著名机构初中数学培优讲义中考复习.一元二次方程.第03讲(通用讲).教师版

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1、 知识点 基本要求 略高要求 较高要求 一元二次方程一元二次方程 了解一元二次方程的 概念， 会将一元二次方 程化为一般形式， 并指 出各项系数； 了解一元 二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概 念确定二次项系数中所 含字母的取值范围；会 由方程的根求方程中待 定系数的值 一元二次方程的一元二次方程的 解法解法 理解配方法， 会用直接 开平方法、 配方法、 公 式法、 因式分解法解简 单的数字系数的一元 二次方程， 理解各种解 法的依据 能选择恰当的方法解一 元二次方程；会用方程 的根的判别式判别方程 根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系 数的一元二次方程根的情况及由方 程根的情况确定

2、方程中待定系数的 取值范围；会用配方法对代数式做 简单的变形；会应用一元二次方程 解决简单的实际问题 板块一 一元二次方程的概念 一元二次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式： 2 0 (0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 一元二次方程的识别： 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2 任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可

3、以化为一般式 2 0axbxc0a 要特别注意对于关于x的方程 2 0axbxc，当0a 时，方程是一元二次方程；当0a 且0b 时， 方程是一元一次方程 一元二次方程的定义：一元二次方程的定义： 中考要求 例题精讲 中考复习：一元二次方程 关于一元二次方程的定义考查点有三个：二次项系数不为0；最高次数为2；整式方程 【例1】关于x的方程 22 (1)260axax是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A.1a B.0a C.a为任何实数 D.不存在 【解析】 2 1a 恒大于0 【答案】C 【巩固】已知关于x的方程 22 (2)1axaxx是一元二次方程，求a的取值范围 【解析】整理方程得

4、： 2 (3)10axax ，当3a 时，原方程是一元二次方程 【答案】3a 【例2】若 2 (3)330 n mxnx 是关于x的一元二次方程，则m、n的取值范围是（ ） A.0m 、3n B.3m 、4n C.0m ，4n D.3m 、0n 【解析】关于一元二次方程的定义考查点有两个：二次项系数不为0，最高次项的次数为2 【答案】B 一元二次方程根的考察一元二次方程根的考察 关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。 （将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 【例3】若m是方程 2 3220xx的一个根，那么代数式 2 3 1 2 mm的值为

5、【解析】m是方程 2 3220xx的一个根， 2 3220mm 即 2 3 1 2 mm， 代数式 2 3 12 2 mm （像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练） 【答案】2 【巩固】关于x的一元二次方程 22 (1)10axxa 的一个根是0，则a的值为（ ） A.1 B.1 C.1或1 D. 1 2 【解析】略 【答案】B 【巩固】若两个方程 2 0xaxb和 2 0xbxa只有一个公共根，则（ ） A.ab B.0ab C.1ab D.1ab 【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得a、b满足的关系式 【答案】设两方程的公共根为m，则 2 0mamb， 2

6、0mbma， -得，()0ab mba，()ab mab，解得1m 将1m 代入得10ab 1ab 选 D “降次”思想“降次”思想 【例4】已知a是方程 2 310xx 的一个根，则代数式 3 102aa的值为_ 【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。我们都知道解 一元二次方程最根本的思想就是“降次” ，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就 是“降次” ，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个： 根的考查；恒等变形 【答案】a是方程 2 310xx 的一个根 2 310aa ，即 2 1 3aa 322 (1

7、 3 )33(1 3 )39103aa aaaaaaaaaa 3 102(103) 1021aaaa 【巩固】已知m是方程 2 200610xx 的一个根，试求 2 2 2006 2005 1 mm m 的值 【解析】本题方法很多，但基本思路一样 【答案】m是方程 2 200610xx 的一个根 2 200610mm ，则 2 20061mm 原式 2006 (20061)2005 (20061)1 mm m 1 1m m = 2 1(20061)1 112006 12005 mm mm 板块二 一元二次方程的解法 【例5】解关于x的方程： 22 2332xx 【解析】略 【答案】 1 1x

