著名机构初中数学培优讲义中考复习.三角形.第08讲（通用讲）.学生版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 三角形 了解三角形的有关概念； 了解 三角形的稳定性； 会按边和角 对三角形进行分类； 理解三角 形的内角和、 外角和及三边关 系；会画三角形的主要线段； 知道三角形的内心、 外心、 重 心 了解三角形的有关概念；了解三角形 的稳定性；会按边和角对三角形进行 分类；理解三角形的内角和、外角和 及三边关系； 会画三角形的主要线段； 知道三角形的内心、外心、重心 等腰三角形直角、 三角形 了解等腰三角形、 等边三角形 和直角三角形的概念， 会识别 这三种图形， 并理解这三种图 形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形和直角 三角形的性质和判定解决简单问题 能

2、用等腰三角形、 等边三角形和直角 三角形的知识解决 有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念， 了解 相似三角形和全等三角形之 间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质； 会应用三角形全等的性质和判定解决 有关问题 会利用全等三角形 的知识解释或证明 经过图形变换后得 到 的图形与原图形对 应元素间的关系 一、三角形的基本概念： 三角形的定义三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形 三角形具有稳定性 三角形的内角三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角 在同一个三角形内，大边对大角 三角形的外角三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向

3、延长线所组成的角叫做三角形的外角 三角形的分类三角形的分类： () () (): 直角三角形:三角形中有一个角是直角 三角形 按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角 斜三角形 钝角三角形:三角形中有一个角是钝角 不等边三角形:三边都不相等的三角形 三角形 按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 正三角形 有三边相等的三角形 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角 知识点睛 中考要求 三角形 三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝 角三角形) 二、与三角形相关的边 三角形中的三种重要线段

4、 三角形的角平分线三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫 做三角形的角平分线 注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部 三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部 三角形的高三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心 锐角三角形的高均在三角形内部

5、，三条高的交点也在三角形的内部； 钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合反之也成立 画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高 三角形三条边的关系 三角形三边关系三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边 三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边即a、b、c三条线段可组成三角形 bcabc两条较小的线段之和大于最大的线段 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或 当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成

6、三角形 三、等腰三角形 1等腰三角形的定义等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2等边三角形的定义等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形 3等腰三角形的性质等腰三角形的性质： (1)两腰相等 (2)两底角相等 (3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴 线段的垂直平分线：线段的垂直平分线： 性质定理：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 判定定理：判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集

7、合 4等腰三角形的判定：等腰三角形的判定： (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形 5 等边三角形的性质：等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60 6 等边三角形的判定：等边三角形的判定： (1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 7 等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等 等腰直角三角形的判定： (1)顶角为90的等腰三角形 (2)底角为45的等腰三角形 8 含30角的直角三角形的重要结论： 在直角三角形中，如果一个锐角等于

8、30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 四、全等的概念 全等图形：全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形 全等三角形：全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等 全等三角形的概念与表示：全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、角分 别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“” 全等三角形的性质：全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应

9、角的角平 分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 (3)有公共边的，公共边常是对应边 (4)有公共角的，公共角常是对应角 (5)有对顶角的，对顶角常是对应角 (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)， 一对最短边(或最小角)是对应边 (或对应角) 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键 五、全等的性质和判定 全等三角形的判定方法：全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角

10、对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等 (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 全等三角形的应用：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中， 注意有时会添加辅助线 奥数赛点：奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两 个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础 判定

11、三角形全等的基本思路：判定三角形全等的基本思路： SAS HL SSS 找夹角 已知两边 找直角 找另一边 ASA AAS SAS AAS 边为角的对边找任意一角 找这条边上的另一角 已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角 找该角的另一边 ASA AAS 找两角的夹边 已知两角 找任意一边 【例1】 已知三角形中两边长为 2 和 7，若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_ 【例2】 有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x，若这三条线段不能构成三角形， 则x的取值范围是 例题精讲例题精讲 【例3】 如图所示，将ABC沿着DE翻折，若1280 ，则B A B C D

12、E 1 2 【例4】 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 【例5】 ABC中，ADBC，AE平分BAC，AGAECG，是ABC外角ACF的平分线，若 GDAE60，则ACB的度数为 G FEDCB A 【例6】 如图所示，在ABC中，100A，40ABC，BD是ABC的平分线，延长BD至E，使 DEAD求证：BCABCE E D C B A 【例7】 如图，已知60ABDACD ，且 1 90 2 ADBBDC求证：ABC是等腰三角形 D C B A 【例8】 如图，在ABC中，3ABAC，A的平分线交BC于D，过B作BEAD，垂足为E，求证： ADDE DC B A

13、E 【例9】 如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交 AD的延长线于F，求证 1 2 MFACAB M F D C B A 【例10】 已知点M是四边形ABCD的BC边的中点，且120AMD,证明： 1 2 ABBCCDAD. A BC D M 【巩固】设M是凸四边形ABCD的边BC的中点，135AMD，求证： 2 2 ABBCCDAD. M D CB A 【例11】 （2007 年北京中考）如图，已知ABC 请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两 对 面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三

14、角形； 请你根据使成立的相应条件，证明ABACADAE CB A 【例12】 如图， 梯形ABCD中，ADBC， 以两腰AB，CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF， 连接AD的垂直平分线l交线段EF于点M求证：点M为EF的中点 M l H F D C E G B A 【例13】 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和C都是直 角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积 D C B A 【巩固】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD交于O。 已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OB

15、E的面积 E O D C B A 【例14】 （通州区 2009 一模第 25 题）请阅读下列材料： 已知：如图 1 在Rt ABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 45DAE探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2，其它条件不变，中探 究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 图1 A B C D

16、 E 图2 A B C DE 【例15】 在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点MN D， ，为ABC外一点，且 60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点MN，分别爱直线AB AC，上移动时， BM BN MN，之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系 图 M N D CB A 图 M N D C B A N 图 M D C B A 如图，当点MN，在边AB AC，上，且DMDN时，BMNC MN，之间的数量关系式 _；此时 Q L _ 如图，当点MN，在边AB AC，上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出 你的猜想并加以证明； 如图，当点MN，

17、分别在边AB CA，的延长线上时，若ANx，则Q _(用x L，表 示) 【例16】 （2010 年西城一模）如图 1，在平行四边形ABCD中，AEBC于点E，E恰为BC的中点， tan2B （1）求证：ADAE； （2）如图 2，点P在线段BE上，作BFDP于点F，连结AF 求证：2DFEFAF； （3）请你在图 3 中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF 垂直 直线DP，垂足为点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的 结论 图1 E D CB A 图2 P F A BC D E 图3 A BC D E 课后作业 1. 如图，I是ABC

18、的内心，且CA AIBC若80BAC，求ABC和AIB的大小 AB C I 2. 如图，在直角ABC中，90BAC，ABAC，BD平分ABC交AC于D，作CEBD交BD的 延长线于E，则 BD 与CE的大小关系是_ ED CB A 3. 直角三角形ABC中9068AABBC，；P为BC的中点，ABC绕着点P逆时针旋转90到 DEF，求重叠部分PQKR的面积 K Q P R F E D C B A 4. 已知：2PA，4PB ，以AB为一边作正方形ABCD，使P，D两点落在直线AB的两侧如图， 当45APB时，求AB及PD的长；当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应 的APB的大小。 P D C B A