著名机构初中数学培优讲义轴对称.第06讲.教师版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 轴对称 了解图形的轴对称， 理解对应 点所连的线段被对称轴垂直 平分性质； 了解物体的镜面对 称 能按要求作出简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形； 掌握简单图形之间的轴对称关系，并 能指出对称轴；掌握基本图形（等腰 三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正 多边形、 圆） 的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行 图案设计 等腰三角形 了解等腰三角形、 等边三角形 和直角三角形的概念， 会识别 这三种图形， 并理解这三种图 形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形和直角 三角形的性质和判定解决简单问题 能用等腰三角形、 等边三角形和直角 三角形的知识解决

2、 有关问题 版块一 轴对称与轴对称图形 轴对称的有关概念轴对称的有关概念 1 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就 是对称轴。 2 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。 3 轴对称指两个图形，轴对称图形是指一个图形。 4 成轴对称的两个图形一定是全等形；全等的两个图形不一定成轴对称。 轴对称及轴对称图形的性质 1 如果两个图形关于某一直线对称，则对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相 等。 2 轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分；轴对称图形的对

3、应线段相等，对应角相等。 3 线段有两条对称轴；角有两条对称轴；等腰三角形（非等边）有两条对称轴；等边三角形有三条对称 轴；等腰梯形有一条对称轴；矩形有两条对称轴；菱形有两条对称轴；正方形有四条对称轴；圆有无 数条对称； 中考要求 例题精讲 中考复习： 几何变换之轴对称 【例1】 下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ） 【解析】根据轴对称的性质来判断 【答案】C 【例2】 有下列语句：沿一条直线翻折后，能够重合的两个图形关于这条直线对称；一个轴对称图形 一定能沿一条直线翻折，直线两侧部分相互重合；两个能重合的图形一定关于某条直线对称； 一个轴对称图形不一定只有一条对称轴。其中正确的有（ ）

4、 A.1句 B.2句 C.3句 D.4句 【解析】正确的有， 【答案】C 【例3】 下列语句中错误的是（ ） A.线段有两条对称轴 B. 角有一条对称轴 C. 等腰三角形至少有一条对称轴 D.等腰三角形只有一条对称轴 【解析】略 【答案】D 【例4】 下列图形中对称轴最多的是（ ） A圆 B正方形 C等腰三角形 D线段 【解析】略 【答案】A 【例5】 如图，直线L是四边形ABCD的对称轴，若ABCD，有下面的结论：ABCD ACBD AOOC ABBC，其中正确的结论有_ O D C B A l 【解析】主要考查了轴对称的性质轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段 相等，对

5、应角相等 【答案】 【例6】 将一个正方形纸片依次按图 1，a，b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪，成图 d 样式，将纸 展开铺平，所得到的图形是图 2 中的（ ） 图 1 图 2 【解析】依题意，正方形纸片经过两次对折，因此裁剪后的图形应该是有两条对称轴的图形，图 2 中的四 个图形均为有两条轴对称图形， 分别作出它们的两条对称轴， 取图形的 1 4 部分与图 1 中的d匹配， 易知 D 选项符合题意 【答案】D 【例7】 如图 a 是长方形纸带，DEF=20 ，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c 中的 CFE 的度数是（ ） A、110 B、120 C

6、、140 D、150 【解析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称根据轴对称的 性质，折叠前后图形的形状和大小不变 【答案】B 【例8】 如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠， 点A落在点 A 处，且点 A 在ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm A D E C B A 【解析】利用轴对称的性质进行转化的基本思想 【答案】3 版块二 垂直平分线的性质及判定 垂直平分线的性质垂直平分线的性质及判定及判定 性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线

7、上 【例9】 如图所示，在ABC 中，BAC=106 ，EF、MN 分别是 AB、AC 的垂直平分线，点 E、M 在 BC 上，则EAM= N M F ECB A 【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出 74BCBAECAM 是解答此题的关键 【答案】32 【例10】 已知：如图，ABC及两点M、N。求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的 直线的距离相等。 N M C B A P N M C B A P N M C B A 【解析】本题考查了，线段的垂直平分线，角平分线的性质及判定，几何操作与尺规作图 【答案】因为是两边所在的直线，所