8、， 2 1x 【巩固】解方程： 22 69(52 )xxx 【解析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相 反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解 【答案】 1 2x ， 2 8 3 x 【例6】用配方法解下列方程 2 640xx (1)(3)50yy 2 11 0 63 xx 2 241yy 2 23546xxx 【解析】略 【答案】 1 133x ， 2 133x ； 1 4y ， 2 2y ； 1 2 3 x ， 2 1 2 x ； 1 22 2 y ， 2 22 2 y ； 1 3x ， 2 3 2 x 【例7】用公式法解下列方程 2

9、 2310xx 2 362xx 1 (61)432(2) 2 xxxx 2 3220xx 【解析】略 【答案】 1 317 4 x ， 2 317 4 x 1 33 3 x ， 33 3 x 1 197 12 x ， 2 197 12 x 1 226 6 x ， 2 226 6 x 【例8】解关于x的方程： 2 (41)3(1 4 )40xx 【解析】换元法 【答案】设41xa ，则原方程可变形为 2 340aa 整理得(4)(1)0aa 40a 或10a 4a 或1a 当4a 时，414x ， 3 4 x 当1a 时，411x ， 1 2 x 1 3 4 x ， 2 1 2 x 【例9】解分

10、式方程： 2 2 2(1)6(1) 7 11 xx xx 【解析】换元法 【答案】设 2 1 1 x a x ，则原方程可变形为 6 27a a 整理得： 2 2760aa，解得 3 2 a 或2a 经检验得 3 2 a 或2a 均为方程 6 27a a 的解 当 3 2 a 时，则 2 13 12 x x ，整理得： 2 2310xx 解得 1 317 4 x ， 2 317 4 x 经检验， 1 317 4 x ， 2 317 4 x 均为原方程的解 当2a 时，则 2 1 2 1 x x ，整理得： 2 210xx 解得： 3 12x ， 4 12x 经检验， 3 12x ， 4 12x

11、 均为原方程的解 原方程的解为 1 317 4 x ， 2 317 4 x ， 3 12x ， 4 12x 【例10】解无理方程（换元法） 22 235 23930xxxx 【解析】略 【答案】令 2 239xxa，则 22 239xxa， 22 239xxa 则原方程变形为 2 9530aa，整理得 2 560aa 解得 1 1a ， 2 6a 2 2390xxa 6a 则 2 2396xx，整理得 2 23270xx，解得 1 3x ， 2 9 2 x 经检验 1 3x ， 2 9 2 x 均为原方程的解 原方程的解为 1 3x ， 2 9 2 x 板块三 根的判别式 定义：定义： 运用配

12、方法解一元二次方程过程中得到 2 2 2 4 () 24 bbac x aa ， 显然只有当 2 40bac时， 才能直接开 平方得： 2 2 4 24 bbac x aa 也就是说，一元二次方程 2 0(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件 2 40bac 时才有 实数根这里 2 4bac叫做一元二次方程根的判别式 判别式与根的关系判别式与根的关系 在实数范围内，一元二次方程 2 0(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是 否有实数根）由 2 4bac 确定 设一元二次方程为 2 0(0)axbxca，其根的判别式为： 2 4bac 则 0 方程 2 0(0)a

13、xbxca有两个不相等的实数根 2 1,2 4 2 bbac x a 0 方程 2 0(0)axbxca有两个相等的实数根 12 2 b xx a 0 方程 2 0(0)axbxca没有实数根 【例11】不解方程，判别一元二次方程 2 261xx的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B没有实数根 C有两个相等的实数根 D无法确定 【解析】由方程可得3680 ，所以方程有两个不相等的实数根 【答案】A 【巩固】若方程 2 (2)2(1)0mxmxm只有一个实数根，那么方程 2 (1)220mxmxm（ ） A没有实数根 B有 2 个不同的实数根 C有 2 个相等的实数根 D实数根的个数不能

14、确定 【解析】方程 2 (2)2(1)0mxmxm只有一个实数根，20m ，得2m 方程 2 (1)220mxmxm，即为方程 2 440xx， 2 44 ( 1) ( 4)0 方程 2 (1)220mxmxm有 2 个相等的实数根故选 C 特别注意方程 2 (2)2(1)0mxmxm只有一个实数根 若20m， 则方程要么有2个根 （相 等或不相等） ，要么没有实数根条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m ，且10m 【答案】C 【例12】如果关于x的一元二次方程 2 690kxx有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A 1k B 0k C10kk且 D 1k 【解析】由题可得

