著名机构初中数学培优讲义中考复习.相似.第10讲（通用讲）.学生版

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1、 内容内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 相似相似 了解比例的基本性质，了解线段 的比、成比例线段，会判断四条 线段是否成比例，会利用线段的 比例关系求未知线段；了解黄金 分割； 知道相似多边形及其性质； 认识现实生活中物体的相似；了 解图形的位似关系 会用比例的基本性质解决有关 问题；会用相似多边形的性质解 决简单的问题；能利用位似变换 将一个图形放大或缩小 相似三角形相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判 定进行简单的推理和计算；会利 用三角形的相似解决实际问题 相似多边形相似多边形 知道相似多边形及其性质；认识 现实生活中物体的相似 会用

2、相似多边形的性质解决简 单问题 一、比例的性质 1, ac adbc bd 这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2 acbd bdac (反比定理); 3 acab bdcd (或 dc ba )(更比定理); 4 acabcd bdbd (合比定理); 5 acabcd bdbd (分比定理); 6 acabcd bdabcd (合分比定理); 7 (等比定理). 二、相似多边形 知识点睛 中考要求 相似三角形 对应角相等、对应边成比例的多边形，叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比 三、三角形相似的判定（除相似三角形的定义外） 1平行于三角形一边的直线和其他两边（

3、或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说 成：两角对应相等，两个三角形相似 3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相 似 4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说 成：三边对应成比例，两个三角形相似 5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似 6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7如果一个等腰三角形和另一个等腰三

4、角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相 似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似 四、相似三角形的性质 1相似三角形的对应角相等 2相似三角形的对应边成比例 3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比 4相似三角形周长的比等于相似比 5相似三角形面积的比等于相似比的平方 五、相似多边形的性质 1相似多边形的对应角相等 2相似多边形的对应边成比例 3相似多边形周长的比等于相似比 4相似多边形面积的比等于相似比的平方 【例1】在ABCD 中， E 为 BC 延长线上一点， AE 交 CD 于点 F， 若 AB=7， CF=3， 则 CE

5、AD = 【例2】已知：如图，点P是边长为 4 的正方形ABCD内一点，3PB ,BFBP于点B，试在射线BF上 找一点M，使得以点,B M C为顶点的三角形与ABP相似，作图并指出相似比k的值 例题精讲例题精讲 F A BC D P 【例3】已知： 如图四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形， 点R为DE的中点，BR分别交,AC CD 于点,P Q RQ P D CB A (1)写出图中各对相似的三角形相似比为 1 的除外 (2)求:BP PQ QR的值 【例4】在平面直角坐标系中， 矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点， 顶点 A、 B 分别在 x 轴、y轴的正半轴上， OA3，O

6、B4，D 为边 OB 的中点 （）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标； （）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标 【例5】如图 1， 在R t A B C中，90ACB， 半径为 1 的圆A与边AB相交于点D， 与边AC相交于点E， 连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P （1）当30B时，连结AP，若AEP与BDP相似，求CE的长； （2）若2CE ，BDBC，求BPD的正切值； （3）若 1 tan 3 BPD，设CEx，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式 A B C P

7、E D 图 1 A E C B P D 图 2（备用） O A B x y C D O A B x y C D E D （备用图） 【例6】如图，抛物线y ax 2bx1 与 x 轴交于两点 A（1 ，0） ，B（1，0） ，与y轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）过点B作BDCA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积； （3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MNx轴于点N，使以A、M、N为顶点 的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【例7】如图，已知 ABCA1B1C1，相似比为 k（k1） ，且 ABC 的三边长分别为 a、b、c（a

8、bc） ， A1B1C1的三边长分别为 a1、b1、c1 （1）若 ca1，求证：akc； B P E C D A 图 3（备用） C A B D y x O （2）若 ca1，试给出符合条件的一对 ABC 和 A1B1C1，使得 a、b、c 和 a1、b1、c1都是正整 数，并加以说明； （3）若 ba1，cb1，是否存在 ABC 和 A1B1C1，使得 k2？请说明理由 【例8】如图，在 RtABC 中，C90 ，AC3cm，BC4cm，点 P 以一定的速度沿 AC 边由 A 向 C 运 动，点 Q 以 1cm/s 的速度沿 CB 边由 C 向 B 运动，设 P、Q 同时运动，且当一点运动

9、到终点时， 另一点也随之停止运动，设运动时间为 t（s） （1）若点 P 以 4 3 cm/s 的速度运动 当 PQAB 时，求 t 的值； 在的条件下，试判断以 PQ 为直径的圆与直线 AB 的位置关系，并说明理由 （2）若点 P 以 1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以 PQ 为直径的圆能否与直线 AB 相切？若能，请 求出运动时间 t；若不能，请说明理由 【例9】如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC3，BC4，过点 B 作射线 BBlAC动点 D 从点 A 出 发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 出发沿射线 AC 方向以每秒 3 个单

10、位的速度运动过点 D 作 DHAB 于 H，过点 E 作 EF 上 AC 交射线 BB1于 F，G 是 EF 中 点，连结 DG设点 D 运动的时间为 t 秒 B C A A1 a A b A c B1 C1 a1 b1 c1 A C B P Q A C B 备用图 （1）当 t 为何值时，ADAB，并求出此时 DE 的长度； （2）当DEG 与ACB 相似时，求 t 的值； （3）以 DH 所在直线为对称轴，线段 AC 经轴对称变换后 的图形为 AC 当 t 5 3 时，连结 CC，设四边形 ACCA 的面积为 S， 求 S 关于 t 的函数关系式； 当线段 AC 与射线 BB1有公共点时，

11、求 t 的取值范围 （写出答案即可） 【例10】如图，设抛物线 C1：ya(x1) 25，C 2：ya(x1) 25，C 1与 C2的交点为 A，B，点 A 的 坐标是（2，4） ，点 B 的横坐标是2 （1）求 a 的值及点 B 的坐标； （2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG记过C2顶点M的直 D B H A E G F C B1 线为l，且l与x轴交于点N 若 l 过 DHG 的顶点 G，点 D 的坐标为（1，2） ，求点 N 的横坐标； 若l与 DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围 1 如图在正方形ABCD中12AD ，点E是边CD上

12、的动点（点E不与端点,C D重合） ，AE的垂直平分 课后作业 B A O x y C1 C2 B A O x y C1 C2 备用图 1 B A O x y C1 C2 备用图 2 线FP分别交,AD AE BC于点,F H G，交AB的延长线于点P P G H F ED C B A （1）设(012)DEmm ，试用含m的代数式表示 FH HG 的值； （2）在（1）的条件下，当 1 2 FH HG =时，求BP的长 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0,2)，点D在x轴的正半轴上，30ODB，OE为 BOD的中线，过B、E两点的抛物线 2 3 6 yaxxc与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）. （1）求抛物线的解析式； （2）等边OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长； （3）点P为ABO内的一个动点，设mPAPBPO，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时， 线段AP的长.