著名机构初中数学培优讲义中考复习.旋转.第14讲(通用讲).教师版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 旋转旋转 了解图形的旋转， 理解对应点到旋转中 心的距离相等、 对应点与旋转中心连线 所成的角彼此相等的性质； 会识别中心 对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的 图形，能依据旋转前后的图形，指出旋 转中心和旋转角 能运用旋转的知识解 决简单的计算问题； 能运用旋转的知识进 行图案设计 板块一 图形的旋转 旋转：旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做 旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点如图 R R Q P Q P O 注意：研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心

2、与旋转角 每一组对应点所构成的旋转角相等 【例1】 在平面内， 把一个图形绕着某_沿着某个方向转动_的图形变换叫做旋转这个点 O 叫 做_，转动的角叫做_因此，图形的旋转是由_和_决定的 【解析】略 【答案】一点 O，一个角度，旋转中心，旋转角，旋转中心，旋转角 【巩固】下图中，不是旋转对称图形的是( ) 中考要求 例题精讲 中考复习：几何变换之旋转 【解析】略 【答案】B 【例2】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是( ) 图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； 图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； 图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等； 图形旋转时，对应线段

3、相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解析】根据旋转的概念和性质可得 【答案】D 【巩固】如图，把菱形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转得到菱形 DFOE，则下列角中不是旋转角的为( ) ABOF BAOD CCOE DCOF 【解析】略 【答案】D 【例3】 如图， 若正方形 DCEF 旋转后能与正方形 ABCD 重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共 有( )个 A1 B2 C3 D4 【解析】略 【答案】C 【点评】本题很多考生容易做错，将答案选为B，认为只有两个旋转点，但是一定要注意CD边的中点也 是一个旋转点，所以应该有 3 个

4、旋转点 【巩固】如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼 木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ） A B C D 【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木A、C 和 D 旋转之后都不能与图形 拼满，B 旋转 180 后可得出与图形相同的形状，故选 B 【答案】B 【点评】本题难度一般，主要考查的是旋转的性质 【例4】 按图中第一、 二两行图形的平移、 轴对称及旋转等变换规律， 填入第三行“？”处的图形应是 （ ） A、 B、 C、 D、 【解析】根据旋转的性质，结合图形，第一行变为第三行，将第二行图形按顺时针方

5、向旋转 90 后的形状 即可选择答案 【答案】B 【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大， 但易错 板块二 中心对称与中心对称图形 中心对称的有关概念：中心对称的有关概念： 把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或 中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点，如图 F E D C B A O 注意： 两个图形成中心对称是旋转角为定角(180)的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一 种特殊关系 中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系 中心对称的特

6、征：中心对称的特征： 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分 关于中心对称的两个图形是全等图形 关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成 中心对称 中心对称图形：中心对称图形： 把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称 图形，这个点就是它的对称中心如图 O D CB A 中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某

7、种性质的一个图形若把中心对称图形的两个部 分分别看作两个图形， 则他们成中心对称； 若把中心对称的两个图形看作一个整体， 则成为中心对称图形 关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的点的坐标特征： 两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对 称 【例5】 线段不仅是轴对称图形，而且是_图形，它的对称中心是_ 平行四边形是_图形，它的对称中心是_ 圆不仅是轴对称图形，而且是_图形，它的对称中心是_ 【解析】略 【答案】中心对称，线段中点 中心对称，对角线交点 中心对称，圆心 【例6】 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) 【解

8、析】 根据中心对称和周对称的概念进行判断 【答案】D 【巩固】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解析】 根据中心对称图形和轴对称图形的概念可得 【答案】B 【例7】 下列语句中正确的是（ ） A.一个图形如果既是旋转对称图形又是轴对称图形，那么它一定是中心对称图形 B.一个图形在旋转变换下对应线段不一定相互平行，对应点连线不一定经过旋转中心 C.一个图形绕一点旋转之后与自身重合，则一定是整数，且是360的因数 D.一个不是旋转对称的图形，无论绕任何点旋转多少度，都不会与自身重合 【解析】语句A是错误的，例如等边三角形既是旋转对称图形