15、36360 0 k k 所以 10kk且 【答案】C 【巩固】若关于x的二次方程 2 (1)220mxmxm有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【解析】注意二次项系数不为0 【答案】 2 3 m 且1m 【例13】关于x的一元二次方程 2 (12 )2110k xkx 有两个不相等的实数根，求k的取值范围 【解析】由题意，得 4(1)4(12 )0 10 120 kk k k 解得12k 且 1 2 k 【答案】12k 且 1 2 k 【例14】当m为何值时，关于x的方程 22 (4)2(1)10mxmx 有实根 【解析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分 2 4

16、m 0 和 2 4m 0 两种 情形讨论 当 2 4m 0 即2m 时，2(1)m0， 方程为一元一次方程， 总有实根； 当 2 4m 0 即2m 时， 方程有根的条件是： 2 2 2(1)4(4)820mmm0，解得m 5 2 当m 5 2 且2m 时，方程有实根 综上所述：当m 5 2 时，方程有实根 【答案】m 5 2 【例15】已知关于x的方程 22 1 210 2 xab xbb有两个相等的实数根，且a、b为实数，则 32ab_ 【解析】 22 1 210 2 xab xbb有两个相等的实数根 0 ，即 2 2 2210abbb 22 210abb，0ab，10b 1b ，1a ，因

17、此321ab 【答案】1 【例16】当a b、为何值时，方程 222 2 134420xa xaabb有实根？ 【解析】要使关于x的一元二次方程 222 2 134420xa xaabb有实根，则必有0，即 2 22 4 14 34420aaabb， 得 22 210aba 又因为 22 210aba， 所以 22 210aba，得1a ， 1 2 b 【答案】1a ， 1 2 b 【例17】对任意实数m，求证：关于x的方程 222 (1)240mxmxm无实数根 【解析】略 【答案】 2 10m ，故方程为一元二次方程 2 22242 2414442016mmmmmm 4242 416164

18、44mmmm 2 2 2m 2 20m ，0 ，故方程无实根 【巩固】求证：关于x的一元二次方程 2 (2)10xm xm 有两个实数根 【解析】略 【答案】 2 (2)10xm xm 是关于x的一元二次方程 2 2 (2)4(1)mmm 2 0m 原方程有两个实数根 板块四 韦达定理 【例18】设方程 2 4730xx的两个根为 1 x、 2 x，不解方程求下列各式的值 12 (3)(3)xx； 21 12 11 xx xx ； 12 xx 【解析】不解方程，即利用韦达定理将 12 xx、 12 x x的整体构造出来 【答案】由韦达定理得 12 7 4 xx， 12 3 4 xx 12121

19、2 37 (3)(3)3()9393 44 xxx xxx ； 2 212211121212 12121212 (1)(1)()2()101 11(1)(1)132 xxx xx xxxx xxx xxxxx xxx 222 121212 7397 ()()4( )4() 4416 xxxxx x ， 12 1 97 4 xx 【例19】若方程 2 10xpx 的一个根为12，则它的另一根等于 ，p等于 【解析】部分学生喜欢将12x 代入原方程，求p的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。 【答案】设方程的另一根为 2 x，根据题意得 2 2 (12) (12)1 xp x ，解得 2 2

20、1x ，2 2p 【例20】已知、是方程 2 520xx的两根，求 的值 【解析】注意，均为负数，很多学生求出的结果均为负值 【答案】由韦达定理可得，5 ，2 222 2 2()25 ()2 2 aa ， 5 2 2 【例21】设 1 x、 2 x是方程 22 2120xkxk的两个不同的实根，且 12 118xx，则k的值 是 【解析】易忽略0 【答案】由韦达定理得 12 2 12 2(1) 2 xxk xxk ， 12 118xx 1212 18xxxx 即 2 22(1) 18kk ，整理得 2 230kk，解得3k 或1k 0 ，1k 【例22】已知方程组 22 20 0 xyx kx