8、以有两个答案。 答案一：ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点 答案二：ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点 【例11】 下列为边长为 1 的小正方形组成的网格图 请画出ABC 关于直线 a 对称的图形（不要求写作法） ； 求ABC 的面积（直接写出即可） C B A a C1 B1 A1 C B A a 【解析】考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，及利用网格求图形的面积的能力作此题时，三角形 的底和高都不太好计算，可以利用图中图形的面积关系计算 【答案】如图： 11 2 版块三、轴对称与线段和差最值问题 基本思路：通过轴对称的性质转化线段的数量关系 【例12】 如图，在等腰R

9、t ABC中，3CACB，E的BC上一点，满足2BE ，在斜边AB上求作一点 P使得PCPE长度之和最小，最小值为多少？ E P CB A E E P CB A 【解析】略 【答案】如图，最小值为13。 【例13】 如图，30AOB， 角内有点P， 且5OP ， 在角的两边有两点Q、R（均不同于O点） ， 则PQR 的周长的最小值为 O P A B R Q P P P B A O 【解析】作点P关于OA的对称点 P ，作点P关于OB的对称点 P ，连接P P ，交OA OB ， 于Q R，两点， 则Q R， 即 为 所 求 易 知5O PO PO P ，AOPAOPBOPBOP， ， 260P

10、 OPAOB ， P OP为等边三角形 5P P ， 进而PQR的周长最小值为 5 【答案】5 【例14】 已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|BMAM 最大。 B A l B A l M 【解析】略 【答案】如图。 【巩固】求在直线l上找一点P，使得直线l为APB的角平分线 B A P B B A 【解析】作出对称点，然后利用轴对称与等腰三角形 【答案】如图 板块四 等腰三角形 等腰三角形等腰三角形 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2 等腰三角形的两腰相等，两底相等。 3 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；简称三线合一。 4 等腰直角三

11、角形的两个锐角都等于 45。 等边三角形等边三角形 1 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都是 60；三边都相等。 2 有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。 3 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。 【例15】 若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A50 80 65或50 50或80 【解析】分类讨论 【答案】 【例16】 等腰三角形一个角为 70 ,它的另外两个角为_； 【解析】分情况讨论 【答案】7040，或5555， 【例17】 等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 4cm,则它的周长是 ； 【解析】分情况讨论 【答案】10cm

12、 或 11cm 【例18】 等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是 。 【解析】分情况讨论，同时注意三边关系 【答案】19cm 【例19】 等腰三角形两边长为4和6，则它的面积为（ ） A.8 2 B.8 2或15 C.15 D.8 2或3 7 【解析】分类讨论 【答案】当腰为4时，底边为6，它的面积为3 7；当腰为6时，底边为4时，其面积为8 2，选D 【例20】 在ABC中，ABAC，点D在AC边上，使BDBC，点E在AB边上，使ADDEEB，则 EDB等于（ ） A.22.5 B.25 C.30 D.37.5 E D C B A 【解析】引入未知数建立方程 【答案

13、】A 【例21】 如图，15A，ABBCCDDEEF，那么FEM等于（ ） A.90 B.75 C.70 D.60 M F E D C B A 【解析】略 【答案】B 【例22】 如图，在ABC中，ABAC，ABC，ACB的平分线相交于点F，过F作DEBC ，交AB 于点D，交AC于E图中是等腰三角形有 F E CB A D 【解析】略 【答案】ADE，BDF，EFC，BFC，ABC等腰三角形 【例23】 已知ABC中，90A，67.5B.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请 你利用下面给出的备用图，画出两种 不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出 相等两角的度

14、数）. CB A CB A 【解析】 45 45 22.522.5 A BC 22.5 22.5 67.5 67.5 CB A 【答案】见解析 【例24】 已知：如图，ABC中，ABAC，36A 仿照图 1，请你再设计两种不同的分法，将ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰 三角形，作图工具不限，不要求写出画法；要求标出所分得的每个等腰三角形的三个内角的度数 108 72 36 36 3672 36 36 108 【解析】略 【答案】解： 108 108 108 108 72 72 72 72 72 72 72 72 7272 36 36 36 36 36 36 3636 36 36

15、36 36 36 【例25】 在正方形ABCD所在平面上找一点P，使APB是等腰直角三角形，这样的点P你能发现几个? 请作出这些点 D CB A 【解析】注意从等腰三角形边的分类入手找到完整答案. （P6） （P5） P4 P3 P2 BC P1 DA 【答案】如图所示的 6 个点 1 P、 2 P、 3 P、 4 P、 6 P. 【例26】 等边三角形除一般的等腰三角形的性质外，它的特有性质主要有： （1）边的性质：_； （2）角的性质：_； （3）对称性：等边三角形是_图形，它有_ 对称轴 【解析】略 【答案】三边相等；三个角都是60 【例27】 含 30 角的直角三角形的一个主要性质是_

