著名机构初中数学培优讲义轴对称与等腰三角形.第04讲(B级).教师版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 轴对称 了解图形的轴对称， 理解对应 点所连的线段被对 称轴垂直平分性质； 了解物体的镜面对 称 能按要求作出简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形； 掌握简单图形之间的轴对称关系，并 能指出对称轴；掌握基本图 形（等腰三角形、矩形、菱 形、等腰梯形、正多边形、 圆） 的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行 图案设计 1 轴对称与等腰三角形性质的综合应用 版块一 轴对称与轴对称图形 轴对称图形的识别轴对称图形的识别 【例1】 如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称. 例题精讲 中考要求 重难点 轴对称与等腰三角形 【难

2、度】2 星 【解析】略 【答案】轴对称图形：1，3，4，6，8，10； 成轴对称的图形有：2，5，7，9 【巩固】通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形 【难度】3 星 【解析】本题考查了图形的变化以及轴对称，1，3，5 图形上下对称，2，4，6 左右对称 【答案】图形上下对称即得 轴对称轴对称和折叠和折叠 【例2】 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是 【难度】2 星 【解析】当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，因此裁剪后的图形应该是有两条对称轴的 图形，在平行于斜边的位置上打 3 个洞，则直角顶点处完好，即原正方

3、形中间无损 【答案】D 【巩固】将一个正方形纸片依次按图 1a，b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪，成图 d 样式，将纸展 开铺平，所得到的图形是图 2 中的（ ） 图 1 图 2 【难度】2 星 【解析】依题意，正方形纸片经过两次对折，因此裁剪后的图形应该是有两条对称轴的图形，图 2 中的四 个图形均为有两条轴对称图形， 分别作出它们的两条对称轴， 取图形的 1 4 部分与图 1 中的d匹配， 易知 D 选项符合题意 【答案】D 版块二 垂直平分线的性质及判定 垂直平分线的性质垂直平分线的性质 【例3】 如图所示，在ABC 中，BAC=106 ，EF、MN 分别是 AB、AC 的垂直

4、平分线，点 E、M 在 BC 上，则EAM= N M F ECB A 【难度】3 星 【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出 74BCBAECAM 是解答此题的关键 【答案】32 垂直平分线的垂直平分线的判定判定 【例4】 已知：如图，ABC 中，ACB=90 ，D 是 BC 延长线上一点，E 是 AB 上一点，且在 BD 的垂直 平分线 EG 上，DE 交 AC 于 F，求证：E 在 AF 的垂直平分线上 2 4 3 1 F E D G C B A 【难度】2星 【解析】线段垂直平分线的逆定理 【答案】E在BD垂直平分线EG上，EBED，1B

5、90ACB，1390 ，290B 3=2 3=4， 4=2，EAEF， E在AF的垂直平分线上 垂直平分线的画法垂直平分线的画法 【例5】 已知：如图，ABC及两点M、N。求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的 直线的距离相等。 N M C B A P N M C B A P N M C B A 【难度】3 星 【解析】本题考查了，线段的垂直平分线，角平分线的性质及判定，几何操作与尺规作图 【答案】因为是两边所在的直线，所以有两个答案。 答案一：ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点 答案二：ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点 版块三、轴对称与线段和差最值问题 单对

6、称轴 【例6】 如图，在等腰Rt ABC 中， 3CACB ，E的BC上一点，满足2BE ，在斜边AB上求作一点 P使得PC PE 长度之和最小。 E P CB A E E P CB A 【难度】3 星 【解析】略 【答案】如图。 双对称轴 【例7】 如图，30AOB， 角内有点P， 且5OP ， 在角的两边有两点Q、R（均不同于O点） ， 则PQR 的周长的最小值为 O P A B R Q P P P B A O 【难度】3 星 【解析】作点P关于OA的对称点 P ，作点P关于OB的对称点 P ，连接P P ，交OA OB ， 于Q R，两点， 则Q R，即为所求易知5OPOPOP ， AO

7、PAOPBOPBOP， ， 260P OPAOB ， P OP为等边三角形 5P P ， 进而PQR的周长最小值为 5 【答案】5 多对称轴 【例8】 如图， ，当点A与 123 lll、 、连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点A向点B运动时的最 短路程 l3 l2 l1 B A 【难度】3 星 【解析】利用三条对称轴作出对称点，然后根据两点之间线段最短 【答案】如图 l3 l2 l1 B A A B A 【例9】 如图，矩形台球桌ABCD上有两个球PQ、，求作一击球路线，使P球顺次撞击球桌四边后再撞 击Q球（球撞击桌边的入射角等于反射角） D CB A Q P D CB A Q Q P