21、yk （x、y为未知数） 求证：不论k为何实数，方程组总有两个不同的实数解 设方程组的两个不同的实数解为 1 1 xx yy 和 2 2 xx yy 求证： 22 1212 ()()xxyy是一个常数 【解析】代入消元 【答案】由得，ykxk，将代入得， 22 ()20xkxkx 整理得， 2222 (1)2(1)0kxkxk 22222 4(1)(1)4(1)0kkkk 无论k为何实数，方程组总有两个不同的实数解 方程组的两个不同的实数解为 1 1 xx yy 和 2 2 xx yy 11 ykxk， 22 ykxk 由韦达定理可得 12 2 12 2 2 1 xx k xx k ， 222

22、2222 121211 2212121 2 ()()(2)()()(1) ()4xxyyxx xxkxkkxkkxxx x 2 2 2 (1) (44)4 1 k k k 【例23】已知1240m，且关于x的二次方程 22 2(1)0xmxm有两个整数根，求整数m 【解析】由原方程由整数解可知， 22 4(1)44(21)mmm必然是一个完全平方数 又1240m可知，252181m ，又21m 为奇数，故214924mm 此时原方程的两个实数根为： 1,2 2(1)5014 22 m x ，不妨设 12 xx，则 1 32x ， 2 18x 故24m 满足为完全平方数只是条件之一，另外一个条件

23、也必须同时满足，要引起注意 【答案】24m 【例24】若k为正整数，且关于k的方程 22 (1)6(31)720kxkx有两个相异正整数根，求k的值 【解析】原方程变形、因式分解为 2 (1)(1)6(31)720kkxkx， (1)12(1)60kxkx 即 1 12 1 x k ， 2 6 1 x k 由 12 1k 为正整数得1, 2, 3, 5,11k ；由 6 1k 为正整数得2, 3, 4, 7k 所以2, 3k 使得 1 x， 2 x同时为正整数， 但当3k 时， 12 3xx，与题目不符，所以，只有2k 为所求 【答案】2k 【例25】已知关于x的方程 2 (6)0xaxa的两

24、根都是整数，求a的值 【解析】本题的难点在于a并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论是否为完全平方数，难度不小， 因此本题采用韦达定理来求解 【答案】设方程 2 (6)0xaxa的两个根为 1 x、 2 x 根据题意得 12 12 6xxa xxa ，将代入，整理得 1212 6xxx x 2 1 22 67 1 11 x x xx 1 x、 2 x均为整数 2 1x 的值为1或7 当 2 11x 时， 2 0x ， 1 6x ，0a 当 2 11x 时， 2 2x ， 1 8x ，16a 当 2 17x 时， 2 6x ， 1 0x ，0a 当 2 17x 时， 2 8x ， 1 2x ，

25、16a 综上所述，0a 或16a 板块五、一元二次方程的应用 【例26】某公司成立3年以来，积极向国家上交利税，由第一年的200万元增加到800万元，则平均每年 增长的百分数是 【解析】略 【答案】设平均每年增长的百分数是x 根据题意得： 2 200(1)800x 解得1x 或3x （舍） 平均每年的增长的百分数是100% 【例27】某商场2002年的营业额比2001年上升10%，2003年比2002年又上升10%，而2004年和2005年 连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额（ ） A.降低了2% B. 没有变化 C.上升了2% D.降低了1.99% 【解析

26、】注意题目要求，还有注意是比较“2005年的营业额与2001年的营业额” 【答案】设2001年的营业额为a元，则2002年的营业额为1.1a元，2003年的营业额1.21a元，所以2005年 的营业额为 2 1.21(1 10%)0.9801aa 因此2005年的营业额比2001年的营业额降低了 0.9801 100%1.99% aa a 所以选择D 【例28】北京市政府为了迎接2008年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面 积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A.10% B.20% C.30% D.40% 【解析】略 【答案】设绿地面积的增长率是x

27、，原有绿地面积为a，根据题意得 2 (1)(144%)axa 解得20%x 或220%x （舍） 则平均增长率为20% 选B 【例29】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加利润， 尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均 每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降低多少元？ 【解析】略 【答案】解：设每件衬衫降价x元，则每件所获得的利润为(40) x元，但每天可多售2x件，每天可卖 (202 )x件，根据题意得(40)(202 )1200xx， 方程化简整理得 2 302000xx 解得