16、 【解析】略 【答案】30所对的直角边是斜边的一半 【例28】 面积为25 3 2 cm的正三角形的边长是（ ） A.15cm B.10 cm C.5 2 cm D.5 cm 【解析】略 【答案】如果正三角形的边长为a，则面积为 2 3 4 a，因此 2 3 25 3 4 a ，解得10a ，选B 【例29】 已知：如图 84，ABC 和BDE 都是等边三角形 （1）求证：ADCE； （2）当 ACCE 时，判断并证明 AB 与 BE 的数量关系 【解析】（1）ABDCBE（2）在CBE中，30所对的直角边为斜边的一半 【答案】（1）略；（2）2ABBE 【例30】 如图，在等边ABC中，点D

17、E，分别在边BCAB，上，BDAE，AD与CE交于点F (1)求证：ADCE；(2)求DFC的度数 F E D CB A 【解析】略 【答案】 （1）证明：ABC是等边三角形， 60BACB，ABAC 又AEBD， AEC(SAS)BDA， ADCE （2）解由(1)AECBDA，得ACEBAD ， DFCFACACE60FACBAD 板块六 全等与轴对称 【例31】 如图，在ABC中，ACBC，90ACB，D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E， 且 1 2 AEBD求证：BD是ABC的角平分线 D E C B A F A B C E D 【解析】结论要证明： “BD是ABC的角平分线”

18、 ，而且已知条件中有“ 1 2 AEBD” ，即“2BDAE” 因此可以通过沿BD翻折“AEB”构造“2AE” ，但是，问题在于“BD是ABC的角平分线” 是我们所需要证明的结论，而并非已知条件，所以辅助线的描述方式为： “延长AE、BC交于点 F” 【答案】延长BC、AE交于F点，先证明AFCBDC()SAS，得2AFBDAE，则AEFE，再 证ABEFBE 【例32】 如图，在ABC中，ADBC于D，2BC 求证：ABBDCD DCB A E A BCD 【解析】根据已知条件，可考虑将ACD沿AD折叠，点C落在DB的延长线上的点E，因此将求证的结 论转化为DEBDAB，因此只需证明ABBE

19、即可，辅助线描述如下： 延长DB到点E使得DECD，连接AE，易证AD为线段CE的垂直平分线， ACAB，CE ，2ABCC 2ABCE EBAE ABBE CDDEDBBEDBAB 也可以，延长DB至E，使BEBA，连接AE易证2ABCE ，所以CE ，进而ACE 是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一性质可知CDDEDBBEDBAB 【答案】略 【例33】 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，8AD cm，6AB cm。现有一动点P按下列方 式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一 边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运

20、动，并且它一直按照这种方式 不停地运动， 即当P点碰到BC边， 沿着BC边夹角为45的方向作直线运动， 当P点碰到CD边， 再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动，如图 1 所示，问P点第一次与D点重合前与 边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少。小贝的思考是这样开始的： 如图 2，将矩形ABCD沿直线CD折迭，得到矩形 11 ABCD，由轴对称的知识，发现 232 P PP E， 11 PAPE。 请你参考小贝的思路解决下列问题： P点第一次与D点重合前与边相碰 次； P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是 cm； 近一步探究：改变矩形ABCD中AD、A

21、B的长，且满足ADAB，动点P从A点出发，按照 阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上。 若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则:AB AD的值为 。 【解析】5； 24 2；解题思路示意图： A B C D E P A1 P1 P2 P3 B1 图 2 图 1 A B C D P P1 P2 P3 【例34】 如图，在ABC中，ABAC，D是ABC外的一点，且60ABD，60ACD 求证：BDDCAB D C B A E D C B A 【解析】本题辅助线的思路隐含在结论“BDDCAB” 以及60ABD中，很容易让人联想到等边 三角形，因此也只

22、需将这个等边三角形补全即可 【答案】延长BD至E，使BEAB，连接,AE CE 60 ,ABEBEAB， ABE为等边三角形 60 ,AEBACDAEABAC ACEAEC ， DCEDEC， DCDE， ABBEBDDEBDDC，故原题得证 【例35】 问题：已知ABC中，2BACACB ，点D是ABC内的一点，且ADCD，BDBA。 探究DBC与ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 当90BAC时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出15DAC时，可进一步推出DBC的度数为 ； 可得到DBC