8、 P Q P 【难度】4 星 【解析】四个对称轴，作出对称点，连线 【答案】如图 平移 【例10】 如图，在a上找到M、N两点，且10MN （以1cm代表 10 个单位） ，M在N的左边，使四边 形ABMN的周长最短。 B A a N M B BB A a 【难度】3 星 【解析】略 【答案】如图。 【巩固】如图，A B，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可 看成平行线，桥是垂直于河岸的） l2 l1 B A l2 l1 B A A C D a 【难度】3 星 【解析】这种题是过河类题形（建桥问题） 。这类题与河的宽度有关，不可忽略。而且在这类题里河的所 有

9、部分都视为宽度相等。作法如下如图：设河的宽度为a，过A作河岸 1 l的垂线 AA，长度为 河的宽度a；连接 AB，交 2 l于C；过C作 1 CDl于D，连接AD，则CD即为桥的位置， 两村人走的路线为+AD DCCB，总长度为 ABCD 下面来证明这种作法的正确性： N M a D C A A B l1 l2 在河上任取异于CD两点的MN，MN垂直于河的两岸如图，连接AM， AN，NB。因为 AA与 MN平行且相等，所以四边行 AMNA为平行四边形，同理 ADCA也为平行四边形。这样就有 AMAN ADAC MNCD， 在 ANB中， ANNBAB，即AMMNNBADDCCB。这样就证明了桥

10、建在CD位 置两村来往的距离最近。 【答案】见解析。 【巩固】求在直线l上找一点P，使得直线l为APB的角平分线 B A P B B A 【难度】3 星 【解析】作出对称点，然后利用轴对称与等腰三角形 【答案】如图 版块四 等腰三角形 等腰三角形的边长 【例11】 从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角 形的( ) A两腰长的和 周长一半 周长 一腰长与底边长的和 【难度】2 星 【解析】利用等腰三角形两腰相等进行转化 【答案】A 【例12】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 9 和 12 两部分，求腰长和底长 【难度】3 星 【解析】分

11、类讨论 【答案】设这个三角形的腰长为x，底长为y，则 12 2 9 2 x x x y ，解得 8 5 x y ，或 9 2 12 2 x x x y ，解得 6 9 x y ， 而 8，8，5 和 6，6，9 均能组成等腰三角形 【巩固】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 12 和 15 两部分，求腰长和底长 【难度】3 星 【解析】分类讨论 【答案】设这个三角形的腰长为x，底长为y，则 15 2 12 2 x x x y ，解得 10 7 x y ，或 12 2 15 2 x x x y ，解得 8 9 x y ， 而 10，10，7 和 8，8，9 均能组成等腰三角形 【例13】

12、 已知等腰三角形的周长为 12，腰长为x，求x的取值范围 【难度】2 星 【解析】三角形三边关系与不等式 【答案】122xxx，且1220x，解得36x 【巩固】已知等腰三角形的周长为 20，腰长为x，求x的取值范围 【难度】2 星 【解析】三角形三边关系与不等式 【答案】202xxx，且2020x，解得510x 求角度 【例14】 ABC的一个内角的大小是 0 40，且 AB ，那么C的外角的大小是( ) A140 B80或100 C 100或140 D 80或140 【难度】2 星 【解析】分类讨论 【答案】D 【巩固】已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数

13、为( ) A20 B120 C20或120 D36 【难度】2 星 【解析】分类讨论 【答案】当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为1:4:4 ，此时顶角为20； 当顶角为钝角时，内角的度数之比为1:1:4 ，此时顶角为120故选C 【巩固】若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为( ) A32.5 B57.5 C65或57.5 D32.5或57.5 【难度】3 星 【解析】分类讨论 【答案】C 利用方程利用方程求角度求角度 【例15】 如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD， 求：ABC各角的度数 A B D C 【难度】2 星 【解析】根据

14、等边对等角的性质，我们可以得到 AABD ，ABCCBDC， 再由BDCAABD ，就可得到2ABCCBDCA 再由三角形内角和为180，就可求出ABC的三个内角 设Ax ，那么2ABCCx，这样过程就更简捷 【答案】ABAC，BDBCAD， ABCCBDCAABD 设Ax ，则 2BDCAABDx 从而2ABCCx 于是在ABC中，有 180AABCC 即5180x 解得36x 在ABC中，36A ,72ABCC 【巩固】 如图， 在ABC中，BC ，D在BC上，50BAD， 在AC上取一点E， 使得ADEAED， 求EDC的度数 A BCD E 【解析】 由题设BC ，ADEAED，及三角

