著名机构初中数学培优讲义中考复习.圆.第12讲(通用讲).学生版

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1、 板块板块 考试要求考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 圆的有关概 念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆 的有关概念解决简单问题 圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、 弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有 关问题 圆周角 了解圆周角与圆心角的关 系；了解直径所对的圆周角 是直角 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决 与角有关的简单问题 能综合运用几何知识解 决与圆周角有关的问题 直线与圆的 位置关系 了解直线与圆的位置关系； 了解切线的概念，理解切线 与过切点的半径之间关系； 会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否

2、为圆的切线；能利用直 线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问 题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 圆与圆的位 置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 一、圆的相关概念 1. 圆的定义 （1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转 所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径 （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径 （3） 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O“，读作” 圆O“ （4） 同

3、圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆；能够重合的两个圆叫做等圆 注意：注意：同圆或等圆的半径相等 2. 弦和弧 （1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦 （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍 （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距 （4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A B、 为端点的圆弧记作AB，读作弧AB （5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 知识点睛 中考要求 圆 （6） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆 （7） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，

4、小于半圆的弧叫做劣弧 （8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 3. 圆心角和圆周角 （1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我 们也称这样的弧为1的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 二、圆的对称性 1. 旋转对称性 （1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自 身重合 （2） 圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 2. 轴对称性 （1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴 （2） 圆的轴对称性垂径定

5、理 三、圆的性质定理 1. 圆周角定理 （1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （2） 推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 （1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 F E B A C D O （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它

6、们所对应的其余各组量分别相等 注意： 前提条件是在同圆或等圆中； 在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等 3. 垂径定理 所对的两圆心角相等所对的两圆心角相等 所对的两条弦所对的两条弦相等相等 所对的所对的两条弧两条弧相等相等 所对的两所对的两条弦的弦心距条弦的弦心距相等相等 E O D C B A （1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 （2） 推论 1： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 （3） 推论 2：圆的两条

7、平行线所夹的弧相等 注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所 对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立 注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与 勾股定理有： 222 ( ) 2 a rd，根据此公式，在a，r，d三个量中知道任何两个量就可以求出第 三个量 r a 2 d O C B A 4. 点和圆的位置关系 设o的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有： 点P在圆外dr ； 点P在圆上dr； 点P在圆内dr 四四、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

8、设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 l O d r 直线与圆没有公共点 dr直线l与O相 离 相切 l O d r 直线与圆有唯一公共点，直线 叫做圆的切线，唯一公共点叫 做切点 dr直线l与O相 切 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点，直线 叫做圆的割线 dr直线l与O相 交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 五五、切线的性质及判定、切线的性质及判定 1 切线的性质：切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过

9、切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 切线的判定：切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长和切线长定理：切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角 4弦切角等于同弧所对的圆周角 切线的判定定理 设 OA 为O 的半径，过半径外端 A 作lOA，则 O 到l的距离 d=r，l与O 相切因此，

10、我们得到： 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注：定理的题设“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可结论是“直线是圆的切线”举 例说明：只满足题设的一个条件不是O 的切线 l A O O A l A O l 证明一直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；(2)作垂直，证垂直在圆上 切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：(1)垂直于切线 (2) 过切点 (3)过圆心 T O A TM O B A 定理： 过圆心，过切点 垂直于切线 OA 过圆心，OA 过切点 A，

11、则 OAAT 经过圆心，垂直于切线过切点 1 2 AB M ABMT 过圆心 为切点 经过切点，垂直于切线过圆心 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离d与半径r的关系 dr dr dr 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 1 2 AMMT AM M 过圆心 为切点 六六、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含 设两个圆为 1 O、 2 O，半径分别为 1 R、 2 R，且 12 RR， 1 O与 2 O间距离为d，那么就有 12 dRR两圆相离； 12 dRR两圆相外切； 12 dRR两圆相内切； 1

12、212 RRdRR两圆相交； 12 dRR两圆内含(这里 12 RR) 如果两圆 1 O、 2 O相交于A、B两点，那么 12 O O垂直平分AB 如果两个半径不相等的圆 1 O、圆 2 O相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线 12 O O上，并且直线 12 O O平分两外公切所夹的角和两内公切线所夹的角 如果两条外公切线分别切圆 1 O于A、B两点、切圆 2 O于C、D两点，那么两条外公切线长相等，且AB、 CD都被 12 O O垂直平分 处理两圆位置关系的基本思路与处理关于直线与圆位置关系问题的基本思路是一致的 相切两圆的性质相切两圆的性质 连心线连心线：是指通过两圆圆心的一条直线

13、 连心线是它的对称轴两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上 通过两圆圆心的直线叫做连心线 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 七 与圆有关的面积和长度计算 设O的半径为R，n圆心角所对弧长为l， 弧长公式弧长公式： 180 n R l 扇形面积公式扇形面积公式： 2 1 3602 n SRlR 扇形 圆柱体表面积公式圆柱体表面积公式： 2 22SRRh 圆锥体表面积公式圆锥体表面积公式： 2 SRRl(l为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： 公式法； 割补法； 拼凑法； 等积变换法 【例1】若两圆的半径分别是 3cm 和 4cm，圆心距为 7cm，则这

