例17】 如图，三角形ABC中，ABBCCA，AECD，AD，BE相交于P，BQ垂直AD

9、于Q， 求证：2BPPQ P Q A BCD E 【例18】 已知， 如图， 延长ABC的各边， 使得BFAC，AE CDAB， 顺次连接DEF， ， 得到DEF 为等边三角形 求证：(1)AEFCDE；(2)ABC为等边三角形 F D E C B A 【巩固】如图所示，已知ABC，延长CA、AB、BC到D、E、F，连接DE、EF、FD，使得 AEDBFECDF ，若60ABC，50DFE，求BAC及EDF的度数 A B C D E F 1. 在ABC中，ABAC，BCBDEDEA求A E D CB A 课堂检测 2. 已知BD是等腰ABC一腰上的高，且50ABD，求ABC三个内角的度数 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 总结复习 1 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的 长为( ) A17cm B5cm C17cm或5cm D无法确定 2 如图所示，ABAC，BDBCAD，求A的度数 D CB A 课后作业