9、，又是轴对称图形，但不是中心对称图形。 语句C是错误的，例如正七边形的最小旋转角是 360 7 ，而圆绕中心旋转任意角之后都与自身重 合。语句D错误，因为任意图形绕它所在平面内任意一点旋转360，都与自身重合。故选B 【答案】B 板块三 旋转类几何作图 【例8】 如下图，图(1)和图(2)是中心对称图形，仿照(1)和(2)，完成(3)，(4)，(5)，(6)的中心对称图形 【解析】根据中心对称的性质可得答案 【答案】略 【例9】 已知：如图，四边形 ABCD 及一点 P 求作：四边形 ABCD，使得它是由四边形 ABCD 绕 P 点顺时针旋转 150 得到的 P D C B A 【解析】根据旋

10、转作图的基本步骤： 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点 连：即连接所得到的各点 可很容易得到答案 【答案】略 【巩固】如图，已知有两个同心圆，半径 OA、OB 成 30 角，OB 与小圆交于 C 点，若把ABC 每次绕 O 点逆时针旋转 30 ，试画出所得的图形 【解析】略 【答案】略 板块四 旋转性质的应用 【例10】 正三角形 ABC 绕其中心 O 至少旋转_度，可与其自身重合 【解析】略 【答案】120 【例11】 一个平行四边形 ABCD，如果绕其对角线的交点 O

11、 旋转，至少要旋转_度，才可与其自身重 合 【解析】根据旋转的概念及平行四边形是中心对称图形的特点，可得到答案 【答案】180 【例12】 D是等腰Rt ABC内一点，BC是斜边，如果将ABD绕点A逆时针方向旋转到ACD的度数是 ( ) A 25 B30 C35 D45 D D C BA 【解析】A为旋转中心，D是D点的对应点，D ADA，且旋转角90D ADCAB ， D AD是等腰直角三角形，故选D 【答案】D 【例13】 如图，将ABC绕点A逆时针旋转80得到AB C 若50BAC，则CAB的度数为( ) A30 B40 C50 D80 A B C B C 【解析】A 【答案】A 【例1

12、4】 ABC中，108ACB， 将它绕着C逆时针旋转30后得到A B C， 则A C B的度数是多少？ B A C B A 【解析】30ACA，由旋转知30BCB，又108ACB，138ACB 【答案】138 【例15】 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90后，得到矩形AB C D，如果22CDDA，那么 CC _ D C BD CB A 【解析】由旋转的概念知ACAC，由22CDDA知5AC ，所以勾股定理得5CC 【答案】5 【例16】 如图，P是正三角形ABC内的一点，且6PA ，8PB ，10PC 若将PAC绕点A逆时针旋 转后，得到P AB，则点P与点P之间的距离为_，APB P

13、 CB P A 【解析】由旋转的特征知6P APA，10,P BPCP ABPAC， 由ABC是正三角形，则60BAC，从而60P AP， 所以P AP是正三角形，所以6,60P PAPP; 在P B P中，6,10P PP B，8PB ， 由勾股定理的逆定理知P PB是直角三角形，90BPP， 从而150APB 【答案】6；150 板块五、旋转有关的综合题 【例17】 如图 1， 点O是线段AD的中点， 分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和 等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小 如图 2，OAB固定不动，保持COD的形状和大小不变，将COD

14、绕着点O逆时针旋转15， 求AEB的大小 图1 A BC D E O 图2 A B C D E O 【解析】如图3和4，123423120 ，60AEB 1 2 3 4 O E D CB A 图3图4 12 3 4 O E D C B A 【例18】 把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转角，旋 转后的矩形记为矩形EDCF在旋转过程中， （1）如图，当点E在射线CB上时，E点坐标为_； （2）当CBD是等边三角形时，旋转角的度数是_(为锐角时)； （3）如图，设EF与BC交于点G，当EGCG时，求点G的坐标； 图 Ey x O D C B A G F 图

15、 E y x O D C B A 【解析】略 【答案】 （1） 42 13，； （2）60； （3） 设CGx，则6EGxFGx， 在Rt CFG中， 222 CFFGCG，即 2 22 46xx， 解得 13 3 x ，即 13 3 CG 【例19】 请阅读下列材料： 已知：如图 1 在Rt ABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 45DAE探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你

16、的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2，其它条件不变，中探 究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 图1 A B C D E 图2 A B C DE 【解析】 222 DEBDEC 证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE AECABE BEEC ，AEAE ，CABE，EACE AB 在Rt ABC中 ABAC 45ABCACB 90ABCABE 即90E BD 222 EBBDED 又45DAE 45BADEAC 45E ABBAD 即45E AD AEDAED DE DE 222 DEBDEC E E D C B A F ED C