23、与ABC度数的比值为 ； 当90BAC时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值 是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。 【解析】 相等；15；1:3。 猜想：DBC与ABC度数的比值与中结论相同。 证明：如图2，作KCABAC ，过B点作BKAC交CK于点K，连结DK。 90BAC 四边形ABKC是等腰梯形， CKAB，DCDA，DCADAC ， KCABAC ，3KCD ，KCDBAD， 24 ，KDBD，KDBDBAKC。 BKAC，6ACB ， 2KCAACB ，5ACB ，56 ，KCKB， A C B D1 A B C D A2 A1 B1 C1 B2 KDBDKB

24、，60KBD， 6601ACB ， 21202 1BACACB ， 1(601)(1202 1)2180 ，22 1 ， DBC与ABC度数的比值为1:3。 1 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的 直线折叠，使A落在MN上，落点记为A，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点， 则_A N ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（2n ,且n为整数） ，则 _A N （用含有n的式子表示） N M A ED C B A 【解析】折叠-勾股定理问题，基本思想：引入未知数，通过勾股定理建立方程 【答案】 3 2 、

25、21n n 2 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： B NM F E D C B A B D N F A C E B N P E C DA NM D C B A 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图； 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B，得Rt AB E， 如图 第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图 利用展开图探究： AEF是什么三角形？证明你的结论 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由 【解析】略 B A C D K 1 2 3 4 5 6 图 2 课堂检测 【答案】AEF是等边三角形 由平行线分线段定理知PEPA

26、 PAPB，13 又PNAD，23 而2 1290 ，1230 在Rt AB E中，190AEF 60AEF，1260EAF AEF是等边三角形 3 2 1 A B C D E F MN B P 不一定 由 以 上 推 证 可 知 ， 当 矩 形 的 长 恰 好 等 于 等 边AEF的 边AF时 ， 即 矩 形 的 宽:长 =:AB AFsin603:2时，正好能折出。 如果设矩形的长为a， 宽为b， 可知当 3 2 ba时， 按此法一定能折出等边三角形； 当 3 2 aba 时，按此法无法折出完整的等边三角形 1 已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DGBC交AC于

27、点 GDEBC于点E，过点G作GFBC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DGDEGF，按图 1 所示方式折叠，点ABC， ，分别落在点 A ， B ， C 处若点 A ， B ， C 在矩形DEFG内或其边上， 且互不重合，此时我们称A B C （即图中阴影部分）为“重叠三角形” 若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中 （图中每个小三角形都是边长为 1 的等边三角形） ， 点ABCD， ， ，恰好落在网格图中的格点上如图 2 所示，请直接写出此时重叠三角形A B C 的 面积； 实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A B C 存在试用含m的代数式表示重叠三角形 A B C 的面积，并写出m的

28、取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用） 课后作业 A G C F B C E B D A 图 1 A G C F B C E B D A 图 2 重叠三角形A B C 的面积为 ； 用含m的代数式表示重叠三角形A B C 的面积为 ；m的取值范围为 【答案】重叠三角形A B C 的面积为3 用含m的代数式表示重叠三角形A B C 的面积为 2 3(4)m； m的取值范围为 8 4 3 m 2 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边 形叫做等对边四边形. O E D C B A 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

29、 如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若60A， 1 2 DCBEBCA ，请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四 边形； 在ABC中 ， 如 果A是 不 等 于60的 锐 角 ， 点D、E分 别 在AB、AC上 ， 且 1 2 D C BE B CA ， 探究： 满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形， 并证明你的结论. 【解析】略 【答案】解：如：平行四边形、等腰梯形等 答：与A相等的角是BOD（或COE） ，四边形 DBCE 是等对边四边形； 答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。 证法一：如图，作CGBE于G点，作BFCD交

30、CD延长线于F点。 因为 1 2 DCBEBCA ，BC为公共边， 所以BCFCBG，所以BFCG， 因为BDFABEEBCDCB ，BECABEA 所以BDFBEC ， 可证BDFCEG， 所以BDCE 所以四边形DBCE是等边四边形。 A C B 备用图 A C B 备用图 G F A B C D E O F A B C D E O 证法二：如图，以C为顶点作FCBDBC ，CF交BE于F点。 因为 1 2 DCBEBCA ，BC为公共边， 所以BDCCFB， 所以BDCF，BDCCFB ， 所以ADCCFE ， 因为ADCDCBEBCABE ，FECAABE ， 所以ADCFEC ， 所以FECCFE ， 所以CFCE， 所以BDCE， 所以四边形DBCE是等边四边形。