28、 1 20x ， 2 10x 要尽快减少库存，20x 答：若商场每天要盈利1200元，每件应降价20元 【例30】吉安国光商场在销售中发现：某品牌衬衫平均每天可售出60件，每件赢利40元为了迎接“十 一”黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存经市场调查发 现： 如果每件衬衫降价1元， 那么平均每天就可多售出6件 要想平均每天销售这种衬衫赢利3600 元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【解析】本题可设每件衬衫应降价x元，则每件赢利(40) x元，平均每天可售出(606 ) x件，根据每件的 盈利销售的件数=衬衫的盈利，据此即可可列出方程，求出答案 【答案】设每件衬衫应降

29、价x元， 根据题意得(40)(606 )3600xx 整理得 2 302000xx 解得 1 10x ， 2 20x 要尽快减少库存 20x 答：每件衬衫应降价20元 【例31】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为 适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增 加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10 元 能使公司的日租金总收入达到19380元？ 使公司的日租金总收入最高？最高是多少？ 【解析】略 【答案】设公司将每辆车日租金提高x个10元，才能使

30、公司的日租金总收入达到19380元， 根据题意得 (160 10 )(1206 )19380xx，整理得 2 430xx 解得 1 1x ， 2 3x ，检验知 1 1x ， 2 3x 均符合题意 故公司将每辆汽车租金提高10元或30元，公司的日租金总收入达到19380元 设公司将每辆汽车日租金提高x个10元，则公司每天出租的汽车为(1206 ) x辆， 则每天的租金总收入为 22 (160 10 )(1206 )60(4320)60(2)19440xxxxx 当2x 时，公司的日租金收入最高，最高租金为19440元 【例32】长20m、宽15m的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积

31、的一半，若四周未铺地 毯的留空空间宽度相同，则留空的宽度为 【解析】略 【答案】设留空的宽度为xm，根据题意得 1 (20)(15)20 15 2 xx 整理得 2 351500xx，解得 1 30x ， 2 5x 30x 不符合题意，舍，5x 答：留空的宽度为5m 【例33】如图所示，在一个长为40米，宽为26米的矩形广场ABCD上，修建三条同样宽的道路，若使每 块草坪的面积都是144平方米，则道路宽为多少？ 【解析】注意：是“每块草坪的面积是144平方米” 【答案】设道路的宽为x米，根据题意得(402 )(26)144 6xx米 整理得 2 46880xx，解得2x 或44x 44x 不符

32、合题意，舍 2x 答：道路宽为2米 【例34】如图，ABC中，90B，6AB cm，8BC cm， 点P从点A开始， 沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动 （点Q到达点C运动停止） 如 果点P，Q分别从点A，B同时出发t秒（0t ） t为何值时，6PQ cm？ t为何值时，可使得PBQ的面积等于8 2 cm？ Q P C B A 【解析】略 【答案】根据题意，知6BPt、2BQt 根据勾股定理，得 222 PQBPBQ，即 22 (6)(2 )36tt 整理得 2 5120tt 解得0t （舍）或 12 5 t 根据三角形的面积公式，得

33、1 8 2 PB BQ，则(6)8tt，解得2t 或4t 当2t 或4t 秒时，PBQ的面积等于8 2 cm 【例35】如图所示， 某海军基地位于A处， 在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200 海里处有一重要目标小岛C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从A出发， 经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达 军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船 航行了多少海里（结果保留根号） 北 东 E D CB A F 北 东 E D CB A 【解析】略 【答案】解：ABBC，20

34、0ABBC海里，2200 2ACAB海里，45C 过点D作DFBC，垂足为F，则DFCF，2DFCD，即 2 100 2 DFCFCD海里 设相遇时补给船航行了x海里，那么DEx海里，2ABBEx海里，3002EFx海里 在Rt DEF中，根据勾股定理可得方程 222 100(3002 )xx，整理得， 2 312001000000xx 解得 1 100 6 200 3 x ， 2 100 6 200 3 x （不符合题意，舍去） 所以相遇时补给船大约航行了 100 6 200 3 海里 1. 已知m、n是一元二次方程 2 310xx 的两根，那么代数式 22 2461999mnn的值为 【解