17、B A 关系式 222 DEBDEC仍然成立 证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE AFDABD AFAB，FDDB FADBAD，AFDABD 又ABAC，AFAC 45FAEFADDAEFAD 9045EACBACBAEDAEDABDAB FAEEAC 又AEAE AFEACE FEEC，45AFEACE 180135AFDABDABC 1354590DFEAFDAFE 在Rt DFE中 222 DFFEDE即 222 DEBDEC 【例20】 在等腰直角ABC中，90ACB，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动， MQMP 交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何

18、变化 A P M C Q B A P M C Q B 【解析】连接CM因为ACBC且90ACB，所以45B 因为M是AB的中点，所以90AMCBMC，45ACM且CMBM，则ACMB 因为MQMP，所以90QMCCMPPMB，所以QCMPBM， 所以QMPM因此MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变 MPQ的面积与边MP的大小有关当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小； 当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大 【例21】 等腰直角三角形ABC，90ABC ，ABa，O为AC中点，45EOF ， 试猜想，BE、BF、 EF三者的关系 O B E CF

19、A O B E GCF A 【解析】如图，过点O作OGOE，交BC于G，连结OB，易知OGCOBE， BECG，又EOOG，45EOFFOG，OFOF， OEFOGF，EFFG BEBFEFCGBFFGABa 又90B ，BE、BF、EF又存在另一关系式 222 BFBEEF 【例22】 如图所示：ABC中，90ACB，ACBC，P是ABC内的一点， 且3AP ，2CP ，1BP， 求BPC的度数 1 23 P C B A 1 23 P A B C P 【解析】如图，过点C作CPCP ，且CPCP ，连接PP，PB 90P CP，45P PC 2CP ，2 2P P 容易证得P BCPAC，3

20、BPAP 222 BPPPPB，90BPP， 135BPCBPPP PC 1 E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF ，AHEF，H为垂足， 求证：AHAB C H F E D B A C H F EG D B A 【解析】延长CB至G，使BGDF，连结AG，易证ABGADF，BAGDAF，AGAF 再证AEGAEF，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AHAB 2 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和C都是直 角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积 D C B A C D C B A 【解析】将三

21、角形ABC绕A点旋转90，使B与D重合，C到C点则有 180CDCADCADCADCABC ， 所以C D C， ，在同一条直线上，ACDC是三角形 又因为ACAC.所以三角形ACC是等腰直角三角形 所以四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC的面积。 2 222 ACCABCD SS 四边形 1 取一副三角板按图拼，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为 的角045得到ABC，如图所示 试问：当为多少度时，能使得图中ABDC？ 连结BD，当045 时，探寻DBCCACBDC值的大小变化情况，并给 出你的证明 课堂检测 课后作业 A B C D A B C D C

22、 图2 图1 【解析】略 【答案】 （1）60D，要使ABDC，则120BAD， 又45BAC，15 （2）如图 3，1245330180 ，123105 105DBCCACBDC 1 2 3 FE A B C D C 图3 2 如图所示， 在四边形ABCD中，ABAD，60BAD，120BCD， 证明：BC DCAC. 如图所示，在四边形ABCD中，ABBC,60ABC，P为四边形ABCD内部一点， 120APD，证明：PAPDPCBD. D C B A P D C B A 【解析】 如图所示，延长BC至E，使CECD. 连接DE，由120BCD可知60DCE， 又由CECD可知CDE为等边

23、三角形， 即有DECDCE，60CDE. 又因ABAD，60BAD， 连接BD，可知ABD为等边三角形，即ABADBD,60BDA. 在ACD和BED中，由ADBCDE 可得： ADCADBBDCCDEBDCBDE . 而ADBD，CDDE， 故ACDBED. 于是ACBEBCCEBCCD，即BCDCAC. E D C B A P B D C B A 如图所示，在四边形ABCD外侧作等边ABD，由120APD可知四边形APDB符合(1)的 条件，连接B P，则BPPAPD . 连接B C，则易知B CPBPC，即B CPAPDPC 此时，解题的目标是证明BDB C 因为ABD是等边三角形，故ABAD ，60BAD 连接AC，易知ABC为等边三角形，故ACAB，60BAC 在ABD和ACB中，BADCADBACCADDABCAB ，ABAC， AD AB ，故ABDACB 从而BDB C故PAPDPCBD