14、两圆的位置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D外离 【巩固】如图，AB 为O 直径，CD 为弦，ABCD，如果BOC=70 ，那么A 的度数为 A70 B35 C30 D20 例题精讲 【例2】如图, O的半径为 2，点A为O上一点，OD 弦BC于点D，1OD ,则BAC_ D CB A O 【巩固】若两圆的半径分别为 5 和 7，圆心距为 2，则这两圆的位置关系是 （ ） A内含 B内切 C相交 D外切 【例3】若O的半径为 5 厘米，圆心O到弦AB的距离为 3 厘米，则弦长AB为 厘米 【巩固】如图，AB是O直径，弦CDAB于点E，若8CD，3OE，则O的直径为 A5 B6 C8 D1

15、0 O E D C B A 【巩固】如果半径分别为 2cm 和 3cm 的两圆外切，那么这两个圆的圆心距是（ ） A1cm B5cm C1cm 或 5cm D小于 1cm 或大于 5cm 【巩固】已知O1与O2相切，O1的直径为 9cm，O2的直径为 4cm，则 O1O2的长是（ ） A5cm 或 13cm B2.5cm C6.5cm D2.5cm 或 6.5cm 【例4】如图，点 B、C、D 都在O 上，过点 C 作 ACBD 交 OB 延长线于点 A，连接 CD， 且CDB=OBD=30 ，DB=63cm （1）求证：AC 是O 的切线； （2）求O 的半径长； （3）求由弦 CD、BD

16、与弧 BC 所围成的阴影部分的面积（结果保留） 【巩固】如图 7，已知AB是O的直径，O过BC的中点D，且90DEC （1）求证：DE是O的切线； （2）若30C，2 3CE ，求O的半径 【例5】如图，在O中，AB是直径，AD是弦，6030ADEC ， （1）判断直线CD是否为O的切线，并说明理由； （2）若3 3CD ，求BC的长 O B A CDE 【巩固】如图，ABC内接于O，ABAC，点D在O上，ADAB于点A，AD与BC交于点E， 点F在DA的延长线上，AFAE 求证：BF是O的切线； 若4AD， 4 cos 5 ABF，求BC的长 O F E D C B A 【例6】如图，以 B

17、C 为直径的O 交CFB 的边 CF 于点 A，BM 平分ABC 交 AC 于点 M，ADBC 于 点 D，AD 交 BM 于点 N，MEBC 于点 E，AB 2AFAC，cosABD 5 3 ，AD12 （1）求证：ANMENM； A E D O B C （图 7） （2）求证：FB 是O 的切线； （3）证明四边形 AMEN 是菱形，并求该菱形的面积 S 【例7】已知：如图 1，把矩形纸片 ABCD 折叠，使得顶点 A 与边 DC 上的动点 P 重合（P 不与点 D，C 重 合） ，MN 为折痕，点 M，N 分别在边 BC，AD 上，连接 AP，MP，AM，AP 与 MN 相交于点 F O

18、 过点 M，C，P （1）请你在图 1 中作出O（不写作法，保留作图痕迹） ； （2） AN AF 与 AD AP 是否相等？请你说明理由； （3）随着点 P 的运动，若O 与 AM 相切于点 M 时，O 又与 AD 相切于点 H设 AB 为 4，请你通过计 算，画出 这时的图形 （图 2，图 3 供参考） 【例8】如图， 矩形 ABCD 中， AB5， AD3 点 E 是 CD 上的动点， 以 AE 为直径的O 与 AB 交于点 F， 过点 F 作 FGBE 于点 G （1）当 E 是 CD 的中点时： tanEAB 的值为_； A C B M D E O N F A C B F D M N

19、 图 1 P A C B F D M N 图 2 P O P A C B F D M N 图 3 P O 证明：FG 是O 的切线； （2）试探究：BE 能否与O 相切？若能，求出此时DE的长； 若不能，请说明理由 【例9】如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90 ，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB 为 O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动，P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一 个动点也随之停止运动设运动时间为 t(s) （

20、1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？ （2）当 t 为何值时，PQ 与O 相切？ 【例10】在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，4） ，直线 CMx轴 （如图所示） 点 B 与点 A 关于原点对称，直线yxb（b为常数）经过点 B，且与直线 CM 相 交于点 D，联结 OD （1）求 b 的值和点 D 的坐标； （2）设点 P 在x轴的正半轴上，若POD 是等腰三角形，求点 P 的坐标； F B A D O C E G P A D O B C Q （3）在（2）的条件下，如果以 PD 为半径的圆 P 与圆 O 外切，求圆 O 的半

21、径 1 如图，O是ABC的外接圆，已知50ABO，则ACB的度数是 2. 如图， AB 是O 的弦， ODAB 于点 D， C 是 AB 优弧上任意一点， 则图中所有相等的线段有 ； 所有相等的角有 . 课后作业 C M O x y 1 3 4 1 A 1 B D yxb 2 O D C B A 3 已知：如图，O为ABC的外接圆，BC为O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF，过点A 作ADBF于点D. （1）求证：DA为O的切线； （2）若1BD ， 1 tan 2 BAD，求O的半径. O F D C B A 4 如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y2x8 分别与 x 轴，y轴相交于 A，B 两点，点 P（0，k） 是y轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3 为半径作P （1）连结 PA，若 PAPB，试判断P 与 x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当 k 为何值时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？ O A P l B y x O A l B y x 备用图