15、形外角定理， 即EDCCAED ， 有1802DAEAED 18022EDCC 而180250CDAE 250(18022)CEDCC 180502 EDC 故250EDC，即25EDC 【答案】25 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 【例16】 如图（1） ，A B A C ，BD，CD分别平分ABC，ACB问： （1）图中有几个等腰三角形？ （2） 过D点作EFBC，如图 （2） ，交AB于E，交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图（3） ，若将题中的ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？ 线段EF与BE、CF有什么关系？ （4）如图（4） ，BD平分A

16、BC，CD平分外角ACGDEBC交AB于E，交AC于F线 段EF与BE、CF有什么关系？ （5）如图（5） ，BD、CD为外角CBM、BCN的平分线，DEBC交AB延长线于E，交 AC 延长线于F，线段EF与BE、CF有什么关系？ (1) C D B A (5)(4)(3)(2)(1) M D D D DC CC C B BB B A A A 1 2 3 A A BC D E E E E F F FF G M N N 【难度】3 星 【解析】图中有两个等腰三角形：ABC、BCD 图中又增加了三个等腰三角形：AEF、BED、CFD 图中有两个等腰三角形：BED、CFD， 由于EDBE，DFCF，

17、EFEDFDBECF，故EFBECF 图所示中仍有两个等腰三角形BED、CDF 从而DEBE，CFDF，又EFEDDFBECF，故EFBECF 如图所示与类似，EFBECF 【答案】见解析 等边三角形等边三角形 【例17】 如图，三角形ABC中，ABBCCA，AECD，AD，BE相交于P，BQ垂直AD于Q， 求证：2BPPQ P Q A BCD E 【难度】3 星 【解析】30角所对直角边等于斜边一般 【答案】三角形ADC逆时针旋转 120 度即得三角形ABE，所以AD与BE成 120 度角 那么60BPQ，30PBQ，由BQ垂直于AD，所以2BPPQ 【例18】 已知， 如图， 延长ABC的

18、各边， 使得BFAC，AE CDAB， 顺次连接DEF， ， 得到DEF 为等边三角形 求证：(1)AEFCDE；(2)ABC为等边三角形 F D E C B A 【难度】3 星 【解析】充分利用等边三角形的性质 【答案】(1)BFAC，ABAE， FAEC DEF是等边三角形， EFDE 又AECD， AEFCDE (2)由AEFCDE，得FEAEDC， BCAEDCDECFEADECDEF， DEF是等边三角形， 60DEF ， 60BCA， 同理可得60BAC 在ABC中，ABBC ABC是等边三角形 【巩固】如图所示，已知ABC，延长CA、AB、BC到D、E、F，连接DE、EF、FD，

19、使得 AEDBFECDF ，若60ABC，50DFE，求BAC及EDF的度数 A B C D E F 【难度】3 星 【解析】略 【答案】记AEDBFECDFa 50DFE，50DFCa 50ACBCDFDFC 60ABC，180506070BAC BACDEAEDC ，70EDCa，70EDF 1. 在ABC中，ABAC，BCBDEDEA求A 课堂检测 E D CB A 【难度】2 星 【解析】设Ax ，则2BEDx，3BDCx，32DBCxxx， 在BDC中，可得33180xxx， 180 () 7 x 【答案】 180 7 2. 已知BD是等腰ABC一腰上的高，且50ABD，求ABC三个

20、内角的度数 【难度】3 星 【解析】若ABC为钝角三角形时，A为顶角时，三内角大小为1402020，； 若ABC为钝角三角形时，A为底角时，三内角大小为1004040，； 若ABC为锐角三角形时，A为顶角，三内角大小为407070， 【答案】1402020，或1004040，或407070， 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 课后作业 总结复习 1 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的 长为( ) A17cm B5cm C17cm或5cm D无法确定 【解析】 设腰长为a，底边长为b，此题可分为两类， 1 12 2 1 21 2 2 aa ba ab 或 1 21 2 1 12 2 2 aa ba ab ，第一类无解；第二类解为 14 5 a b ，故选B 2 如图所示，ABAC，BDBCAD，求A的度数 D CB A 【解析】略 【答案】36