35、析】略 【答案】原式 22222 2()2(3 ) 19992()22(3 ) 19992011mnnnmnmnnn 2. 在斜边为10的Rt ABC中，90C，两直角边a、b是方程 2 360xmxm的两个根，求m的 值 【解析】略 【答案】由勾股定理得 22 100ab 又a、b是方程 2 360xmxm的两个根 abm，36abm 2222 ()22(36)100abababmm，整理得 2 61120mm 解得14m 或8m 课堂检测 0a 、0b 0m 14m 3. 若关于x的方程 22 2(1)(2)0xaxb有两个相等实根 求 19983 ab的值； 求作以a、b为根的一元二次方

36、程 【解析】略 【答案】关于x的方程 22 2(1)(2)0xaxb有两个相等实根 22 4(1)4(2)0ab 1a ，2b 19983 1 87ab 由题意得()()0xa xb，将1a ，2b 代入整理得， 2 20xx 4. 是否存在常数k，使关于x的方程 22 4(35)60xkxk的两个实数根 1 x、 2 x，满足 2 1 3 2 x x ，如果 存在，试求出所有满足条件的k值；如果不存在在，请说明理由 【解析】此类问题应先假设k值存在 【答案】解：假设存在满足条件的k，则由韦达定理得 12 35 4 k xx ， 2 12 3 2 k x x 2 3 0 2 k 12 0x x

37、 2 1 3 2 x x ， 2 1 3 2 x x 由解得 1 1k ， 2 5k 当 1 1k ， 2 5k 时，均大于0 所以存在满足条件的常数k，1k 或5 1. 选择恰当的方法解下列方程 2 1 9()4 3 x ； 2 60xx； 2 310yy ； 2 211 0 362 xx 22 (54)(43)0xx； 2 2530xx；(27)5(27)xxx；(1)(3)12xx 【解析】略 【答案】 1 3 x 或1x ；3x 或2x ； 35 2 x 或 35 2 x ；1x 或 3 4 x 7 9 x 或1x ；3x 或 1 2 x ； 7 2 x 或5x ；3x 或5x 2.

38、若方程 2 0axbxc(0)a 的一个根是另一个根的3倍，则a、b、c的关系是（） A. 2 316bac B. 2 316bac C. 2 163bac D. 2 163bac 【解析】韦达定理 【答案】不妨设方程 2 0axbxc的两个根为 1 x、 2 x，且 12 3xx 课后作业 122 4xxx，则 2 4 b x a 2 4 b x a ，将 2 4 b x a 代入方程 2 0axbxc整理，即可得A 3. 一元二次方程 2 0axbxc中，0a ，0b ，0c ，且0 ，则两个根的符号（ ） A.同为正 B.同为负 C. 一正一负 D.同号 【解析】韦达定理的应用 【答案】

39、设 2 0axbxc的两个实数根为 1 x、 2 x，则 12 12 0 0 b xx a c xx a ，两个根同为正 4. 若一元二次方程 22 (1)5510mxmmxm 有两个相等的实数根，则_m 【解析】略 【答案】4m 5. 已知 1 x、 2 x是方程 2 340xx的两个根，不解方程，求 2 1 x x 的值 【解析】韦达定理的应用 【答案】根据题意得， 12 3xx， 12 4xx 222 21121212 121212 ()29817 44 xxxxxxx x xxx xx x 令 2 1 x k x ，则 117 4 k k ，整理得 2 41740kk 解之得 1 4k ， 2 1 4 k ， 2 1 x x 的值为4或 1 4 6. 已知a、b、c是三角形的三边长，求证： 222222 ()0b xbca xc没有实数根 【解析】略 【答案】 222 222 ()4bcab c 222222 (2)(2)bcabc bcabc 2222 ()()bcabca ()()()()bca bca bca bca a、b、c是三角形三边长 ()()()()0bca bca bca bca 方程 222222 ()0b xbca xc没有实数根